6.1 幂函数-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）.docx

1、6.1幂函数【考点梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点二五个幂函数的图象与性质1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)y；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图2五个幂函数的性质yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在0，) 上增，在(，0 上减增增在(0，)上减，在(，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)2当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时

2、，幂函数的图象上凸3当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列【题型归纳】题型一：幂函数的定义1（2022北京中国科学院附属实验学校高一期中）现有下列函数：；，其中幂函数的个数为（）A1B2C3D42（2019福建南平高一期末）已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（）AB1CD1和3（2021全国高一专题练习）在函数， ， ， ，中，是幂函数的是（）ABCD题型二：幂函数的值域问题4（2022全国高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是（）ABCD5（2021全国高一专题练习）下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（）A B C D 6（2019全国

3、高一专题练习）已知幂函数f（x）=（m1），则下列关于f（x）的说法不正确的是A存在x00，+），使f（x0）0Bf（x）的图象过点（1，1）Cf（x）在其定义域上是增函数D对于任意xR，f（x）+f（x）=0题型三：幂函数的定点和图像问题7（2022上海财经大学附属中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）ABCD8（2022广东外语外贸大学实验中学高一阶段练习）下列关于幕函数的命题中正确的有（）A幂函数图象都通过点B当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限C当幂指数时，幂函数是增函数D若，则函数图象不通过点9（2022全国高一专题练习）下列命题中正确的是（）A当时，

4、函数的图像是一条直线；B幂函数的图像都经过和点；C幂函数的定义域为；D幂函数的图像不可能出现在第四象限题型四：判断幂函数的单调性10（2022湖北十堰市郧阳区第二中学高一期中）幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（）A偶函数，单调递增区间B偶函数，单调递减区间C偶函数，单调递增区间D奇函数，单调递增区间11（2020黑龙江哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知函数是幂函数，且在单调递增，则m的值为（）A2B3C2或3D2或312（2022全国高一专题练习）如图，对应四个幂函数的图像，其中对应的幂函数是（）ABCD题型五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）13（2022浙江温州中学高一

5、期中）若,则实数的取值范围是（）ABCD14（2022安徽省定远中学高一阶段练习）设，则，的大小关系是（）ABCD15（2022全国高一期中）幂函数在区间上单调递增，则（）A27BCD题型六：幂函数的奇偶性问题16（2021重庆实验外国语学校高一期中）已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（）AB0C1D217（2021全国高一）已知幂函数（，且，互质）的图象如图所示，则（）A，均为奇数，且B为偶数，为奇数，且C为奇数，为偶数，且D为奇数，为偶数，且18（2022云南昆明一中高一期中）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（）ABCD题型七：幂函数的综合性

6、问题19（2022福建泉州高一期中）已知幂函数，且在区间上单调递减.(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，利用单调性定义证明：在上单调递减.20（2022上海市控江中学高一期中）已知是幂函数，(1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域；(2)若，求实数的取值范围.21（2022浙江嘉兴高一期中）已知幂函数（为常数）的图象经过点.(1)求的解析式；(2)设，（）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；（）若在上恒成立，求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题22（2022上海市建平中学高一期中）下列函数中，既是幂函数又是上的严格增函数的是（）ABCD23（2022贵州贵阳一中高一阶段练习）

7、幂函数的图象过点，则f(4)等于（）AB2CD24（2022浙江温州高一期中）若幂函数的图象过点，则的值域为（）ABCD25（2022湖南省宁远县第一中学高一期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（）A3B1C1或3D1或326（2022浙江宁波咸祥中学高一期中）函数的图象大致为（）.ABCD27（2022全国高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（）ABCD28（2022全国高一课时练习）图中，分别为幂函数，在第一象限内的图象，则，依次可以是（）A，3，B，3，C，3D，329（2022广西高一阶段练习）已知幂函数的图像过点(1)求的解析式，并

8、用定义证明其在定义域内的单调性；(2)解关于t的不等式30（2022新疆高一期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求的值；(2)若函数的图象与轴交于，两点，求在上的值域.【高分突破】一：单选题31（2022全国高一单元测试）下列命题正确的是（）A幂函数的图象都经过，两点B函数的图象经过第二象限C如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点32（2022河南南阳中学高一阶段练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间1,9上的值域为（）A1,0BC0,2D33（2022湖北黄石高一期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（）ABCD

