6.2 等比数列（精讲）（教师版）.docx

1、6.2 等比数列（精讲）一等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q0).数学语言表达式：q(n2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2ab.二等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1，通项公式的推广：anamqnm.三等比数列的前n项和公式首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和Sn四等比数列的性质已知an是等比数列，Sn是数列an的前

2、n项和.1.若klmn(k，l，m，nN*)，则有akalaman.2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm.3.若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m，S2mS3m，S3mS2m仍成等比数列(m为偶数且q1除外)4.若或则等比数列an递增若或则等比数列an递减5.项的个数的“奇偶”性质，在等比数列an中，公比为q若共有2n项，则S偶S奇q；若共有2n1项，则q一 等比数列基本量的运算等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.二等比数列的三种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)

3、或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an是等比数列考法一 等比数列的基本量的运算【例1-1】（2023全国高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，则（）A21B81C243D729【答案】C【解析】，因为，所以，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C【例1-2】（2022吉林长春市）已知等比数

4、列的前项和为，且公比，则（）ABCD【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，则，因此，.故选：B.【例1-3】（2023四川成都石室中学校考模拟预测）已知数列满足，若，则的值为_.【答案】或【解析】因为，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，得，所以.当时，则；当时，则.综上，的值为或.故答案为：或【一隅三反】1（2023全国统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，则（）ABC15D40【答案】C【解析】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.2（2023春北京）已知各项均为正数的等比数列满足，则（）A2B4C8D16【答案】C【解析】设等比

5、数列的公比为，由已知条件可得，解得，因此，.故选：C.3（2022河南安阳）已知为等比数列，则_【答案】【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，若，则，则；若，则，则.故答案为：.4（2023全国高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为 AB2CD3【答案】2【解析】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故 .考法二 等比数列的判断与证明【例2】（2023广东高三专题练习）在数列中，求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，；【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）已知数列满足，且，若(1)证明

6、：为等比数列(2)求的通项公式【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题意知，所以为等比数列其首项，（2）由（1）可知，又，所以2（2023广东深圳校考一模）已知函数的首项，且满足，求证为等比数列，并求【答案】证明见解析，【解析】因为，所以，所以，所以.又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以.3（2023山东潍坊三模）已知数列和满足，证明：和都是等比数列；【答案】证明见解析【解析】因为，所以，又由，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列考法三 等比数列的中项性质【例3-1】（2023春江西）在等比数列中，若，则（）AB9C15D7【答

7、案】A【解析】.故选：A.【例3-2】（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，是方程的两根，则的值是（）A或B2或CD【答案】C【解析】因为，是方程的两根，所以，且，都是负数，又因为为等比数列，所以，所以，且，所以.故选：C【例3-3】（2023江西校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_ .【答案】5【解析】因为与是方程 的两个根，所以，因为为正项等比数列，所以，所以，故答案为：5.【一隅三反】1（2023春辽宁鞍山）若五个数、成等比数列，则（）A，B，C，D，【答案】B【解析】设等比数列、的公比为，则，由等比中项的性质可得，所以，.故选：B.2（2023

8、全国高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（）ABCD【答案】A【解析】由，故，则，故，则，所以.故选：A3（2023广东佛山华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知，向量与向量垂直，2成等比数列，则与的等差中项为（）ABCD1【答案】A【解析】因为与垂直，所以，得到，又因为，2成等比数列，所以，又，联立方程和，得到，所以，的等差中项为故选：A4（2023全国高三专题练习）设函数，若，成等比数列，则（）ABC2D6【答案】D【解析】，又，成等比数列， ，解得故选：D考法四 等比数列的前n项和【例4-1】（2023全国统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，则（）A120B

9、85CD【答案】C【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，由可得，解得：，所以故选：C方法二：设等比数列的公比为，因为，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，解得：或，当时，即为，易知，即；当时，与矛盾，舍去故选：C【例4-2】（2023全国高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（）A2B-2C1D-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A【例4-3】（2023广东深圳）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可得所有项

10、之和是所有偶数项之和的倍，所以，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，因为，可得，因此，.故选：C.【一隅三反】1（2023福建福州）已知等比数列的前项和，前项和，则前项和（）A64B66CD【答案】C【解析】由等比数列前项和的性质，可得构成等比数列，即成等比数列，可得，解得.故选：C.2（2023陕西榆林统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（）A41B45C36D43【答案】D【解析】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.故选：D.3（2023全国高三对口高考）已知等比数列的前n项和为，则_.【答案】【解析】由题意可得，故有

11、.故答案为：4（2023江苏宿迁）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为_【答案】【解析】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，又，则，因此，.故答案为：.考法五 等比数列的最值【例5-1】（2023春辽宁鞍山）等比数列的前n项积为，且满足，则使得成立的最大自然数n的值为（）A102B203C204D205【答案】C【解析】由，即，则有，即。所以等比数列各项为正数，由，即，可得：，所以，故使得成立的最大自然数n的值为204，故选：C【例5-2】（2023全国高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为

12、，并且满足条件，则下列结论正确的是（）ABC的最大值为D的最大值为【答案】AD【解析】因为，所以，所以，故A正确.，故B错误；因为，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【一隅三反】1（2023全国高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）ABC的最大值为D的最大值为【答案】B【解析】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，所以单调递增，故C错误；因为时，时，所以的最大值为，故D错误；故选：B.2（2022全国高三专题练习）（多选）设等比

13、数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，下列结论正确的是（）ABC是数列中的最大值D若，则n最大为4038【答案】ABD【解析】对A，且数列为等比数列，因为，故A正确；对B，故B正确；对C，因为等比数列的公比，所以数列是递减数列，因为，所以是数列中的最大项，故C错误；对D，因为，故，故，即，故n最大为4038，故D正确故选：ABD3（2023全国高三专题练习）（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，则下列命题正确的是（）AB当且仅当时，取得最大值CD【答案】ACD【解析】因为，所以，故A正确；又，即，解得，故C正确；由知等比数列为递减数列，且，故取得最大值为，故B错误；因

14、为，所以成立，故D正确.故选：ACD考法六 等比数列在实际生活中的运用【例6】（2023陕西安康陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（）ABCD【答案】D【解析】设该马第天行走的里程数为，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，该马七天所走的里程为，解得.故该马第五天行走的里程数为.故选：D.【一隅三反】1（2023春湖北孝感高三校联考阶段练习）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户

15、小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（）元（参考数据：，）A35200B43200C30000D32000【答案】D【解析】设2022年6月底小王手中有现款为元，设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，即，年所得收入为元.故选：D.2（

16、2023贵州遵义校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（）A斗B斗C斗D斗【答案】A【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，即是等比数列，由已知，（斗）故选：A3（2023陕西榆林统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（）A7750里B7752里C7754里D7756里【答案】B【解析】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为（里）故选：B.