5.4.3 正切函数的性质与图象-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）.docx

1、youx5.4.3正切函数的性质与图象【考点梳理】考点一函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在每个开区间(kZ)上都是增函数对称性对称中心(kZ)【题型归纳】题型一：正切函数的图象的应用1函数与的图像在上的交点有（）A9个B13个C17个D21个2在（0，）内，使成立的的取值范围为（）A（，）BCD3方程的解集是（）ABCD题型二：正切函数的单调性的应用4已知函数在内是减函数，则的取值范围是（）ABCD5设，则a，b，c的大小关系为（）ABCD6已知且，则的取值范围为（）ABCD题型三：正切函数的定义域、值域7函数f（x）=-xtanx（x

2、）的图象大致为（）ABCD8已知函数，则下列结论不正确的是（）AB是的一个周期C的图象关于点对称D的定义域是9已知函数f(x)tan x，则下列结论不正确的是（）A2是f(x)的一个周期BCf(x)的值域为RDf(x)的图象关于点对称题型四：正切函数图像和性质的综合应用10设函数(1)求函数的定义域和单调区间;(2)求不等式的解集11已知函数(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；(2)求函数的最小值12设函数 .(1)求函数 的定义域;(2)求不等式 的解集.【双基达标】一、单选题13函数的单调递增区间为（）A，B，C ，D ，14下列关于函数说法正确的是（）A函数的定义域为RB函数为奇函数C函

3、数的最小值为0D函数的最小正周期为15若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（）ABCD16函数，的值域为（）ABCD17已知，则“函数的图象关于原点对称”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件18下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）ABCD19已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（）ABCD20现有四个命题：；函数的图像存在对称中心；函数的最小正周期为其中真命题的个数是（）A1B2C3D421若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（）ABC2D422已知函数的最小

4、正周期为2，其图象过点.(1)求的解析式和对称中心；(2)请指出函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到.23已知函数(1)求的定义域和最小正周期；(2)求的单调区间【高分突破】一、单选题24已知函数，则下列结论正确的是（）A函数的定义域为RB函数的最小正周期为4C函数的单调递增区间为，D函数图像的对称中心为，25函数，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点，则方程所有解的和为（）ABCD26设函数，则在上所有零点的和为（）ABCD二、多选题27已知函数，则下列结论正确的是（）A是的一个周期BC的定义域是D的图象关于点对称28下列结论正确的是（）ABCD29关于函数的说法中正确的是（）A定义域是，B图

5、像关于点对称C图像关于直线对称D在区间上单调递增30已知函数，则（）A的最小正周期为B的定义域为CD在上单调递减31（多选）已知函数，则（）A的图像关于y轴对称B的最小正周期为C在区间上单调递增D的图像关于点对称32下列说法正确的是（）A若函数则B函数的最小正周期为C已知，若直线分别与的图像的交点为M，N，则的最大值为2D不等式的解为三、填空题33函数的值域为_.34若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则_35若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_36已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是_.37已知，若，则的取值范围是_.38函数，的值域为_39若将函数（0）的图像向

6、右平移个单位长度后，与函数y的图像重合，则的最小值为_.四、解答题40设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.(1)求的单调区间；(2)求不等式的解集.41已知函数(1)求的定义域和值域(2)讨论的最小正周期和单调区间(3)求的对称中心42已知(1)求函数的周期和单调递减区间；(2)试比较与的大小43判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).【答案详解】1A【解析】直接解方程确定【详解】，则或，显然的解包含在中，共9个故选：A【点睛】本题考查正弦函数与正切函数图象交点问题，可通过解方程确定解的个数2B【分析】画出和直线的图象，由图象可得不等式的解集.【详解】画出和直线的

7、图象，由图象可得,在上解集为，故选B.【点睛】本题考查利用正切函数的图象解不等式，关键是掌握正切函数的图像和性质，利用数形结合思想求解.3C【分析】把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.【详解】由题意，方程，可化为，解得，即方程的解集为.故选：C.4C【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于的不等式组，求出解集即可【详解】由函数在内是减函数.所以，且，解得：.故选：C【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题5A【分析】根据和正切函数的单调性直接得出结果.【详解】由题意得，函数在上单调递增且，在上单调递增且，因为，所以，所以.故选：A.6B【分析】对的范围

8、分三种情况讨论，结合正切函数的性质计算可得；【详解】解：因为在上单调递增，当时，则即，解得，所以，当时，则即，解得，所以，当时，此时无意义，故舍去，综上可得.故选：B7D【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断.【详解】因为，所以是奇函数，排除BC，又因为，排除A，故选：D8C【分析】画出函数的图象，观察图象可解答.【详解】画出函数的图象，易得的周期为 ，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；点不是函数的对称中心，C错误.故选：C9B【分析】根据正切函数的性质判断【详解】A(x)tan x的最小正周期为，所以2是f(x)的一个周期，所以该选项正确；B，1，所以该选项不正确；Cf

