3.4　二次函数.docx

1、3.4二次函数学用P31过关演练(40分钟80分)1.(2019四川攀枝花)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为(A)A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)【解析】y=x2-2x+2=(x-1)2+1,顶点坐标为(1,1).2.(2019上海)下列对二次函数y=x2-x的图象的描述,正确的是(C)A.开口向下B.对称轴是y轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分图象是下降的【解析】a=10,抛物线开口向上,选项A不正确;-b2a=12,抛物线的对称轴为直线x=12,选项B不正确;当x=0时,y=x2-x=0,抛物线经过原点,选项C正确;a0,在对称轴右侧部分,y随x的增大而增大

2、,选项D不正确.3.(2019山东莱芜)函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是(A)A.x2B.-4x2C.x2D.0x2【解析】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-4,0),a0,抛物线开口向下,当x2时,y1B.m0C.m-1D.-1m0,m+10,解得m0.6.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的抛物线的解析式为(B)A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2

3、-3【解析】由二次函数图象的平移规律可知,将抛物线y=x2先向右平移2个单位得抛物线y=(x-2)2,再向上平移3个单位得抛物线y=(x-2)2+3.7.(2019黄山屯溪四中模拟)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是(C)【解析】对于选项A,抛物线的a0,对称轴x=-b2a0,b0,对称轴x=-b2a0,这与y=bx+a的图象相矛盾,不符合题意;对于选项C,抛物线的a0,b0,这与y=bx+a的图象相符合,符合题意;对于选项D,抛物线的a0,对称轴x=-b2a0,b0;a-b+c0;x(ax+b)a+b;a0,抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1,b=-2a

4、,2a+b+c=2a-2a+c=c0,正确;抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧,而抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)右侧,当x=-1时,y0,a-b+c0,正确;x=1时,二次函数有最大值,ax2+bx+ca+b+c,ax2+bxa+b,正确;直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C,D两点,D点在x轴下方且横坐标小于3,x=3时,一次函数值比二次函数值大,即9a+3b+c-3+c,而b=-2a,9a-6a-3,解得ay1y2.【解析】由二次函数的解析式可得对称轴为x=2,当x2时,y随x的增大而增大,且由对称性知A点在函数图象上的对称点为D(

5、0,y1),y3y1y2.11.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=-112(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是10m.【解析】令y=0,得-112(x-4)2+3=0,解得x1=10,x2=-2(舍去),即铅球推出的距离是10 m.12.(2019安庆模拟)对于二次函数y=-x2+2x,有下列四个结论:它的对称轴是直线x=1;设y1=-x12+2x1,y2=-x22+2x2,则当x2x1时,有y2y1;它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);当0x0.其中正确的结论有.(把正确结论的序号都填在横线上)【解析】y=-

6、x2+2x=-(x-1)2+1,它的对称轴是直线x=1,故正确.因为二次函数在直线x=1两旁部分的增减性不一样,只有当1x2x1时,有y2y1;而当x2x11时,有y21x1时,y2与y1的大小无法比较,故错误.当y=0时,-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,故它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0),故正确.a=-10,抛物线开口向下,它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0),由图象可得当0x0,故正确.13.(8分)下表给出了一个二次函数的一些取值情况:x01234y30-103请在坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象说明:(1)当y随x的增大而增大时,自变量x

7、的取值范围;(2)当0y2.(2)当0y3时,x的取值范围为0x1或3x4.14.(10分)(2019宁夏)抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线l,顶点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)连接AB,AC,BC,求ABC的面积.解:(1)抛物线y=-13x2+bx+c经过点A(33,0),B(0,3),-9+33b+c=0,c=3,解得b=233,c=3,抛物线的解析式为y=-13x2+233x+3.(2)设线段AB所在直线为y=kx+b,线段AB所在直线经过点A(33,0),B(0,3),可得直线AB的解析式为y=-33x+3.设抛物线

8、的对称轴l与直线AB交于点D,设点D的坐标为(3,m).将点D(3,m)代入y=-33x+3,解得m=2,点D的坐标为(3,2),CD=2,过点B作BFl于点F,BF=OE=3,BF+AE=OE+AE=OA=33,SABC=SBCD+SACD=12CD(BF+AE)=12233=33.15.(10分)(2019辽宁盘锦)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件.为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元.设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式;(不求自变量的取值范围)(2)当每

9、件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少?(3)当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3910元的利润?若该店每星期想要获得不低于3910元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件?解:(1)y=100+10(60-x)=-10x+700.(2)设每星期利润为W元,W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4000.x=50时,W最大=4000.每件售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润为4000元.(3)由题意得-10(x-50)2+4000=3910,解得x=53或47,当每件童装售价定为53元或47元时,该店一星期可获得3910元的利润.

