5.3.5 随机事件的独立性-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、5.3.5随机事件的独立性学 习 目 标核 心 素 养1在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念(难点)2能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题(重点)3综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题(重点、难点)1通过学习事件相互独立的概念，体会数学抽象的素养2借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养.3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”问题：(1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？提示(1)因为抽取是有放回的，所

2、以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立(2)两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响1相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立(简称独立)(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？提示相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件

3、A，B中有一个发生，记作：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)2n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，An相互独立3独立事件的概率公式(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)(2)若事件A1，A2，An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若事件A，B相互独立，则P()P()P()()(2)若事件A与相互独立，则B与相互独立()(1)(2)(1)若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(

4、1)正确(2)由相互独立事件的概念可判2甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P1，乙解对的概率为P2，那么至少有1人解对的概率是()AP1P2BP1P2C1P1P2D1(1P1)(1P2)D设甲解对为事件A，乙解对为事件B，则P(A)P1，P(B)P2.则P1P()1(1P1)(1P2)3一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()A.B.C.D.C由题意知，恰有一次通过的概率为.4在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为_由题意可知，每个交

5、通灯开放绿灯的概率分别为，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P.相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”思路探究由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件解答本题可先看两个事件中的

6、一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以P(A)，P(B)，P(AB).所以P(AB)P(A)P(B)

7、，所以事件A与B相互独立判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B)(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”DA“人能活到20岁”，B“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A相互独立但不互斥B互斥但不相互独立

8、C相互独立且互斥D既不相互独立也不互斥(1)A(2)A(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件故选A.相互独立事件同时发生的概率【例2】甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2

9、个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出密码的概率思路探究明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概率，然后选择公式计算求解解记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)，P(B).(1)“2个人都译出密码”的概率为：P(AB)P(A)P(B).(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P()P()P()1P(A)1P(B).(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1P(AB)1P(A)P(B)1.1求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的(2)

10、再确定各事件会同时发生(3)先求每个事件发生的概率，再求其积2公式P(AB)P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大解记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

11、则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0P()P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.综合(1)(2)可知P1最大所以出现恰有一人合格的概率最大事件的相互独立性与互斥性探究问题1甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A“甲击中目标”，B“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？提示事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件2在探究1中，若

12、甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？提示“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则CBA.所以P(C)P(BA)P(B)P(A)P()P(B)P(A)P()(10.6)0.60.6(10.6)0.48.【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率思路探究该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解解分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.由题意知这段时间内3个开关是

13、否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P( )P()P()P() 1P(A)1P(B)1P(C)(10.7)(10.7)(10.7)0.027.所以在这段时间内线路正常工作的概率是1P( )10.0270.973.概率问题中的数学思想(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P()1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)(3)方程思想利用有关的概

14、率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解3设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率解在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生A和B相互独立，A与，和B也相互独立P(A)P(A)P()P(A)1P(B)，P(B)P()P(B)1P(A)P(B).得P(A)P(B)联立可解得P(A)P(B).P(AB)P(A)P(B).一、知识总结1事件之间的关系有(1)包含关系，相等关系；(2)互斥关系，对立关系；(3)独立关系2互斥事件与独立事件的区别互斥事件不能同时发生，独立事件不但能同时

15、发生且必须满足P(AB)P(A)P(B)二、方法归纳正难则反三、常见误区相互独立事件的判断；相互独立事件与互斥事件的区别1设A与B是相互独立事件，下列命题中正确的有()A与B对立；A与相互独立；A与B互斥；与B相互独立；P(AB)P(A)P(B)A1个B2个C3个D5个C由相互独立事件的性质及概率公式可知正确2甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为()A. B. C. D.A此问题没有被解决的概率为，故有人能够解决这个问题的概率为1.故选A.3坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，

16、A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是()A相互独立事件B不相互独立事件C互斥事件D对立事件A由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件4甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为_(答案用分数表示)从甲袋中取出一个红球的概率为，从乙袋中取出一个红球的概率为，故取出的两个球都是红球的概率为.5根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率解记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)0.5，P(B)0.6.(1)记C表示事件“一位车主同时购买甲、乙两种保险”，则CAB，所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.60.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则DB，所以P(D)P(B)P()P(B)(10.5)0.60.3.