5.1 三角函数的定义（精讲）（教师版）.docx

1、5.1 三角函数的定义（精讲）一任意角1.定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形2分类：3.终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4.象限角与轴线角 易错点：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二弧度制1定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示2公式角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r2易错点：利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 三任意角的三角

2、函数三角函数正弦函数余弦函数正切函数定义设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)把r|OP|sin cos tan 定义域RR函数值在各象限的符号一二三四一判断象限角的方法1.图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角2.转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角二三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦三三角函数的定义1，已知角的终边上一点P的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2.已知角的一

3、个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角的三角函数值方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；3.已知角的终边所在的直线方程(ykx，k0)，求角的三角函数值方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解 考法一 任意角【例1-1】（2023春青海）下列命题中正确的是（）A如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C终边相同的角的弧度制表示相差D终边相同的

4、角的弧度都相同【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，终边相同的角的弧度制表示相差的整数倍，故C错误，D错误；故选：A【例1-2】（2023山东德州）亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）ABCD【答案】B【解析】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B.【例1-3】（2023春辽宁）下列与终边相同角的集合中正确的是（）ABCD【答案】C【解析】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误；因为，故C

5、正确；对于选项D：因为，则与终边不相同，故D错误；故选：C.【一隅三反】1（2023春上海闵行）下列说法正确是（）A角60和角600是终边相同的角B第三象限角的集合为C终边在轴上角的集合为D第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】，与终边不相，故A错误；第三象限角的集合为，故B错误；终边在轴上角的集合为，即，即，故C正确；是第二象限角，第一象限角，故D错误；故选：C.2（2023春广东清远）（多选）下列说法正确的是（ ）AB第一象限的角是锐角C1弧度的角比1的角大D锐角是第一象限的角【答案】ACD【解析】对于A：，A正确；对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；对于C：1的角为弧度，

6、比1弧度的角小，C正确；对于D：根据象限角的定义，可得D正确.故选：ACD.3（2023海南）设，且的终边与角的终边相同，则_.【答案】【解析】由题意，则，所以，故.故答案为：考法二 扇形的弧长与面积【例2-1】（2023安徽黄山市）若一扇形的圆心角为144，半径为cm，则扇形的面积为_cm2【答案】【解析】扇形的圆心角为144，半径为，所以扇形的面积为故答案为：【例2-2】（2023天津河东一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（）A4BC2D1【答案】C【解析】设扇形的半径为，圆心角为，则，所以，则扇形的周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，所以周长最小时半径的值为.故选：C.【

7、例2-3】（2022广东一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（）（参考数值：）A20.10mB19.94mC19.63mD19.47m【答案】D【解析】由题意，前轮转动了圈，所以A，B两点之间的距离约为，故

8、选：D.【一隅三反】1（2023新疆阿勒泰统考三模）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢矢）弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（精确到）ABCD【答案】A【解析】依题意，弦(m)，矢(m)，则弧田面积=()，所以弧田面积约是.故选：A2（2023吉林吉林省实验校考模拟预测）一个表面积为的圆锥，其侧面展开图是一个中心角为的扇形，设该扇形面积为，则为（）ABCD【答案】D【解析】设圆锥母线长，底面圆半径

9、，所以，圆锥表面积，扇形面积，所以.故选：D3（2023全国模拟预测）通用技术课上，张老师要求同学们从一个半径为的圆形纸片上剪出一个扇形，制作成一个圆锥形无盖漏斗，当它的容积最大时，扇形圆心角的大小为（）ABCD【答案】C【解析】设扇形的圆心角为，圆锥底面半径为，则扇形的弧长为，圆锥底面周长，解得：，由勾股定理得圆锥的高：，容积，方法一：设，则，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，当，即时，容积最大；方法二：由三元均值不等式（当且仅当时取等号）得：（当且仅当，即时取等号），即当扇形圆心角的大小为时，容积最大.故选：C考法三 三角函数的定义【例3-1】（2023上海统考模拟预测）已知为角终边

10、上一点，则=_【答案】【解析】为角终边上一点，则，.故答案为：【例3-2】（2023四川校联考模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（）ABCD【答案】B【解析】由题意知，则原式.故选：B.【例3-3】（2023全国高三对口高考）如果点P在角的终边上，且，则点P的坐标是（）ABCD【答案】B【解析】由三角函数定义知：，所以，即P的坐标是.故选：B【例3-4】（2023春江西南昌高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意可知，作出图示如下：根据题

11、意可得，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C【一隅三反】1（2023河南校联考模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若的终边与圆交于点，则（）ABCD【答案】A【解析】由题意知，故，所以，故选：A2（2023河南开封统考三模）设是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且，则tan=（）ABCD【答案】B【解析】由三角函数定义可知：，又是第二象限角，故，所以.故选：B3（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，的值为（）ABCD【答案】B【解析】设，则，因，则，故，故选：B4（2023秋山东菏泽）单

12、位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（）ABCD【答案】D【解析】点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，所以，所以点的横坐标是，纵坐标是，即.故选：D考法四 三角函数值的正负判断【例4-1】（2023春安徽）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】B【解析】因为，所以是第二象限角.故选：B.【例4-2】（2023浙江杭州）若，且，则角是第（）象限角A二B三C一或三D二或四【答案】D解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角所以为第三象限角，即，为第二或第四象限角.

13、故选：D.【例4-3】（2023全国高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】C解析】因为角第二象限角，所以，所以，当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角故选：C【一隅三反】1（2023春辽宁）点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】因为，则为第三象限角，可得，所以位于第四象限.故选：D.2（2023广东）若满足，则的终边在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】由可知的终边在第三

14、象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.故选：C.3（2023春云南昆明高三校考阶段练习）坐标平面内点的坐标为，则点位于第（）象限.A一B二C三D四【答案】B【解析】，则点位于第二象限，故选：B4（2023四川成都）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（）ABCD【答案】A【解析】因为是第三象限角，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A.5（2023全国高三对口高考）已知角的终边落在直线上，则_.【答案】【解析】由角的终边落在直线上，可得角的终边位于第二象限，可得，所以.故答案为：.考法五 三角函数线的应用【例5-1】（2023天津）设，使且同时成立的取值范围是（）ABCD【答案】D【

15、解析】因为，由正弦曲线得：时，由余弦曲线得：时，因为，所以且同时成立的x的取值范围是故选：D【例5-2】（2023全国高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是ABCD【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出，即.故选C.【例5-3】（2023全国高三专题练习）已知，则ABCD【答案】C【解析】因为在上单调递增，,所以，而，故选C.【一隅三反】1（2023上海）的大小关系为ABCD【答案】A【解析】单位圆中，故选A.2（2023湖北黄冈）关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲: 是第三象限角，乙：.丙: ，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误

16、，则此人是（）A甲B乙C丙D丁【答案】D【解析】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，若丁的判断正确，即，则，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即，此时满足，且，此时甲、丙都正确，符合题意.故选：D.3（2023广西校联考模拟预测）的值所在的范围是（）ABCD【答案】A【解析】，而，则，即有，所以的值所在的范围是.故选：A4（2023全国高三专题练习）函数ylg(2sinx1)的定义域为_.【答案】【解析】要使原函数有意义，必须有即，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，解集为,取交集可得原函数的定义域为 故答案为： 5（2023全国高三对口高考）若点在第一象限，则在内的取值范围是_【答案】【解析】由题意可得，由，可得或，当，即为第一象限角，则，则，；当，即为第三象限角，则，则，；综上所述：.故答案为：.