10、由题意得-10(x-50)2+40003910,解得47x53.当47x53时,y=-10x+700,y的取值范围是170y230,每星期至少要销售该款童装170件.名师预测1.已知反比例函数y=kx的图象如图,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为(D)【解析】反比例函数y=kx的图象位于第二、四象限,k0,二次函数的图象开口向下,抛物线的对称轴为直线x=-122k0,二次函数的图象与y轴的正半轴相交.结合各选项,只有D选项符合.2.若抛物线y=x2+ax+b与x轴的两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平

11、移3个单位,得到的抛物线过点(B)A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)【解析】某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,该定弦抛物线过点(0,0),(2,0),可求得该抛物线的解析式为y=x(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1.将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x-1+2)2-1-3=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(x+1)2-4=0,得到的新抛物线过点(-3,0).3.当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为(D)A.-1B.2C.0或2D.-1或2【解析】当y=1时,有x2-2x+1=1,解

12、得x1=0,x2=2.当axa+1时,函数有最小值1,a=2或a+1=0,a=2或a=-1.4.如图,在ABC中,AB=AC,底边上的高AD=BC=4,正方形ABCD的边长为2,边BC与边BC在同一条直线l上.开始时顶点B与顶点B重合,ABC固定不动,然后把正方形ABCD自左向右沿直线l平移,直到点B与点C重合时停止.设正方形ABCD的平移距离为x,两个图形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是(A)【解析】当0x1时,如图1,易得BBEBDA,BEAD=BBBD=x2,BE=2x,y=12x2x=x2,此时抛物线开口向上,y随x的增大而增大;当1x2时,如图2,y=x-1+x=2x-1,

13、此时y随x的增大而增大;当2x3时,如图3,易得DEFDBA,DEDB=DFDA,DE=2-(x-1)=3-x,DF=6-2x,y=4-12(3-x)(6-2x)=-(x-3)2+4,此时抛物线开口向下,y随x的增大而增大;当3x4时,如图4,AE=x-3,AF=2x-6,y=4-12(x-3)(2x-6)=-(x-3)2+4,抛物线开口向下,y随x的增大而减小.综上所述,选项A符合条件.5.已知函数y=x2-4x+4,当y=0时,x=2;当-2x0时,y随x的增大而减小.(填写“增大”或“减小”)【解析】把y=0代入y=x2-4x+4,得x2-4x+4=0,解得x=2.当x2时,y随x的增大

14、而减小,当-2x0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面四个结论中:2a+b=0;c=-3a;当a=12时,ABD是等腰直角三角形;使ACB为等腰三角形的a的值有三个.正确的结论是.(请把正确结论的序号都填上)【解析】根据图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,得对称轴x=-1+32=1,-b2a=1,即2a+b=0,正确;A点坐标为(-1,0),a-b+c=0,又b=-2a,a+2a+c=0,即c=-3a,正确;当a=12时,b=-1,c=-32,对称轴x=1与x轴的交点为E,如图,抛物线的解析式为y=12x2-x-32,把x=1

15、代入,得y=12-1-32=-2,D点坐标为(1,-2),AE=2,BE=2,DE=2,易知ADB为等腰直角三角形,正确;要使ACB为等腰三角形,则必有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC.当AB=BC=4时,AO=1,BOC为直角三角形,又OC的长为|c|,c2=16-9=7,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,c=-7,与2a+b=0,a-b+c=0联立,解得a=73;同理当AB=AC=4时,AO=1,AOC为直角三角形,又OC的长为|c|,c2=16-1=15,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,c=-15,与2a+b=0,a-b+c=0联立,解得a=153;同理当AC=BC时,在

16、AOC中,AC2=1+c2,在BOC中,BC2=c2+9,AC=BC,1+c2=c2+9,此方程无解,舍去.可知只有两个a值满足条件,错误.7.如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).(1)试确定该抛物线的函数表达式;(2)已知点C是该抛物线的顶点,求OBC的面积;(3)若点P是线段BC上的动点,求OP的最小值.解:(1)抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),a-1+c=0,9a+3+c=0,解得a=-12,c=32,该抛物线的函数表达式为y=-12x2+x+32.(2)y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2,点C的坐标为(

17、1,2).过点C作CDx轴于点D,可得CD=2,SOBC=1232=3.(3)在RtBCD中,CD=BD=2,由勾股定理得BC=22.当OPBC时,OP取最小值,由三角形的面积公式知12BCOP=SOBC=3,即1222OP=3,解得OP=322,OP的最小值是322.8.在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(1)已知O的半径为1.在点E(1,1),F-22,-22,M(-2,-2)中,O的“梦之点”为;若点P位于O内部,且为双曲线y=kx(k0)的“梦之点”,求k的取值范围.(2)若二次函数y=ax2-ax+1的图象上存在两个“梦之

18、点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.解:(1)OE=12+12=2,OF=-222+-222=1,OM=(-2)2+(-2)2=22,点F在O上,又点F的横坐标和纵坐标相等,O的“梦之点”为点F.设点P的坐标为(m,m),由已知可得m=km,OP2=2m20,解得0k12.(2)由“梦之点”定义可得A(x1,x1),B(x2,x2).则令x=ax2-ax+1,整理得ax2-(a+1)x+1=0,解得x1=1,x2=1a,把两个根代入|x1-x2|=2中,得1-1a=2,解得a1=-1,a2=13,当a=-1时,y=-x2+x+1=-x-122+54,其顶点坐标为12,54;当a=13时,y=13x2-13x+1=13x-122+1112,其顶点坐标为12,1112.