3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）教学设计 - 【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第一册).docx

1、 3.2.1单调性与最大（小）值第2课时 函数的最值 教学设计 本小节内容选自普通高中数学必修第一册人教A版（2019）第三章函数的概念与性质的第二节函数的基本性质。以下是本章的课时安排：第一节第二节第三节第四节课时内容函数的概念及其表示函数的基本性质幂函数函数的应用（一）所在位置教材第60页教材第76页教材第89页教材第93页新教材内容分析以初中已学的函数知识和二次函数为基础，通过四个实例的归纳、概括，抽象出函数的“集合-对应说”，并用抽象符号表示函数；通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引入分段函数并进行简单应用.教材用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小

2、）值，体现了研究数学性质的一般思路；在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观解释函数性质的引导和明示，为提升学生的抽象思维水平奠定基础.在初中已学习的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例引导学生归纳共性、抽象出概念；借助幂函数这一类函数的研究，使学生理解研究函数的内容、基本思路和方法，引导学生从不同的角度理解函数的概念.利用函数的概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题，使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.核心素养培养通过观察实例，理解函数的概念，体现了数学抽象的核心素养；通过作出函数的图象以及图象的应用，提升直

3、观想象的核心素养.通过实例，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，为提升数学运算、直观想象奠定了基础.通过幂函数概念的学习，强化了数学抽象；通过幂函数图象与性质的学习，提升直观想象与数学运算的核心素养.通过实例，了解函数在实际生活中的应用，促进学生数学抽象的核心素养；根据实际问题构造函数模型解决问题，体现了数学建模的核心素养.教学主线函数的概念从学生的知识上看，学生已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是从各种函数关系中，研究它们的共同属性；从学生现有的学习能力看，已经具备了 一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一

4、定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力；从学生的学习心理上看，学生头脑中有一些函数性质的实例，但并没有上升到“概念”的水平，对函数单调性的“定性”、“定量”描述有一些难度，学习本节内容，学生易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得新知识是学号本节课的情感基础。1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法，培养逻辑推理的核心素养；4.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。重点：函数最值的定义；函数最值的求法。难点：单调性求最值；讨论二次函数

5、的最值问题（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。2.探索交流，解决问题【探究1】 观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图中函数y=-x2的图象上有一个最高点;图中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图你能发现什么?【提示】 对任意xR,都有f(x)f(0)，f(0)是最大值。【探究2】观察下列两个函数的

6、图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图中函数y=x2的图象有一个最低点.图中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图你能发现什么?【提示】对任意xR都有f(x)f(0)，f(0)是最小值。【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。（二）函数的最值最值的定义最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论

7、称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标【思考1】函数f(x)x211总成立，f(x)的最小值是1吗？【提示】f(x)的最小值不是1，因为f(x)取不到1.【设计意图】通过最值概念的学习，使学生利用数学语言表达，提高解决问题的能力。（三）利用图象求函数的最值例1. 已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值解析作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.【类题通法】图象法求函数最值的一般步骤【巩固练习1】已知函数y|x1|2

8、，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域解析y|x1|2图象如图所示，由图象知，函数y|x1|2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(，2【设计意图】通过例题学习，使学生掌握利用图象求最值的方法，强化直观想象的核心素养。（四）利用单调性求最值例2. 求函数f(x)x，x4,0的最大值和最小值解析设x1，x2是4,0上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2x2x1.4x1x20，x1x20，x1x20，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在4,0上是减函数f(x)minf(0)3，f(x)maxf(4)9.【类题通法】 (1)若函数y

9、f(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势【巩固练习2】已知函数f(x)，x3，2，求f(x)的最大值和最小值解析法一：设x1，x2是区间3，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由于3x1x22，则x1x

10、20，x110，x210.所以f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)所以函数y，x3，2是增函数又因为f(2)4，f(3)3，所以函数的最大值是4，最小值是3.法二：f(x)2，所以f(x)图象的对称中心是(1,2)，在(，1)，(1，)是增函数，图象如图：由图象可知f(x)在3，2的值域为3,4，最小值为f(3)3，最大值为f(2)4.【设计意图】让学生归纳利用单调性求最值的一般步骤，强化解题的规范性，从而提高学生的推理论证能力。通过解题，帮助学生初步构建解题模式。（五）利用单调性比较大小、解不等式例3.(1)如果函数f(x)x2bxc，对任意实数x都有f(2x)f(2x)试比较f(1

11、)，f(2)，f(4)的大小解析由题意知，f(x)的对称轴为x2，故f(1)f(3)f(x)x2bxc，f(x)在2，)上为增函数f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解析由题意可得解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，1a2a1，即a.由可知，0a， 即所求a的取值范围是.【类题通法】1利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2D，x1x2f(x1)f(x2)(2)利用单

12、调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去2利用函数单调性解不等式与函数单调性有关的结论(1) 正向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)；当x1x2时，f(x1)f(x2)；(2) 逆向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1x2；当f(x1)f(x2)时，x1x2.当yf(x)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论【巩固练习3】已知函数f(x)在(0，)上是减函数，且f(x)f(2x3)，求x的取值范围解析f(x)是定义在(0，)上的减函数，且f(x)f(2x3)，解

13、得x5时，因为函数f(x)单调递减，所以f(x)f(3),所以f(x)max=f(-2)=5.（2）对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)在t，t2上为减函数，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.当t1t2，即1t1时，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)在t，t2上为增函数，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)【类题通法】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m,n上的最值的类型(1) 若对称轴x= -b2a 在区间m,n内,则最小值为 f-b2a 最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x

14、= -b2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若 -b2a n,则f(x)在m,n上是减函数,最大值为f(m),最小值为f(n).【巩固练习5】已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.【解析】 因为f(x)=x-a2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.(1) 当a(-,-1)时,f(x)在-1,+)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a+3a,解得a-3,即-3a-1.(2) 当a-1,+)时,f(x)min=f(a)=2-a2.要使f(x)a恒成立,只需f

15、(x)mina,即2-a2a,解得-2a1,即-1a1.综上所述,实数a的取值范围为-3,1.【设计意图】通过二次函数最值的探究，培养学生分类讨论的数学思想，提高逻辑推理素养。（八）操作演练 素养提升1.函数yx22x2在区间2,3上的最大值、最小值分别是()A10,5 B10,1C5,1 D以上都不对2.函数yx在1,2上的最大值为()A0 B. C2 D33已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1 B0 C1 D24.已知函数f(x)则f(x)的最大值为_答案：1.B 2.B 3.C 4.2【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（八）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固函数的最值的求法，树立用函数的最值解决相关问题的意识。完成教材：第81页 练习 第2，3题 第86 页 习题3.2 第4,7,10题