6.4 数据的离散程度（解析版）.docx

1、6.4 数据的离散程度课堂知识梳理实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况一组数据中最大数据与最小数据的差(称为极差)，就是刻画数据离散程度的一个统计量数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画方差(variance)是各个数据与平均数差的平方的平均数，即s2(x1)2(x2)2(xn)2其中，是x1，x2，xn的平均数，s2是方差而标准差(standard deviation)就是方差的算术平方根一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定课后培优练级练培优第一阶基础过关练1有一组数据1、2、3、4 、5，它的方差

2、是（）A2B10CD【答案】A【分析】先求出这组数据的平均数，在根据方差的定义计算即可【详解】解：这组数据的平均数为，则其方差；故选：A【点睛】本题考查了方差的计算方法，牢记方差的计算公式是解题的关键2甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S甲2与S乙2的大小关系是（）AS甲2S乙2BS甲2S乙2CS甲2S乙2D无法确定【答案】B【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小【详解】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大，S甲2S乙2，故选：B【点睛】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一

3、个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好32022年将在北京张家口举办冬季奥运会，某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲组176176175177177175乙组183175170174178176设两队队员身高的平均数依次为，方差依次为，下列关系中正确的是（）A BCD【答案】A【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲乙的平均数，然后根据方程公式计算出甲乙的方差即可对各选项进行判断【详解】解：，故选：A【点睛】本题考查了方差和平均数，熟练掌握一组

4、数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差是解题的关键4在第十四届全运会女排比赛中，山东女子排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A平均数变小，极差变大B中位数变小，方差变小C平均数变大，极差变小D中位数变大，方差变大【答案】B【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得【详解】解：原数据的平均数为（180+184+188+190+192+194）=188，方差为=，新数据的平均数为（180+184+188+190+186

5、+194）=187，方差为=，所以平均数变小，方差变小，故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差的计算公式5如图是南方某市4月7日开始未来7天日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中温度值的极差为_【答案】15【分析】根据极差的定义求解即可【详解】由图可知04-13的温度最高，为30，04-08的温度最低，为15，在这7天中温度值的极差为30-15=15故答案为：15【点睛】本题考查极差的定义掌握一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差是解题关键6已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则这组数据的方差为_【答案】2【分析】根据求平均数的公式可求出x的值

6、，再由求方差的公式计算即可【详解】由题意有，解得：这组数据为：1，5，2，4，3，这组数据的方差故答案为：2【点睛】本题考查由平均数求未知数据的值，求方差掌握求平均数的公式和求方差的公式是解题关键7冉冉的妈妈在网上销售装饰品最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：，关于这组数据，(1)众数是_，中位数是_(2)这组数据的平均数是_(3)求这组数据的方差【答案】(1)11，11(2)12(3)【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得；（2）根据平均数的公式进行计算即可得；（3）根据方差的公式进行计算即可得（1）解：在这组数据中，11出现的次数最多，所以众数是11，将这组数据按从小到大进行排序为，

7、所以中位数是11，故答案为：11，11（2）解：这组数据的平均数是，故答案为：12（3）解：这组数据的方差为，答：这组数据的方差为【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟记各定义和计算公式是解题关键8某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次甲9887乙10679(1)根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩和方差；(2)根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由【答案】(1)甲的平均成绩是8，方差是；乙的平均成绩是8，方差是(2)推荐甲参加省比赛更合适理由见解析【分析】（1）根

8、据图表得出甲、乙每次数据和平均数以及方差的计算公式列式计算即可；（2）根据方差和平均数两者进行分析（1）解：甲的平均成绩是：（9+8+8+7）48，甲的方差是：，乙的平均成绩是：（10+6+7+9）48，乙的方差是：（2）解：推荐甲参加省比赛更合适理由：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但是甲的测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适【点睛】此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键培优第二阶拓展培优练9己知一组数据a，b，c的平均数为6，方差为4.1，那么数据，的平均数和方差分别是（）A4，2.1B4，4.1C6，2.1D6，4.1

