6.3 利用递推公式求通项（精练）（教师版）.docx

1、6.3 利用递推公式求通项（精练）1（2023全国高三专题练习）数列中，（为正整数），则的值为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A2（2023全国高三专题练习）（多选）已知数列满足,则（）ABC数列为递增数列D数列为递减数列【答案】BC【解析】因为数列满足，则当时，所有的式子相乘得，即，当 时也符合通项，故，数列为递增数列，故选：BC3（2023高三课时练习）在数列中，若，则的通项公式为_【答案】【解析】由题意知，故，故 ，故答案为：4（2023广东）已知数列满足求数列的通项公式 ；【答案】【解析】数列满足，且，所以当n=1时成立.所以.5（2023福建）已知正项数列满足.

2、求的通项公式 ；【答案】【解析】由可得：，因为为正项数列，所以，所以，则，将这个式子相乘，则，又因为，所以6（2023全国校联考模拟预测）已知数列满足，求的通项公式 ；【答案】【解析】由及，得，所以，当时，有当时，符合上式，所以7 （2023广东汕头金山中学校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为 【答案】465【解析】设三角垛第层小球的个数为.由题意可知，所以，当时，有.所以，两边同时相加可得，所以，.当时，满足题意.所以，.所以，.8（2023春

3、广东佛山）已知是数列的前项和，则的通项公式为 【答案】【解析】由得，两式相减得: ,即，即，即，.所以，.相乘得：，即，因为，所以，.当时，所以.9（2023全国高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 【答案】107【解析】能被3除余2且被7除余2，既是3

4、的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，即，10（2023春黑龙江双鸭山）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为_.【答案】4951【解析】设该高阶等差数列为，由其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，得，所以，即.即该数列的第100项为.故答案为：.11（2023春江西鹰潭高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式_【答案】【解析】，则，

5、设，则，而也符合该式，故，故.故答案为：12（2023河南新乡统考三模）已知数列满足，则的最小值为_【答案】6【解析】由得，当时，将这个式子累加得，则，时也适合，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：6.13（2023全国高三专题练习）已知，且，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】等式两侧同除，得，所以，令，所以，则，累加得：，而，故，即，整理得.故答案为：14（2023全国高三专题练习）记数列的前n项和为，已知，则_【答案】【解析】由已知可得，.当时，所以；当时，有，两式相减得，所以.所以有，两边同时相乘可得，整理可得，.当时，满足该式，满足该式，故.故答案为：.15（2023山东泰安统考

6、模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是_【答案】【解析】，且，是以为首项，为公比的等比数列，时，且不满足上式，所以故答案为：.16（2023全国高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】，等式两侧同除，可得，令，则，又，是以2为首项，2为公比的等比数列，即，即.故答案为：.17（2023全国高三专题练习）已知数列中，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】因为，设，即，根据对应项系数相等则，解得，故，所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即.故答案为：18（2023全国高三对口高考）已知数列的前n项和为，数列满足，则数列的通项公式_；数列的通项公式_【答案】

7、 【解析】因为，所以有，得，即，所以数列的通项公式为；由可得，上述式子相加可得，经检验满足所以数列的通项公式故答案为：；19（2023春河南平顶山）已知数列的前n项和为，且满足.则数列的通项公式为_，的最大值为_.【答案】 /0.4【解析】空,由可得，当时，则，有，有，即.可得数列成等比数列，有，可得.空,记，有，可得，当时，有.故答案为：；.20（2023江苏）已知正项数列满足，.求的通项公式 ；【答案】【解析】对任意的，因为，当时，因为，故.当时，符合，所以，.21（2023春广东佛山高二顺德市李兆基中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式 ；【答案】【解析】因为，显然，所以

8、，当时，由累乘法得，则，又，所以，所以当时，时，也符合，所以.22（2023春云南临沧高二云南省凤庆县第一中学校考期中）设数列的前项和为，且.求= 【答案】【解析】由，当时，解得，当时，所以，整理得：，所以有，-可得，所以为等差数列，因为，所以公差为，所以.23（2023全国高三专题练习）已知，求的通项公式 【答案】【解析】，则，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列于是，24（2023全国高三专题练习）已知数列满足：求.【答案】【解析】因为所以两边同时加上得：，所以，当时，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.于是25（2023春江西南昌）已知数列中，且.(1)求，并证明是等比数列；(2)

9、求的通项公式.【答案】(1)，证明见解析；(2)【解析】（1）由，得，是首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）知.74（2021秋上海浦东新高二上海市实验学校校考期中）数列的前项和为，已知.(1)时，写出与之间的递推关系；(2)求的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以当时，得：，即，在中：令得，也符合上式，所以.（2）因为，则，且所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以，故.1（2023江苏镇江）（多选）已知数列满足，则下列结论正确的有（）A为等比数列 B的通项公式为 C为递增数列 D的前n项和【答案】ABD【解析】因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项

10、，2为公比的等比数列，故A正确；，即，故B正确；因为，因为，所以，所以，所以为递减数列，故C错误；，则，故D正确.故选：ABD.2（2023全国高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】，则当时，则，解得；当时，等式两侧同除，可得，则，令，则，利用叠加法可得：，叠加得，即，所以，即，可得；综上所述：.故答案为：.3（2023全国高三专题练习）已知数列的前n项和为，求【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以.4（2023春湖南岳阳高二校联考阶段练习）若数列的前项和为，且满足(1)求的值；(2)求数列的通项公式【答案】(1)，；(2).【解析】（1）由已知

11、可得故，.（2）由题得当时, ，上面两式相减得整理得：，于是当时相减得由（1），此关系式对于也成立所以5（2023全国高三专题练习）已知数列an的前n项和为，求an的通项.【答案】【解析】 -得：a的特征函数为：，由x=1.设，将代入得：，.6（2023安徽）已知数列中，求的通项公式 【答案】【解析】化为，即，可得或，（所得两组数值代入上式等价），不妨令，所以是以1为首项，为公比的等比数列，则，累加法可得：，又符合上式，故.7（2023黑龙江）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式【答案】【解析】令先求出数列的不动点，解得将不动点代入递推公式，得，整理得，令，则，数列是以为首项，以1为公

12、差的等差数列的通项公式为将代入，得8（2023全国高三专题练习）已知数列满足，求= 【答案】=+【解析】法1：已知，所以，则是首项为，公比为3的等比数列，故，则，得，当n为奇数时，累加可得，所以，当n为偶数时，综上，；法2：由特征根方程得，所以，其中，解得，.9（2023全国高三专题练习）设数列的前n项和为Sn，满足，且成等差数列(1)求的值；(2)求数列的通项公式【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以令得：，即：，令得：，即：，又因为，成等差数列，所以， 由得：，.故的值为1.（2）因为，当时，两式作差可得：，所以，由（1）知，所以，即：，将代入得：，符合，综上，.故数列的通项公式为.