6.3　与圆有关的计算.docx

1、6.3与圆有关的计算学用P72过关演练(30分钟75分)1.(2019湖北天门)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120B.180C.240D.300【解析】设母线长为R,底面半径为r,底面周长=2r,底面积=r2,侧面积=rR,侧面积是底面积的2倍,2r2=rR,R=2r,设圆心角为n,则nR180=2r=R,解得n=180.2.如图,PA,PB是O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,P=60,则劣弧AB的长为(C)A.23B.C.43D.53【解析】PA,PB是O的切线,OAAP,OBBP,AOB=360-OAP-OBP-P=360-90-90-

2、60=120,劣弧AB的长为1202180=43.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.42D.8【解析】由题意知BE的长为9016180=8,即围成的圆锥的底面圆的周长为8,则底面圆的半径为82=4.4.(2019四川资阳)如图,ABCDEF为O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.6a2B.6-34a2C.34a2D.3-34a2【解析】正六边形的边长为a,O的半径为a,O的面积为a2=a2,空白正六边形为六个边长为a的正三角形,每个三角形面积为12aasin 60

3、=34a2,正六边形面积为332a2,阴影面积为a2-332a216=6-34a2.5.如图,在RtABC中,A=90,BC=22,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则DE的长为(B)A.4B.2C.D.2【解析】连接OD,OE,设半径为r.O分别与AB,AC相切于D,E两点,OEAC,ODAB,DOE=90,ODAC,点O是BC的中点,OD是ABC的中位线,OD=12AC,AC=2r,同理可得AB=2r,AB=AC,B=45,BC=22,由勾股定理可得AB=2,r=1,DE的长为901180=2.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形

4、B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为3603=120,正方形的中心角的度数为3604=90,正五边形的中心角的度数为3605=72,正六边形的中心角的度数为3606=60.7.如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=2,将RtAOB绕点O顺时针旋转90后得RtFOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-B.54C.3+D.【解析】作DHAE于点H,AOB=90,OA=3,OB=2,AB=OA2+OB2=13,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=

5、EF=AB=13,OFE+FEO=OED+FEO=90,OFE=OED,DHEEOF,DH=OE=2,阴影部分面积=ADE的面积+EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=1252+1223+9032360-90(13)2360=8-.8.(2019合肥模拟)如图,在圆心角为45的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA上,点F在半径OB上,点E在AB上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.38B.58C.34D.54【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,OD=2x,OE=5x,S正方形=x2,S扇=45(5x)2360=58x2,S扇S正方形=58.9.如图,正六边形A

6、BCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,六边形ABCDEF是正六边形,BAF=AFE=120,FA=FE,FAE=FEA=30,BAE=90,BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在ABC中,ACB=90,A=60,AB=23,将ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是52.【解析】ACB=90,A=60,AB=23,ABC=30,BC=3,由旋转得ABCABC,CBA=30,CBC=150,点C经过的路径长为1503180=52.11.如图,点

7、B,C把AD分成三等分,ED是O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知E=45,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是8.【解析】ED是O的切线,EDO=90,E=45,EOD=45,又点B,C把AD分成三等分,AOB=BOC=COD=45,S阴影=14OD2-2122222+1211-45OD2360=4-12+12-8=8.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=123,OP=6,则劣弧AB的长为8.(结果保留)【解析】连接OA,OB.大圆的弦AB是小圆的切线,OPAB,根据垂径定理,得BP=12AB=63.在RtOBP中,OB=OP2+BP2

8、=62+(63)2=12,tan POB=PBOP=636=3,POB=60.OA=OB,OPAB,AOB=2POB=120,劣弧AB的长为12012180=8.13.(2019四川宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在九章算术中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=23.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.六边形ABCDEF为正六边形,ABO为等边三角形,O的半径为1,OM=1,BM=AM=33,AB=233,S=6SABO=6122331=23.14.(8分)(20

9、19浙江湖州)如图,已知AB是O的直径,C,D是O上的点,OCBD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,CBD=36,求AC的长.解:(1)AB是O的直径,ADB=90,OCBD,AEO=ADB=90,即OCAD,AE=ED.(2)OCAD,AC=CD,ABC=CBD=36,AOC=2ABC=236=72,AC=725180=2.15.(10分)(2019江西)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B

