3.1.1 函数的概念-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx

1、3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号.1、直观想象2、数学运算3、数学抽象【自主学习】1. 函数的概念(1)函数的定义设A，B是 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 .(2)函数的定义域与值域函数yf(x)中，x叫做 ， A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域显然，值域是集合B的 (3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对

2、应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系注意：判断对应关系是否为函数的2个条件A、B必须是非空数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 、 和 。3相同函数值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 相同的函数4. 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间x|axb开区间x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xax|xa符号【小试牛刀】判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根

3、据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(4)两个函数相同指定义域和值域相同的函数()(5)f(x)3x4与f(t)3t4是相同的函数()(6)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应()(7)函数f(2x1)的定义域指2x1的取值范围()【经典例题】题型一函数关系的判定例1(1) 若集合Mx|0x2，Ny|0y3，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：MN的是()(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？f：把x对应到3x1； g：把x对应到

4、|x|1；h：把x对应到； r：把x对应到.跟踪训练 1 设Mx|2x2，Ny|0y2，函数yf(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数yf(x)的图象的是()题型二 已知函数的解析式求定义域求函数定义域的几种类型(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义例2 求下列函数的定义域（1）y2； (2)y；(3)y； (4)y(x1)0；跟踪训练 2

5、 求下列函数的定义域：(1)y. (2)y.题型三函数相同判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.例3下列各组函数：f(x)，g(x)x1；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)x3；f(x)x1，g(x)xx0；汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)80t(0t5)与一次函数g(x)80x(0x5).其中表示相等函数的是_(填上所有正确的序号).跟踪训

6、练 3 （1）与函数yx1为同一函数的是()AyBm()2Cyxx0Dy（2）判断以下各组函数是否表示相等函数：f(x)()2；g(x).f(x)x22x1；g(t)t22t1.题型四 求抽象函数的定义域两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)中ag(x)b，从中解得x的取值集合即为f(g(x)的定义域.(2)已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x)的定义域为a，b，即axb，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.例4 (1)设函数f(x)，则f(x1)等于什么？f(x1)

7、的定义域是什么？(2)若函数yf(x)的定义域是0，)，那么函数yf(x1)的定义域是什么？跟踪训练 4 已知函数f(x)的定义域为1,3，求函数f(2x1)的定义域注意：定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x1)中的2x1是相对应的例5 (1)已知函数yf(x)的定义域为2，3，求函数yf(2x3)的定义域；(2)已知函数yf(2x3)的定义域是2，3，求函数yf(x2)的定义域.跟踪训练 5（1）函数f(2x1)的定义域为1,3，求函数f(x)的定义域(2)函数f(1x)的定义域为1,3，求函数f(2x1)的定义域。题型五求函数值及值域求函数值的方法已知f(x)的表达式时，只需用a

8、替换表达式中的x即得f(a)的值求fg(a)的值应遵循由里往外的原则求函数值域常用的4种方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法例6 已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR).(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3)的值.跟踪训练 6已

9、知函数f(x).(1)求f(2)；(2)求f(f(1).例7 求下列函数的值域：（1） yx1，x1,2,3,4,5； （2）yx22x3，x0,3)；（3）y； (4)yx.跟踪训练 7 求下列函数的值域：(1)y1；(2)y；(3)y2x.【当堂达标】1下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和y Byx0和y1Cf(x)(x1)2和g(x)(x1)2 Df(x)和g(m)2已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)3下列函数中，值域为(0，)的是()AyByCyDyx214.已知全集UR，Ax|1x3，则UA用

10、区间表示为_.5 若函数f(x)的定义域是0,1，则函数f(2x)f的定义域为_6.已知区间2a,3a5，则a的取值范围为_7设函数f(x)x22x1，若f(a)2，则实数a_.8.已知函数f(x)x2x1.(1)求f(2)，f；(2)若f(x)5，求x的值.9.试判断函数y与函数y是否相等，并说明理由.10.已知函数y的定义域是R，求实数m的取值范围【参考答案】【自主学习】1.非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y yf(x)，xA 自变量 x的取值范围 函数值 f(x)|xA 子集 2.定义域 对应关系 值域 3.定义域 对应关系 对应关系 不是 4. a，b (a，b) (，) a，