9、(x)tan x的值域为R，所以该选项正确；Df(x)tan x的图象关于点对称，所以该选项正确故选：B10(1)定义域为；无单调递减区间；单调递增区间为(2)【分析】（1）由可求得定义域；令可解得的单调递增区间；（2）将看作一个整体，可得，解不等式即可求得不等式的解集.【详解】（1）由题意得：，解得：，的定义域为；令，解得：，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）由得：，解得：，则的解集为.11(1)是偶函数，证明见解析.(2)2.【分析】（1）根据偶函数的定义进行证明.（2）去绝对值，转化为分段函数问题进行处理.（1）是偶函数，证明如下：因为函数，所以的定义域为，所以的定义域关于原点对称

10、，又，即，所以是偶函数（2）因为函数，去绝对值有：，所以当时，取得最小值2所以函数的最小值2.12(1)(2)【分析】（1）（2）根据正切函数的性质计算可得；(1)解：函数，所以，解得，；故函数的定义域为(2)解：因为，则，解得，故原不等式的解集为，13A【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，令 ，解得 ，所以函数的单调递增区间为，故选：A.14D【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选

11、项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.15B【分析】根据题意可得，得，从而转化为解不等式，利用正切函数的性质求解即可.【详解】因为直线与函数的图象无公共点，且，所以，所以，故可化为，所以解得所以不等式的解集为，故选：B16A【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.【详解】设，因为，所以因为正切函数在上单调递增，且，所以故选：A1

12、7B【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，再利用充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】的图象关于原点对称，故，因为可以推出，但推不出，所以“函数的图象关于原点对称”是“”的必要不充分条件.故选：B.18B【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A、D，利用单调性可排除选项C，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：由于的周期为，故选项A不正确；对于选项B：由于以为最小正周期，且在区间上为减函数，故选项B正确；对于选项C：故由于的周期为，故选项C不正确；对于选项D：由于在区间上为增函数，故选项D不正确.故选：B.19C【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求

13、出，再列出方程可求解.【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则有的周期，解得，于是得，所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），解得，（）,可知为其一个对称中心.故选：C20C【分析】对于：利用函数单调性结合最值判断；对于：，利用基本不等式处理运算；对于：可证为奇函数；对于：的最小正周期为，结合图像变换分析判断【详解】因为在上单调递增，且，所以是假命题当时，所以是真命题因为，所以为奇函数，其图像关于原点对称，所以是真命题的最小正周期为，则函数的最小正周期，所以是真命题故选：C21C【分析】求出平移后的函数解析式，再利用正切函数的性质列式求解作答.【详解】函数的图象向右平移个单位得，

14、依题意，解得，而，有，所以的最小值为2故选：C22(1)，(2)答案见解析【分析】（1）利用周期公式可得,将点代入解析式即得函数；（2）利用三角函数图象的变换写出变换过程.(1)由已知得，解得.将点代入解析式，可知，由可知，于是.令，解得，于是函数图象的对称中心为.(2)先把函数的图象向右平移个单位得到，再把函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的得到，再把函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍得到.23(1)定义域为；最小正周期为(2)单调递减区间为【分析】（1）令即可解得的定义域，（）的最小正周期（2）函数与单调性相反，求得单调递减区间即是求的单调递增区间(1)要使函数有意义，只需

15、，解得，所以函数的定义域为函数的最小正周期为(2)由于正切函数在区间上单调递增，对于函数令，解得，即在上单调递增而函数与单调性相反故函数单调递减区间为24D【分析】利用整体代入法，由正切函数的定义域可判断A；由三角函数的周期公式可判断B；由正切函数的单调区间可判断C；由正切函数的对称中心可判断D.【详解】由得，所以函数的定义域为，故A错误；函数的最小正周期为，故B错误；由得，函数的单调递增区间为，故C错误；由得,所以函数的对称中心为，故D正确.故选：D.25B【分析】先求出，进而求出，代入特殊点坐标，求出，得到，从而得到方程，结合，求出，得到答案.【详解】由题意得：，所以，因为，所以，所以，又

16、，解得：，所以，故，因为，所以，当或满足题意，所以或时，解得：，故.故选：B.26D【分析】将函数的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令，则，故在上所有零点问题，即为函数的图象的交点问题；作出函数在 上的大致图象，如图示：由于的最小正周期 ,故在上正好有的11个周期，每个周期内图象和直线 都有一个交点，故在上共有 个交点， 由于点 为的对称中心，故在 上，图象的交点也有12个，且和上的交点两两关于对称，因此图象所有交点的横坐标之和为 ，即在上所有零点的和为 ，故选：D27ABC【分析】根据的图象逐个分析即可.【详解】对A，画出函数的图象（如图），易得的周期为，