10、固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(1)若OBC=50,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14)解:(1)作OHBC于点H,OB=OC,BH=CH,在RtOBH中,cos OBH=BHOB,BH=60cos 50=600.64=38.4,BC=2BH=238.4=76.8,AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)OB=OC=60,BC=60,OBC为等边三角形,OBC=60,当点C从点A向右运动60 c

11、m时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60的弧,点O在此过程中运动的路径长为6060180=2062.8(cm).名师预测1.如图,用个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A. cmB.2 cmC.3 cmD.5 cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为1085180=3(cm).2.如图,正方形ABCD内接于O,O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4-4B.4

12、-8C.8-4D.8-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-ABD的面积=9042360-1242=4-4.3.已知圆的半径是23,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.33B.93C.183D.363【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为23.连接OA,OB,过点O作OGAB,垂足为G.OA=OB=23,AOB=3606=60,AOB是等边三角形,AB=23.OGAB,AG=12AB=3.在RtAOG中,根据勾股定理,得OG=AO2-AG2=(23)2-(3)2=9=3,SAOB=12ABOG=12233=33.S六边形ABCDEF=6SAOB=6

13、33=183.4.如图,在平行四边形ABCD中,ABAD,D=30,CD=4,以AB为直径的O交BC于点E,则阴影部分的面积为43-3.【解析】连接OE,AE,AB是O的直径,AEB=90,四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=4,B=D=30,AE=12AB=2,BE=42-22=23,OA=OB=OE,B=OEB=30,BOE=120,S阴影=S扇形OBE-SBOE=12022360-1212AEBE=43-14223=43-3.5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的EF上.若BAD=120,则BC的长度等于3.(结果保留)【解析】连接AC,四边形ABCD是

14、菱形,BAD=120,ABC=60,AB=BC,ABC为等边三角形,BAC=60,BC的长度为601180=3.6.如图,正方形ABCD内接于O,M为AD的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当O的半径为2时,求BM的长.解:(1)四边形ABCD是正方形,AB=CD,AB=CD,M为AD的中点,AM=DM,BM=CM,BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.BM=CM,BOM=COM,正方形ABCD内接于O,BOC=3604=90,BOM=135.由弧长公式得BM的长为1352180=32.7.如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作

15、DFAC于点F.(1)若O的半径为3,CDF=15,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是O的切线;(3)求证:EDF=DAC.解:(1)连接OE,过点O作OMAC于点M,则AMO=90,DFAC,DFC=90,FDC=15,C=180-90-15=75,AB=AC,ABC=C=75,BAC=180-ABC-C=30,OM=12OA=123=32,AM=3OM=332,OA=OE,OMAC,AE=2AM=33,BAC=AEO=30,AOE=180-30-30=120,S阴影=S扇形AOE-SAOE=12032360-123332=3-934.(2)连接OD,AB=AC,OB=OD,ABC=C,A

16、BC=ODB,ODB=C,ACOD,DFAC,DFOD,OD是O的半径,DF是O的切线.(3)连接BE,AB为O的直径,AEB=90,BEAC,DFAC,BEDF,FDC=EBC,EBC=DAC,FDC=DAC,A,B,D,E四点共圆,DEF=ABC,ABC=C,DEC=C,DFAC,EDF=FDC,EDF=DAC.8.如图,AB为O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OCAB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PEOC于点E,设OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)OPE的内心为M,MOP=MOC,

17、MPO=MPE,PMO=180-MPO-MOP=180-12(EOP+OPE),PEOC,即PEO=90,OMP=180-12(EOP+OPE)=180-12(180-90)=135.(2)如图,OP=OC,OM=OM,MOP=MOC,OPMOCM,CMO=PMO=135,点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135的两段劣弧上(OMC和ONC).当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作O,连OC,OO,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,CMO=135,CDO=180-135=45,COO=90,又OA=2 cm,OO=22OC=222=2,弧OMC的长=902180=22(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同的方法得,弧ONC的长为22 cm,所以内心M所经过的路径长为222=2 cm.