3.1 函数的概念及其表示-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）.docx

1、3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数考点三：区间1区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|ax

2、b半开半闭区间a，b)x|aax|xax|xa区间(，)a，)(a，)(，a(，a)考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象【题型归纳】题型一：函数定义的判断1（2022全国高一课时练习）给出下列说法：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；函数的定义域和值域一定都是无限集；若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；对于任意的一个函数，如果x不同

3、，那么y的值也不同；表示当时，函数的值，这是一个常量其中说法正确的个数为（）A1B2C3D42（2022全国高一）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（）ABCD3（2021江苏淮安高一期中）设集合 .下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（）A3个B2个C1个D0个题型二：区间的表示4（2022全国高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）；A2B3C4D55（2021全国高一专题练习）已知为一确定区间，则实数的取值范围是（）ABCD6（2021广东中山中学高一期中）集合用区间表示为（）ABCD题型三：具体函数的定义域7（2022山东临沂二十四中高一阶段练习）函数

4、 的定义域是（）ABCD8（2022全国高一单元测试）函数的定义域是（）ABCD9（2022全国高一单元测试）函数的定义域为（）ABC且D且题型四：抽象函数的定义域10（2022全国高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD11（2021全国高一课时练习）已知的定义域为，则的定义域为（）ABCD12（2022全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为()ABCD题型五：求函数的值域13（2022全国高一课时练习）已知函数f (x)，则函数的值域是（）ABCD14（2022全国高一课时练习）函数在区间上的值域为（）ABCD15（2022全国高一课时练习）下列函数中

5、，值域为的是（）ABCD题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16（2022全国高一课时练习）函数的值域是（）ABCD17（2021陕西武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y的值域是（）A（，+）B（，）（，+）C（，）（，+）D（，）（，+）18（2021全国高一课时练习）函数的最大值与最小值的和是（）ABCD题型七：函数相等问题19（2022天津南开高一期末）下列各组函数是同一函数的是（）与；与；与；与ABCD20（2022全国高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（）A与B与C与D与21（2022全国高一单元测试）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（）A，B，C，D，题型八：已知函数

6、类型求解析式（待定系数法）22（2022全国高一课时练习）设为一次函数，且若，则的解析式为（）A或BCD23（2022全国高一课时练习）已知二次函数满足，则（）A1B7C8D1624（2022全国高一课时练习）已知为二次函数,且满足,则的解析式为（）ABCD题型九：换元法求函数解析式25（2022浙江温州市第二十二中学高一开学考试）已知，则的解析式为（）ABCD26（2022全国高一课时练习）若函数，且，则实数的值为（）AB或CD327（2021重庆南开中学高一阶段练习）若，则的解析式为（）ABCD题型十：分段函数中的问题28（2021江苏宿迁高一期中）设函数，则满足的 x 的取值范围是（）A

7、BCD29（2021全国高一专题练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）ABCD30（2021新疆乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（）ABCD【双基达标】一、单选题31（2022全国高一专题练习）函数符号表示（）Ay等于f与x的乘积B一定是一个式子Cy是x的函数D对于不同的x，y也不同32（2022江苏高一单元测试）已知函数，若，则（）AB6CD33（2022全国高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（）ABCD34（2022全国高一课时练习）已知函数，则的解集为（）ABCD35（2022全国高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（）ABCD3

8、6（2022全国高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)；(2).37（2022全国高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【高分突破】一：单选题38（2022内蒙古赤峰高一期末（理）设的定义域为R，且满足，若，则（）A2023B2024C3033D303439（2022全国高一课时练习）已知函数若，且，则（）AB0C1D240（2022全国高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A，B，C ，D，41（2022全国高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（）

9、AB的值域为C的解集为D若，则x的值是1或42（2021吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数对任意x，总有，若，则（）A3B2C1D043（2022广东化州市第三中学高一阶段练习）已知函数yf（x1）定义域是2，3，则yf（x2）的定义域是（）A1，6B1，4C3，2D2，344（2022全国高一专题练习）已知函数，若，则（）ABCD二、多选题45（2022全国高一单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（）ABCD46（2022全国高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A，B，C，D，47（2022全国高一课时练习）下列函数中，值域为的是（）ABCD48（2022全