11、) (a，) (，a (，a)【小试牛刀】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【经典例题】例1 (1) D 解析A中的对应不满足函数的存在性，即存在xM，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确(2)解是实数集R上的一个函数.它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任意xR，3x1都有唯一确定的值与之对应，如当x1时，有3x12与之对应.同理，也是实数集R上的一个函数.不是实数集R上的函数.因为当x0时，的值不存在.不是实数集R上的函数.因为当x1，且x1，所以这个函数的定义域为x|x1且x1跟踪训练 2 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即即解得3x2且x1

12、，即函数定义域为x|3x2且x1(2)要使函数有意义，则解得x，且x3，即定义域为x|x，且x3例3 解析f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数；f(x)|x3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数.跟踪训练 3（1） D 解析A中的x不能取0；B中的n1；C中的x不能取0；D化简以后为yt1.（2） 由于函数f(x)()2的定义域为x|x0，而g(x)的定义域为x|xR，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.两个函数的定义域和

13、对应关系都相同，所以它们表示相等函数.例4 解(1)f(x1).令x10，解得x1，所以f(x1)的定义域为1，).(2)函数yf(x)的定义域是0，)，所以令x10，解得x1，所以函数yf(x1)的定义域是1，).跟踪训练 4 解因为函数f(x)的定义域为1,3，即x1,3，函数f(2x1)中2x1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x11,3，所以x0,1，即函数f(2x1)的定义域是0,1例5 解(1)因为函数yf(x)的定义域为2，3，即x2，3，函数yf(2x3)中2x3的范围与函数yf(x)中x的范围相同，所以22x33，解得x3，所以函数yf(2x3)的定义域为.(2)因为

14、x2，3，所以2x37，3，即函数yf(x)的定义域为7，3.令7x23，解得9x1，所以函数yf(x2)的定义域为9，1.跟踪训练 5 解(1)因为x1,3，所以2x13,7，即函数f(x)的定义域是3,7(2)因为函数f(1x)的定义域为1,3，所以x1,3，所以1x2,0，所以函数f(x)的定义域为2,0由2x12,0，得x，所以f(2x1)的定义域为.例6 解(1)f(x)，f(2). 又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，f(g(3)f(11).跟踪训练 6 解(1)f(x)，f(2).(2)f(1)，f(f(1)f.例7 （1）(观察法)x1,2,3,4,5

15、，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6（2）(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，可得函数的值域为2,6)（3）(分离常数法)y2，显然0，y2.故函数的值域为(，2)(2，) (4)(换元法)设u，则x(u0)，yu(u0)由u0知(u1)21，y.函数yx的值域为.跟踪训练 7 解(1)(观察法)0，11.y1的值域为1，)(2)(分离常数法)y.0， y. 函数的值域为.（3）(换元法)设t，则t0，且xt21. y2(t21)t2t2t222.t0，y.故函数的值域为.【当堂达标】1.D 解析A中的函数定义域不同；B中yx0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同

16、.2. B 解析由f(x)的定义域是0,2知，解得0x3，用区间可表示为(，1(3，).5. 解析由得0x，所以函数f(2x)f的定义域为.6.(1，) 解析由题意可知3a52a，解得a1.故a的取值范围是(1，)7.1或3 解析由f(a)2，得a22a12，解得a1或a3.8.解(1)f(2)22215， f1.(2)f(x)x2x15，x2x60， x2或x3.9. 解不相等.对于函数y，由解得x1，故定义域为x|x1，对于函数y，由(x1)(x1)0解得x1或x1，故定义域为x|x1或x1，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数.10. 解当m0时，y，其定义域是R.当m0时，由定义域为R可知，mx26mxm80对一切实数x均成立，于是有解得0m1.由可知，m0,1