9、34（2022全国高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（）A是奇数且B是偶数，是奇数，且C是偶数，是奇数，且D是偶数，且二、多选题35（2022广东林百欣中学高一期中）已知函数为幂函数，则该函数为（）A奇函数B偶函数C区间（0，+）上的增函数D区间（0，+）上的减函数36（2022浙江德清县教育研训中心高一期中）下列关于幂函数描述正确的有（）A幂函数的图象必定过定点和B幂函数的图象不可能过第四象限C当幂指数时，幂函数是奇函数D当幂指数时，幂函数是增函数37（2022贵州黔东南高一期中）已知函数的图象经过点，则（）A的图象经过点B的图象关于y轴对称C在定义域上单调递减D在内的值域为3

10、8（2022全国高一课时练习）已知 都是定义在R上的函数，其中 是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（）A 为偶函数B CD 39（2022全国高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（）A函数为增函数B函数为偶函数C当时，D当时，三、填空题40（2022上海市高桥中学高一期中）己知幂函数，则实数m的值为_41（2022广东深圳市南头中学高一期中）设，则与的大小为_.42（2022四川成都七中高一期中）已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是_43（2022湖南长郡中学高一期中）已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是_44（2022浙江余姚中学高一阶段练习）给出以下四个命题

11、：若函数的定义域为，则函数的定义域为；函数的单调递减区间是；已知集合，则映射：中满足的映射共有3个；若，且，则.其中正确命题的个数为_. 四、解答题45（2022上海上外附中高一期中）已知偶函数在上是严格增函数(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式46（2022浙江省杭州第二中学高一期中）已知幂函数为偶函数，(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求k的取值范围.47（2022浙江省普陀中学高一期中）已知幂函数(1)若的定义域为R，求的解析式；(2)若为奇函数，使成立，求实数k的取值范围48（2022湖南雅礼中学高一期中）已知幂函数的图像经过点.(1)求证：，其中.(2)设，若“，”是真命题

12、，求实数a的取值范围.【答案详解】1B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2B【分析】先由函数是幂函数，让其系为1，即，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件.【详解】因为函数是幂函数所以所以或当时在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立故选：B【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3B【分析】由题意利用幂函数的定义：幂函数是形如 的函数，逐一判断得出结论【详解】解：根据幂函数的定义：幂函数是形如 的函数。在函数中：是的情形，是幂函数；系数是 ，不是幂函数；系数是， 是一次函数，不是幂函数

13、；不是幂函数，；是的情形，是幂函数；是的情形，是幂函数。故是幂函数的有，故选：B【点睛】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题4C【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.5D【分析】由幂函数性质可得解.【详解】A中定义域和值域都是；B中 ,定义域和值域都是；C中定义域和值域都是；D中定义域为R，值域为故选：D【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.6D【分析】首先根据幂函数的概念求得的值也即求得函数的解析式.根据函数的解析式判断函数的值域以及函数过的定点、单调性、奇偶性等等，由此得出选项.【详解】由题意得m1=1，即

14、m=2，所以f（x）=，易知A，B，C正确，f（x）是非奇非偶函数，故D错故选D【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性、定义域、值域、过定点和奇偶性等等知识，属于基础题.形如的函数为幂函数，它的系数为，所以本题可以根据这个知识点求得的值进而求得解析式.对于来说，它的定义域是，故为非奇非偶函数.7A【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.【详解】设幂函数为，因为该幂函数得图象经过点，所以，即，解得，即函数为，则函数的定义域为，所以排除CD，因为，所以在上为减函数，所以排除B，故选：A8B【分析】根据幂函数的性质，结合取值的

15、情况，一一判断各选项的正误，可得答案.【详解】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B正确；对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B9D【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；对于C，函数，故定义域为，故错误；对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.故选：D.