10、国高一单元测试）已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（）ABC0D149（2022全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A若的定义域为，则的定义域为B函数的值域为C函数的值域为D函数在上的值域为50（2022全国高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（）A的定义域为RB的值域为C若，则x的值是D的解集为51（2022重庆九龙坡高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet，18051859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，正确的为（）A对恒成立B对，都存在，使得C若，则D存在三个点，使得

11、为等边三角形三、填空题52（2022全国高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_.53（2022全国高一课时练习）已知，则的值域为_.54（2022全国高一专题练习）已知函数f（x）的值域是0，+），则实数m的取值范围是_55（2022全国高一课时练习）已知函数，则_.四、解答题56（2022全国高一）作出下列函数的图象：(1)；(2)57（2022全国高一单元测试）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式58（2022全国高一单元测试）求下列函数的值域：(1)；(2)(3)；(4)【答案详解】1B【分

12、析】利用函数的定义域和值域定义判断的真假，利用函数值的定义判断的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故不正确；根据函数的定义，可知正确；对于任意一个函数，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故不正确；由函数值的定义，可知正确.故选：B2B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B3B【分析】根据函数的定义判断【详解】A中中的没有对应的象，不符合；B符合函数定义，C也符合函数定义，D中对于的有两个象与之对应，不符合所以有2个

13、满足故选：B4D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集是自然数集的子集，是空集为有限集，都不能用区间形式表示，是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有可以，区间形式为，故答案为：D.5A【分析】依题意得，解不等式即可求解【详解】因为为一确定区间，则故选：A6B【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合或用区间表示为：.故选：B.7C【分析】函数定义域满足，求解即可【详解】由题， 函数定义域满足，解得.故选：C8B【分析】使解析式有意义，解不等式组

14、即可.【详解】依题意且，所以函数的定义域是故选 ：B9D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且，所以函数的定义域是且，故选：D.10C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.11C【分析】由求出的范围，然后可得答案.【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为故选：C12B【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B13D【分析】根据二次

15、函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】,对称轴,当,又因为,所以函数的值域为.故选:D14C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】，因此该函数的对称轴为：，因为，所以当时，函数有最小值，最小值为，而，所以最大值为，因此值域为，故选：C15B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于,，故A不正确；对于，故B正确;对于，故C不正确；对于，故D不正确；故选：B16C【分析】将函数分离常数后可直接求解.【详解】，从而可知函数的值域为.故选：C17D【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域【详解】解：，y，该函数的值域为故选：D18B【分析】令，可得，可

16、知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.【详解】设，则有，当时，代入原式，解得当时，由，解得，于是的最大值为，最小值为，所以函数的最大值与最小值的和为故选：B.19C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；与的定义域都是，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；与是同一函数；所以是同一函数的是.故选：C.20C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A函数的定

17、义域为，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C21B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为 ，所以两个函数不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以不是同一个函数，故选：B22B【分析】

18、设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式.【详解】设，其中，则，所以，解得或.当时，此时，合乎题意；当时，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.23B【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.【详解】设，因为，所以，化简可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.24A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出的解析式.【详解】设,因为,所以.又,所以有,解得.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25C【分析】将已知解析式配方，可得，再通过换元法求得解析

19、式【详解】因为令，所以 所以故选：C.26B【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），.故选；B27C【分析】利用换元法，令，则 ，可求出的解析式，从而得出的解析式.【详解】解：已知，令，则 ，.故选：C.28B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式求其解.【详解】，当且时，不等式可化为， ，当且时，不等式可化为， 满足条件的不存在，当且时，不等式可化为， 满足条件的不存在，当且时，不等式可化为，满足的 x 的取值范围是，故选：B.29B【分析】先求出当时，的值域为.由题意可知，当时，有解，此时，所以，故，然后根据的单调性对分和两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当