9、【答案】B【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得【详解】解：一组数据a,b,c的平均数为6，方差为4.1，数据，的平均数为，方差为：，故选：B【点睛】本题考查了求平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的公式是解题关键10已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是4，则这个样本的标准差为_【答案】【分析】根据平均数的公式求出a的值，再代入方差的公式，开方后即可得出标准差【详解】解：样本a，4，2，5，3，它的平均数是4，解得：，这个样本的标准差为故答案为：.【点睛】本题主要考查了平均数的求法和标准差的求法，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：计算数据的平均数x；计算偏差，即每个数据与平均

10、数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数11已知一组数据、的方差为，则新的数据、的方差是_【答案】4.8【分析】根据方差的变化规律即可得出答案，即当数据都减去一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成原方差的平方倍【详解】解：数据、的方差是，数据、的方差是故答案为：【点睛】本题考查了方差的性质，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；当乘以一个数时，方差变成原方差的平方倍12小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：日期一二三四五方差平均气温最低气温13253由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污

11、染，这两个数据是_【答案】4和2【分析】根据平均数算出5天气温的总和，进而算出第四日的气温，根据平均数和每日的气温算出方差【详解】解：35=15，15-1-3-2-5=4，方差，故答案为：4和2【点睛】本题考查平均数和方差，能够根据平均数和每日的气温算出方差是解决本题的关键13为增强学生的防疫意识，学校进行了防疫知识宣传教育活动，为了了解活动效果，组织了测试现从七、八年级分别任意抽取了名学生的测试成绩如下：满分为分，七、八年级学生人数分别为人和人七年级：，八年级：，经整理、分析获得如下不完整的数据分析表：年级平均数中位数众数方差七年级87.443.44八年级89.2(1)填空：_，_(2)若成

12、绩分以上的为良好，请估计该校七、八年级各有多少名学生的成绩为良好；(3)根据数据分析表中所提供的统计量判断哪个年级的成绩较好？说明理由仅需要从一个的角度说明推断的合理性【答案】(1) ；(2)该校七年级名学生的成绩为良好，八年级名学生的成绩为良好(3)七年级的成绩较好，理由见解析【分析】（1）由众数的定义求出a的值，由中位数的定义求出b的值（2）由该校七、八年级人数乘以各自成绩良好的学生所占比例即可（3）由平均数和方差进行判断即可（1）解：由七年级的测试成绩可得， 众数a=81把八年级的测试成绩排序为：，则八年级的中位数故答案为：，；（2）该校七年级学生成绩良好的比例为 成绩良好的人数为该校八

13、年级学生成绩良好的比例为 成绩良好的人数为故该校七年级名学生的成绩为良好，八年级名学生的成绩为良好（3）七年级的成绩较好，理由如下：七年级的平均数比八年级的平均数高；七年级的方差较小，成绩稳定【点睛】本题考查了用样本去估计总体及众数，中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两数的平均数）14小亮和小莹进行飞镖比赛，两人各投了10次，成绩如图所示：根据图中信息，回答下列问题：(1)小亮的中位数为_，小莹的平均数为_；(2)分别计算小亮、小莹成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的飞镖射击成绩更稳定？【答案】(

14、1)7，7；(2)小亮、小莹成绩的方差分别为1.2和5.4，小亮的飞镖射击成绩更稳定【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答（1）解：小亮的飞镖射击成绩由小到大排列为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，位于第5、第6位的数分别是7，7，所以小亮的中位数是（7+7）27；小莹的平均数（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）7，故答案为：7，7；（2）小亮的平均数（5+6+6+7+7+7+7+8+8+9）7，S2小亮（57）2+2（67）2+4（77）2+（

15、97）2+2（87）21.2，S2小莹（27）2+（47）2+（67）2+2（77）2+2（97）2+2（87）2+（107）25.4，S2小亮S2小莹，小亮的飞镖射击成绩更稳定【点睛】此题考查了方差、平均数和中位数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定15某校为了解八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从八年级一班和二班各随机抽取10名学生进行比赛，并依据成绩（十分制，单位：分）绘制了如图统计图根据以上统计图，进行整理、描述和分析