17、取，则是的一个周期，故A正确；对B，是偶函数，则，故B正确；对C，易得的定义域是，故C正确；对D，由图可得点不是函数图象的对称中心，故D错误故选：ABC28AD【分析】根据正切函数的单调性及诱导公式即可求解.【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以故A正确；对于B, 故B不正确；对于C，又，函数在上单调递增，所以，即故C不正确；对于D，又，函数在上单调递增，所以，即故D正确.故选：AD.29AB【分析】利用正切函数的图像与性质以及“整体代换”的方法进行求解.【详解】对于A，因为函数，由，得，故A正确；对于B，函数，因为，所以图像关于点对称，故B正确；对于C，函数，所以函数不存在对称轴，故C

18、错误；对于D，函数，因为，所以，又区间不是函数的单调递增区间，故D错误故选：AB.30AC【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可.【详解】对于A：函数的最小正周期，故A正确；对于B：由，得，所以函数的定义域为，故B错误；对于C：，所以，故C正确；对于D：当时，因为在单调递增，所以在上单调递增，故D错误.故选：AC.31AC【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性求解，对于BCD，作出函数的图像，利用图像判断.【详解】由，得，所以的定义域关于原点对称又，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故A正确当时，作出函数在时的简图，再由的图像关于y轴对称得函数的简图，如

19、图根据函数图像知，函数不具有周期性，且在区间上单调递增，函数图像不关于点对称，故B，D错误，C正确故选：AC32AC【分析】根据三角函数有关性质对选项逐一判断【详解】对于A，由诱导公式知，即，故A正确对于B，的最小正周期为，故B错误对于C，最大值为2，故C正确对于D，由正切函数图像可知不等式的解为，故D错误故选：AC33【分析】根据题意，结合正切函数的图象与性质，即可求解.【详解】设，因为，可得，因为正切函数在上的值域为，即函数在的值域为.故答案为：.34【分析】根据题意可得出函数的最小正周期，求出的值，然后代值计算可得的值.【详解】因为，且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，所以，函数

20、的最小正周期，所以，则，因此，.故答案为：.35【分析】根据正切函数的性质得到不等式组，解不等式组即可.【详解】解：因为，所以，所以，解得，即故答案为：36（答案不唯一）【分析】由正切函数的图象与性质即可得解.【详解】解：因为的图象关于点中心对称，所以，则，.当时，故答案为：37【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得，当时，由原不等式可得，解得，综上.故答案为：38【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.【详解】因为，所以，则当时，当时，所以函数的值域为.故答案为：.391【分析】根据

21、图像变换得到,解出的范围，即可求出的最小值.【详解】将函数（0）的图像向右平移个单位长度后，得到的图象，由于与函数的图像重合，所以（kZ），整理得：112k.因为0，所以当k0时，的最小正值为1.故答案为：140(1)单调递增区间：，无递减区间(2)【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T，即，因为0，所以2，从而f(x)tan(2x)，因为函数yf(x)的图象关于点M对称，所以2，kZ，即

22、，kZ.因为0，所以，故f(x)tan.令k2xk，kZ，得，即所以函数的单调递增区间为，kZ，无单调递减区间(2)由（1）知，f(x)tan.由1tan，得Z，即Z所以不等式1f(x)的解集为.41(1)定义域为，值域为 ；(2)最小正周期是；单调增区间为，；无减区间；(3)， 【分析】（1）由已知函数的解析式可直接求解其定义域、值域；（2）由已知，可通过来求解函数的最小正周期，可令求解函数的单调递增区间；（3）可令来求解函数的对称中心.(1)函数，即，；的定义域为，值域为；(2)，的最小正周期是；又令，的单调增区间为，无减区间；(3)令，解得，此时；函数的对称中心为，42(1)周期；， ；

23、(2) 【分析】（1）由已知，根据函数解析式，可利用来求解函数的最小正周期，可先对函数进行变形，变为，然后令，解不等式即可求解出函数的单调递减区间；（2）分别计算与，然后记住函数的单调性即可比较大小.(1)函数，其周期由，解得：所以单调递减区间为：，(2)，即43(1)既不是偶函数，也不是奇函数(2)奇函数【分析】(1)求函数的定义域，可得定义域不关于原点对称，由此判断函数既不是偶函数，也不是奇函数，(2)求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，再通过比较与的关系判断函数的奇偶性.(1)由得的定义域为且，由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数；(2)由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数.