20、时，又函数的值域是，当时，有解，此时，所以，所以，当时，在上单调递减，在上单调递增，又，若，则，所以，此时，符合题意；若，则，所以，要使，只须，即；综上，.故选：B.30B【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，所以函数的值域包含,所以，解得，故选：B31C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号，即“是的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“ 等于与的乘积”也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当时，或时，故D错误.故选：C32D【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的等

21、式，求出的值，代值计算可得的值.【详解】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，所以，.故选：D.33A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法），.方法二（换元法）令，则，.故选：A34B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当时，则可化为，解得，又，所以.当时，则可化为，解得，又，所以.综上，.故选：B.35A【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，成立，当时，成立，即，当时，解得，因此得，所以的范围是.故选：A36(1)(2)【分析】根据函数解析式，分别

22、列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为: （2）要使该函数有意义，只需，解得，且，所以该函数的定义域为: 37（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c1.由得：，整理得，则，.（2）， ，2得：，.（3）令，则，.38A【分析】根据函数的

23、性质由，可得【详解】因为，所以，由得，所以，即，所以所以.故选：A.39C【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，又，所以，所以，解得.故选：C40C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以

24、这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C41B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为，函数图象如下所示：由图可知，故A错误；的值域为，故B正确；由解得，故C错误；，即，解得，故D错误；故选：B42A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，故选：A43A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，2x3，1x14，1x24，得1x6，即yf（x2）的定义域为1，6；故选：A.44A【分析】根据分段函数，分，由求解.【详解】因为函数，且，当时，即，解得或，当时，无解，综上：，所以，故选：A45ACD【分析】根

25、据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：的定义域为对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；对于D，与的对应关系不同，不是同一函数故选：ACD46AD【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A，两个函数的定义域均为，且，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A正确；对于选项B，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B错误；对于选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C错误；

26、对于选项D，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确故选：AD.47BC【分析】可以求出选项A函数的值域为，选项D函数的值域为，选项BC函数的值域为，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为，所以该选项不符合题意；B.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；C.因为，所以函数的值域为，所以该选项符合题意；D. 函数的值域为，所以该选项不符合题意.故选：BC48AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得，解得，整数a的取值为或故选：AB49AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；

27、利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，所以，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，其图象的对称轴为直线，且，所以函数在上的值域为，故D不正确故选：AC50BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.【详解】函数的定义域是，故A错误；当时，值域为，当

28、时，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误故选：BC51BCD【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A：当时，显然，而，所以不成立，故本选项不正确；B：当时，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以时，都存在，使得；当时，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当时，都存在，使得，所以本选项正确；C：当时，所以此时，显然成立；当时，所以此时，显然成立，因此本选项正确；D：当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有，此时三点共线，不构成三角形；当三个数都是有理数

29、时，此时，因此三点共线，构不成三角形；当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，所以有，当三角形是等边三角形时，有，显然，于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，所以有，当三角形是等边三角形时，有，显然，于是有，取，设，如下图所示：，即 ，所以存在三点，使得为等边三角形，因此本选项正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52【分析】根据抽象函数定义的求法，得到，即可求得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以，即，解得，所以函数的定义域为.故答

30、案为：.53【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令，则，所以，所以，故的解析式为，其值域为.故答案为：.54【分析】将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围.【详解】解：当时，值域是0，+），满足条件；令 ， 当m0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是0，+），不满足条件；当m0时，的图象开口向上，只需的，即（m2）24m（m1）0，又 ，所以 综上，实数m的取值范围是：，故答案为：.55#1010.75【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.【详解】因为，所以.

31、故答案为：56(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.（1）因为函数，画出其图象如图所示（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图所示，57（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，（4）利用方程组法求解，用x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.【详解】（1）因为，所以（2）方法一设，则，即，所以，所以方法二因为，所以（3）因为是二次函数，所以设由，得c1由，得，整理得，所以，所以，所以（4）用x替换中的x，得，由，解得58(1)(2)(3)(4)【分析】（1）将代入求解即可；（2）形如的函数常用分离常数法求值域，其值域是.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域（1）因为，所以函数的值域为（2）因为，且，所以，所以函数的值域为（3）因为，所以，所以函数的值域为.（4）设（换元），则且，令.因为，所以，即函数的值域为.