5.2.1 三角函数的概念（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

1、5.2.1 三角函数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 3.会利用诱导公式一进行有关计算1.数学抽象2.数学运算【自主学习】一利用单位圆定义任意角的三角函数1.单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 为半径的圆为单位圆2.三角函数定义前提在平面直角坐标系中，设是一个任意角，R，它的终边与 交于点P(x，y)，那么：定义正弦把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作 ，即y 余弦把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作 ，即x 正切单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数叫做的

2、正切函数，记作 ，即 (x0)注意：(1)要明确sin 是一个整体，不是sin与的乘积，它是“正弦函数”的一个记号；(2)在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角3.三角函数在弧度制下的定义域正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数正弦函数ysin x，定义域为 ；余弦函数ycos x，定义域为 ；正切函数ytan x，定义域为 .4.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数推广到一般情况：设为一个任意角，在的终边上任取一点P(异于原点)，其坐标为(x，y)，且OPr (r0)，则sin ，cos ，tan (x0).注意：

3、三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定二三角函数值在各象限的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“ ”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.三.诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值 四.特殊角的三角函数值【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 表示sin与的乘积.()(2)若720，则coscos.()(3)若sinsin，则.()(4)已知是三角形的内角，则必有sin0.()(5)任意角的正弦值sin、余弦值cos、正切值tan都有

4、意义()2.已知角的终边与单位圆交于点，则tan 等于()A B C D3.已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角4.sin(315)的值是()A B C. D【经典例题】题型一 任意角的三角函数的定义及其应用点拨：求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值方法二：第一步，取点：在角的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；第二步，计算r：r|OP|；第三步，求值：由sin，cos，tan(x0)求值在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用.例1

5、 (1)若角的终边经过点P(5，12)，则sin_，cos_，tan_.(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin，cos，tan的值【跟踪训练】1已知角的终边上有一点P(x,3)(x0)，且cos x，则sin tan 的值为 题型二 三角函数在各象限的符号运用点拨： 判断三角函数值正负的两个步骤1.定象限：确定角所在的象限2.定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断 注意：若sin0，则的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上例2 (1)确定下列三角函数值的符号：sin 156；cos；cos(450)；tan；sin；ta

6、n 556.(2)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限【跟踪训练】2已知cos tan 0，那么角是()A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D第一或第四象限角题型三 诱导公式一的应用点拨：1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等利用它可将大角转化为0,2)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的2.熟记一些特殊角的三角函数值例3 求下列各式的值：(1)cos tan()；(2)sin 810tan 765cos 360.【跟踪训练】3 求值：sin(1 740)cos 1 470cos(6

7、60)sin 750tan 405.【当堂达标】1.已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于()A. B. C D2.已知角终边过点P(1，1)，则tan 的值为()A1 B1 C. D3.sin的值等于()A. B C. D4.若sin0，则的终边在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5.已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，则2sin cos _.6.化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sincostan 4.【参考答案】【自主学习】一1.单位长度 2. 单位圆 sin sin cos cos tan ta

8、n 3. R R 4. 二一全正、二正弦、三正切、四余弦三相等【小试牛刀】1. (1) (2)(3)(4)(5)2.D3.B解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角4.C 解析：sin(315)sin(36045)sin 45.【经典例题】例1 (1)x5，y12，r13，则sin，cos，tan.(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin，cos，tan；在第四象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin，cos，tan.【跟踪训练】1或解析：因为r，cos ，所以x.又x0，所以x1，所以r.又y30，所以是第一或第二象

9、限角当为第一象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .当为第二象限角时，sin ，tan 3，则sin tan .例2 (1)解：156是第二象限角，sin 1560.为第三象限角，cos 0.450720270是终边落在y轴的非正半轴上的角，cos(450)0.2是第四象限角，tan0.2是第二象限角，sin0.556360196是第三象限角，tan 5560.(2)C 解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角终边在第三象限【跟踪训练】2 C解析：cos tan 0，或由得角为第三象限角由得角为第四象限角角为第三或第四象限角例3 解：(1)原式cos(8)tan(4)cos t

10、an 1.(2)原式sin(902360)tan(452360)cos 360sin 90tan 4511111.【跟踪训练】3解：原式sin(605360)cos(304360)cos(602360)sin(302360)tan(45360)sin 60cos 30cos 60sin 30tan 4512.【当堂达标】1.D2.B 解析：由三角函数定义知tan 1.3.A 解析：sinsinsin，选A.4.A 解析：由于sin0，则的终边在第一或第三象限，所以的终边在第三象限5. 解析：由题意知x4a，y3a，故r5|a|.当a0时，r5a，sin ，cos ，则2sin cos .当a0时，r5a，2sin cos 2.综上，2sin cos 6.解：(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0a2b22ab(ab)2.(2)sincostan 4sincostan 0sin0.