16、，制作了统计表（如下表）项目班级平均分中位数众数方差八年级一班77八年级二班7.54.2温馨提示：方差计算公式：(1)求表格中的，的值，并写出具体的计算过程；(2)你认为哪个班级的成绩比较稳定？【答案】(1)，过程见解析；(2)八年一班【分析】（1）根据题意所给统计图，即可分别求出a，b，c，d的值；（2）结合（1）根据方差即可判断哪个班级的成绩比较稳定（1）解：根据题意可知：八年一班10名学生成绩：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9；所以，八年二班10名学生成绩：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10所以，；（2）解：，八年一班学生成绩比较稳定【点睛】本题考查了折线统计图、条形统计图、

17、中位数、众数、方差，解决本题的关键是掌握以上知识16某科研小组计划对某一品种的西瓜采用两种种植技术种植在选择种植技术时，该科研小组主要关心的问题是：西瓜的产量和产量的稳定性，以及西瓜的优等品率为了解这两种种植技术种出的西瓜的质量情况，科研小组在两块自然条件相同的试验田进行对比试验，并从这两块实验田中各随机抽取20个西瓜，分别称重后，将称重的结果记录如下：表1甲种种植技术种出的西瓜质量统计表（单位：kg）编号12345678910西瓜质量（单位：kg）3.54.85.44.94.25.04.94.85.84.8编号11121314151617181920西瓜质量（单位：kg）5.04.85.24

18、.95.15.04.86.05.75.0表2乙种种植技术种出的西瓜质量统计表（单位：kg）编号12345678910西瓜质量（单位：kg）4.44.94.84.15.25.15.04.54.74.9编号11121314151617181920西瓜质量（单位：kg）5.45.54.05.34.85.65.25.75.05.3回答下列问题：(1)若将质量为4.55.5（单位：kg）的西瓜记为优等品，完成下表：平均数方差优等品西瓜个数甲种种植技术种出的西瓜质量4.980.27乙种种植技术种出的西瓜质量4.970.2115(2)根据以上数据，你认为该科研小组应选择哪种种植技术，并请说明理由【答案】(1

19、)15(2)乙种种植技术【分析】（1）根据统计表解答；（2）根据方差的性质进行解答（1）解：甲种种植技术种岀的西瓜优等品西瓜个数是15，故答案为：15（2）该科研小组应选择乙种种植技术因为甲、乙优等品西瓜个数相同，虽然甲种种植技术种出的西瓜平均数略高，但乙种种植技术种出的西瓜的质量比较稳定，应选择乙种种植技术【点睛】本题考查的是平均数和方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立培优第三阶中考沙场点兵17（2022年江苏省盐城市中考数学真题）一组数据，0，3，1，的极差是（）A2B3C4D5【答案】D【分析】极差：一组数据中最大值与最小值的差，根据极差的定义进行计算

20、即可【详解】解：这组数据中最大的为，最小的为极差为最大值3与最小值的差为：，故选D【点睛】本题考查的是极差的含义，掌握“极差的定义”是解本题的关键18（2022年四川省绵阳市中考数学真题）某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示：时间/h23456人数13231关于志愿者服务时间的描述正确的是（）A众数是6B平均数是4C中位数是3D方差是1【答案】B【分析】根据中位数，众数，平均数和方差的定义，逐一判断选项即可【详解】解：志愿者服务时间为3小时的人数为3个人，志愿者服务时间为5小时的人数为3个人，志愿者服务时间的众数为3和5，故A错误；，平均数是4，故B正确；时间从

21、小到大排序，第5、6个数都是4，中位数为4，故C错误；，方差为1.4，故D错误，故选B【点睛】本题主要考查中位数，众数，平均数和方差的定义，熟练掌握上述定义和计算方法是解题的关键19（2022年上海中考数学真题）我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是（）A平均数B中位数C众数D方差【答案】D【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的特点，这组数据都加上6得到一组新的数据，方差不变，平均数，中位数改变，众数改变，即可得出答案【详解】解：将这组数据都加上6得到一组新的数据，则新数据的平均数改变，众数改变，中位数改

