3.3.1 抛物线的标准方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)（解析版）.docx

1、3.3.1 抛物线的标准方程一、抛物线的定义1、定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹.2、焦点：定点F叫作抛物线的焦点.3、准线：直线l叫作抛物线的准线.4、集合表示：.5、注意事项：（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质二、抛物线的标准方程标准方程图形焦点坐标准线方程开口方向向右向左向上向下三、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方

2、程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。四、求抛物线标准方程的方法1、直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；2、待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或；注意：（1）已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；（2）已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。 题型一 抛物线定义的理解【例1】抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】

3、A【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A【变式1-1】已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）A1 B2 C4 D6【答案】C【解析】由，可得其焦点，准线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，则，解得，故选：C.【变式1-2】已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）A B C4 D8【答案】C【解析】因为圆的圆心为，半径为，抛物线的准线为，所以，故选：C.【变式1-3】抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】由题意得：，准线方程为，设点

4、P的横坐标为，由抛物线的定义可知：则，解得：或（舍去），从而点P的横坐标为1故选：A【变式1-4】已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（ ）A2 B C D4【答案】D【解析】由抛物线的定义可知，为等边三角形，设准线l与x轴交于点H，则，所以.故选：D题型二 求抛物线的标准方程【例2】若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是_【答案】【解析】由于抛物线的焦点是，准线方程为，所以抛物线开口向右，所以抛物线的标准方程为.故答案为：【变式2-1】过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）A B C D【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为

5、，因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线方程为；故选：C【变式2-2】若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）Ay2=2x By2=4x Cy2=6x Dy2=8x【答案】D【解析】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，解得，抛物线的标准方程为.故选：D.【变式2-3】以双曲线的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为_.【答案】【解析】由双曲线方程可知，则，双曲线的左焦点为，则抛物线方程设为，由条件可知，所以抛物线方程为.故答案为：【变式2-4】求焦点在直线上的抛物线的标准方程【答案】或【解析】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物

6、线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故所求方程为或.题型三 利用抛物线定义解决轨迹问题【例3】已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_【答案】【解析】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为故答案为：【变式3-1】若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是_【答案】【解析】点到直线的距离比它到点的距离小，点到直线的距离与它到点的距离相等，点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线，因此，设的轨迹方程为，可得，解得，动点的轨迹方程为故答案为：【变式3-2】设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）A抛

7、物线 B双曲线 C椭圆 D圆【答案】A【解析】设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，圆与圆外切，与直线相切，到直线的距离，即动点到定点的距离等于到定直线的距离由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.故选：A【变式3-3】已知直线和圆若圆与直线相切，与圆外切，求圆的圆心的轨迹方程【答案】【解析】设圆为半径为，圆的圆心为，半径为，则，由题意可知，圆心到直线的距离为，所以，圆心到直线的距离和它到点的距离相等，故圆心的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设该抛物线的标准方程为，则，可得，因此，圆心的轨迹方程为.题型四 抛物线中距离和差最值问题【例4】已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，则的最小值

8、为（ ）A3 B4 C5 D【答案】A【解析】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立故选：A.【变式4-1】已知点是抛物线的焦点，点M为抛物线上的任意一点，为平面上定点，则的最小值为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意得 ，准线方程为，设点在准线上的射影为， 根据抛物线的定义可知，要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，即为.所以的最小值为.故选：B.【变式4-2】若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值是（ ）A2 B C D3【答

9、案】B【解析】，因为，所以直线与抛物线相离.所以P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值为抛物线的焦点到直线的距离.故选：B【变式4-3】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_.【答案】4【解析】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故，【变式4-4】已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）A B C D【答案】B【解析】直线为抛物线的准线，点

10、到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则故选：B【变式4-5】的最小值为_【答案】【解析】设，则表示点到点与点的距离之和因为点在抛物线上，且F为C的焦点，如图所示：设P到准线的距离为d，A到准线的距离为，所以故答案为：题型五 抛物线在实际问题中的应用【例5】苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形图2是“东方之门”的示意图，已知，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（ ）A B C D【答案】B【解析】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，则，

11、解得，所以此抛物线顶端到的距离为故选:B【变式5-1】如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为_米【答案】【解析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，即故抛物线的方程为，设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，所以此时桥洞中水面的宽度为米故答案为：【变式5-2】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向

12、上高度之差至少要有0.5米.（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【答案】（1）；（2）米.【解析】（1）根据题意，设该抛物线的方程为，由图可知点在抛物线上，所以，即，所以该抛物线的方程为.（2）设车辆高为h米，则，故，代入方程，解得，所以车辆通过隧道的限制高度为米.【变式5-3】如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下若最高点距水面2m, P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多长(精确到整数位)?【答案】5 m.【解析】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系设抛物线的方程为x22py(p0)，则P(1, 1)，代入方程得p，所以抛物线的方程为x2y，又B(x, 2)令y2，则x，故OB1，所以，根据对称性知：水池直径为2(1) m，约为5 m.