16、10C【分析】根据题意求得幂函数解析式，再求定义域，奇偶性和单调区间即可.【详解】设幂函数为，则，解得，所以，定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数；显然其单调增区间为.故选：C.11B【分析】由幂函数定义求出或3，利用在单调递增求出m的取值范围，最终求得答案.【详解】由幂函数定义得：，解得：或3，又在单调递增，所以，解得：，综上：m的值为3.故选：B12D【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案.【详解】根据函数图象可得：对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.故选：D13D【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围.【详解】

17、解:由题知构造,由幂函数性质可知单调递增,综上:.故选:D14B【分析】根据幂函数的单调性比较大小.【详解】，因为函数在上单调递增，又，所以，即，故选：B15A【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，令，即，解得或，当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，即幂函数，则.故选：A.16C【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案.【详解】幂函数在区间上是单调增函数，故，解得，当时，不满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件；故选：C.17D【分析】根据函数的单调性可判断出；

18、根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.【详解】观察图象，由图象在第一象限内是单调递减的可知由图象关于轴对称可知函数为偶函数，从而为偶数，又因为，互质，所以为奇数.故选：D.18D【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.【详解】由题意，解得或，又在上单调递增，所以，所以，易知是偶函数，所以由得，解得或.故选：D.19(1)；(2)证明见详解【分析】（1）易得，代入值验证符合在区间上单调递减的值即可；（2），再利用定义证明即可.【详解】（1）由幂函数性质可得，解得或，又在区间上单调递减，当时，不满足题意，舍去；当时，满足题意，所以，定义域为

19、；（2），设，因为，所以，所以，在上单调递减.20(1)，定义域为(2)或【分析】（1）设，代点计算可得表达式，进而可得定义域；（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.【详解】（1）设，代入点得，解得即，其定义域为（2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减，解得或.21(1)(2)（）单调递增，证明见解析；（）【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得解；（2）（）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（）由（）函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）解：幂函数的图象经过点，解

20、得，；（2）解：由（1）可得，（）在上单调递增，证明：设任意的且，函数在区间上单调递增；（）在上恒成立，又在区间上单调递增，所以，所以，的取值范围是22B【分析】根据幂函数的定义以及性质即可求解.【详解】对于A;不是幂函数，故不符合，对于B; 是幂函数，且在单调递增，符合，对于C; 是指数函数，不符合要求，对于D; 不是幂函数，不符合要求，故选：B23B【分析】根据点求得的解析式，从而求得.【详解】依题意，则.故选：B24C【分析】根据函数类型，结合待定系数法求得参数，再利用换元法求函数值域即可.【详解】因为为幂函数，故可得；又，故可得，则，令，则，且，故的值域与的值域相等，又在单调递增，在上

21、单调递减，当时，故，即的值域为：.故选：C.25A【分析】根据幂函数的概念及性质即得.【详解】因为是幂函数，所以，解得或3；又在上单调递增，当时，不符合题意，当时，符合题意，故故选：A26A【分析】根据函数的奇偶性可排除CD，再由时，由的正负排除B，即可得解.【详解】，函数为奇函数，故排除CD选项；当时，所以，例如时，故可排除B.故选：A27D【分析】由条件知，可得m1再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得又，故m1或2当m1时，的图象关于y轴对称，满足题意；当m2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m1不等式化为，函数在和上单调递减，故或或，解得或故应选：

22、D28D【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.【详解】由题图知：，所以，依次可以是，3故选：D29(1)；证明见解析(2)或【分析】（1）设，代入点可得其解析式，再任取，通过计算的正负来证明的单调性；（2）先证明是奇函数，再利用奇偶性将不等式进行转化，然后利用单调性去掉，解一元二次不等式即可.【详解】（1）设，将点代入解析式得，解得，任取，又，即的上为增函数（2），是奇函数，所以不等式等价于，又因为在上为增函数，所以，即，解得：或，所以该不等式的解集为或30(1)(2)【分析】（1）由幂函数定义可得，解得，再求解即可；（2）代入可得，结合韦达定理可求解得，结

23、合二次函数性质可求解.【详解】（1）由题意得，解得或，且，即，所以故.（2）由（1）得，由题意得，6是方程的两个根，则解得，因为为开口向上的二次函数，且对称轴为，因此在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上的值域为.31D【分析】通过举反例可判断A、C项，根据幂函数的性质可判断B项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D项.【详解】解：对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确故选：D32B【分析】