22、变，但是方差不变； 故选：D【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的意义理解求解一组数据的平均数，众数，中位数，方差时的内在规律，掌握“新数据与原数据之间在这四个统计量上的内在规律”是解本题的关键20（2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学真题）一组数据2，4，5，6，5对该组数据描述正确的是（）A平均数是4.4B中位数是4.5C众数是4D方差是9.2【答案】A【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得【详解】解： A、平均数为4.4，故选项正确，符合题意；B、中位数为5，故选项错误，不符合题意；C、将这组数据重新排列为2，4，

23、5，5，6，所以这组数据的众数为5，故选项错误，不符合题意；D、方差为（24.4）2+（44.4）2+2（54.4）2+（64.4）21.84，故选项错误，不符合题意故选：A【点睛】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义21（2022年贵州省安顺市中考数学真题）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（）A平均数B中位数C众数D方差【答案】B【分析】根据中位数的定义即可求解中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数【详解】解：一组数据：3，4，4，6，的

24、中位数为，若添加一个数据6，则这组数据变为3，4，4，6，6其中位数为4，不发生变化的统计量是中位数，其他统计量均会发生变化，故选B【点睛】本题考查了求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键22（2022年山东省菏泽市中考数学真题）射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（）A平均数是9环B中位数是9环C众数是9环D方差是0.8【答案】D【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解【详解】解：根据题意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，A、平均数是环，故本选项正确，不符合题意；B、中位数是环，故本选项正

25、确，不符合题意；C、9出现的次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意；D、方差是 ，故本选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法23（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）甲、乙、丙、丁四名同学参加掷实心球测试，每人掷5次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是s甲20.55，s乙20.56，s丙20.52，s丁20.48，则这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是_【答案】丁【分析】利用方差的意义可得答案【详解】解：s甲2=0.55，s乙2=0.56，s丙2=0.52，s丁2=0.48，s丁2s丙2s甲2s乙2，

26、这四名同学掷实心球的成绩最稳定的是丁，故答案为：丁24（2022年北京市中考数学真题）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息a甲、乙两位同学得分的折线图：b丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：(1)求表中m的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_的评价更一致（填“甲”或“乙”

27、）；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_（填“甲”“乙”或“丙”）【答案】(1)(2)甲(3)丙【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解（2）根据方差的计算方法先算出甲、乙的方差，再进行比较即可求解（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲、乙、丙的平均分，再进行比较即可求解（1）解：丙的平均数：，则（2），甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲（3）由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：，乙：，丙：，去掉一个最高

28、分和一个最低分后丙的平均分最高，因此最优秀的是丙，故答案为：丙【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键25（2022年山东省聊城市中考数学真题）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分竞赛成绩如图所示：众数中位数方差八年级竞赛成绩781.88九年级竞赛成绩a8b(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；(2)请根据图表中的信息，回答下列问题表中的_，_；现

29、要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？(3)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？【答案】(1)无法判断，计算见解析(2)8，1.56；给九年级颁奖(3)九年级获奖率高【分析】(1)分别求出两个年级的平均数即可；(2)分别根据众数和方差的定义解答即可；根据两个年级众数和方差解答即可；(3)根据题意列式计算即可(1)解：无法判断，计算如下：由题意得：八年级成绩的平均数是：（67+715+810+97+1011）50=8（分），九年级成绩的平均数是：（68+79+814+913+106）50=8（分），故用平均数

30、无法判定哪个年级的成绩比较好；(2)解：九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a=8分；九年级竞赛成绩的方差为：，故答案为：8；1.56；如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖，故如果分别从众数和方差两个角度来分析，应该给九年级颁奖；(3)解：八年级的获奖率为：（10+7+11）50=56%，九年级的获奖率为：（14+13+6）50=66%，66%56%，九年级的获奖率高【点睛】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权

31、平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键26（2022年湖南省益阳市中考数学真题）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图(1)求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；(2)请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；统计量平均数众数中位数方差（1）班88c1.16（2）班ab81.56(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀【答案】(1)（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人(2)a，b，c的值分别为8，9，8(3)（1）班成绩更均匀【分

32、析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+450（人），（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50（128%22%24%14%）6（人），答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；（2）由题意知：a8；9分占总体的百分比为28%是最大的，9分的人数是最多的，众数为9分，即b9；由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，c8；答：a，b，c的值分别为8，9，8；（3）（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.161.56，根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键