24、根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，因为，所以，故因此，函数在区间1,9上的值域为故选：B解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以因为，所以因为，所以，所以，解得，即函数在区间1,9上的值域为故选：B33D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D34C【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；【

25、详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.35BC【分析】首先根据题意得到，再判断其奇偶性和单调性即可得到答案.【详解】为幂函数，所以，即，.设，定义域为R，所以函数为偶函数，在为增函数.故选：BC36BD【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误；选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确；选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；故选：BD37AD【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断【详解】将点的坐标代入

26、，可得，则，所以的图象经过点，A正确；根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函数在内的值域为，故BC错误，D正确，故选：AD38ACD【分析】由函数奇偶性定义可判断A;根据的奇偶性结合可求得，判断C;进而判断B;讨论和可得的解析式，判断D.【详解】对于A，故为偶函数，A正确因为，以，又是奇函数，是偶函数，所以，解得，故C正确对于B，由C的分析可知，故B错误对于D，当 时，；当 时，所以，故D正确故选：ACD39ACD【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方

27、差证明不等式可判断D项.【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，故C正确，当时，又，所以，D正确故选：ACD.401【分析】根据幂函数的定义可求实数m的值.【详解】由题设可得，解得，故答案为：1.41【分析】由幂函数的单调性判断，【详解】幂函数在上单调递增，而，则，故答案为：42【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在上的最大值要不大于上的任意函数值，据此解答即可.【详解】因为在上单调递增，所以当时，在上单调递增，又因为开口向下，对称轴为，所以，故，且在上的最大值为，当

28、时，在上单调递增，所以由幂函数的性质可知，且，故，得，由于以上条件要同时成立，故，即.故答案为：.436【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得，所以，因为，所以函数是上的奇函数，又函数在上递增，且在定义域内连续，所以函数在上递增，不等式，即为不等式，所以，解得，所以实数的最大值是6.故答案为：6.442【分析】根据抽象函数定义域的求法判断；根据反比例函数的图象和性质判断；根据映射的定义判断；根据已知得到,进而判断【详解】：若函数的定义域为，由得:,所以函数的定义域为，故错误;：函数的单调递减区间是和，故错误；：对

29、于集合，映射中满足的映射共有：，共3个，故正确；：若，则，又，所以,，故正确.故答案为：2.45(1)(2)【分析】（1）根据函数的性质列出关系式，解出n的值；（2）求解与偶函数以及单调性相结合的不等式问题时，借助绝对值来求解.【详解】（1）在上是严格增函数解得，又， 所以，n=0或n=1或n=2.当n=0时，不是偶函数，舍去；当n=1时，是偶函数，满足条件；当n=2时，不是偶函数，舍去.所以，.（2）由（1）知，是偶函数，所以，.则，则等价于又是上是严格增函数，所以，有所以，.整理得，解得，或.所以，不等式的解集为.46(1)(2)【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即

30、可.（2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可.【详解】（1）因为幂函数为偶函数，所以，解得或.当时，定义域为R，所以为偶函数，符合条件.当时，定义域为R，所以为奇函数，舍去.所以.（2）因为，所以对于恒成立，等价于对于恒成立，综上：47(1)(2)【分析】（1）由题意可知，求解的值，并验证定义域即可求解；（2）由（1）可知，使成立，即，使成立，令，则，判断函数的单调性并求最值即可求解【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，定义域为，符合题意；当时，定义域为，不符合题意；所以；（2）由（1）可知为奇函数时，使成立，即，使成立，所以，使成立，令，则，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上是减函数，所以，所以，解得，所以实数k的取值范围是48(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先利用题意可求得，然后利用作差法即可证明；（2）由题意可得当，分，和三种情况进行分类讨论即可得到答案【详解】（1）由是幂函数可设，将代入可得，解得，所以，当，所以，所以，所以（2），因为“，”是真命题，所以当，当时，易得单调递减，此时，故舍去；当时，满足“，”；当时，易得单调递增，只需，解得，所以，综上所述，实数a的取值范围