6.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题6.5 反比例函数章末七大题型总结（培优篇）【北师大版】【题型1 反比例函数k的几何意义】1【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】7【题型3 反比例函数的图像与性质的运用】10【题型4 反比例函数与一次函数图象的综合判断】14【题型5 反比例函数与一次函数图象的交点问题】18【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】25【题型7 反比例函数与一次函数的其他综合运用】32【题型1 反比例函数k的几何意义】【例1】（2023春湖南衡阳九年级校考期中）如下图，过反比例函数y=2x（x0）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kx（x0）于点B，连接OA、OB若SAOB=3，则k

2、的值为（）A4B-2C-4D-1【答案】C【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出SAOC，再求出SBOC，进而求出k的值即可【详解】解：点A在反比例函数y=2x（x0）的图像上，且ABy轴，SAOC=122=1，又SAOB=3，SBOC=3-1=2，12k=2，而k0，k=-4故选：C【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键【变式1-1】（2023春江苏无锡九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有一个62的矩形ABCD网格，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，反比例函数y=-32xx0的图像经过格点F，同时还经过矩形ABCD的边

3、CD上的G点，连接EG,FG，则EFG的面积为 【答案】47【分析】根据题意可得xF-xE=4，从而得到点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，进而得到点G的横坐标为72，可求出点G到EF的距离为1-57=27，即可求解【详解】解：根据题意得：xF-xE=4，反比例函数y=-32xx0的图像经过格点F，点E到y的距离为32，到x的距离为1，点F到y的距离为52，到x的距离为1，建立平面直角坐标系，如图所示，点G的横坐标为72，对于y=52xx0，当x=72时，y=57，点G到EF的距离为1-57=27，EFG的面积为12274=47故答案为：47【点睛】本题

4、考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的图象和性质是解决问题的前提【变式1-2】（2023秋河南开封九年级开封市第十三中学校考期末）如图，点A是反比例函数y=mx(x0)图象上一点，ACx轴于点C，与反比例函数 y=nx(x0)图象交于点B，AC3BC，连接OA，OB，若OAB的面积为2，则m+n=（）A-4B-8C-10D-12【答案】B【分析】根据反比例函数的性质可知SAOC=-12m，BCOC=-n，再根据反比例函数的面积关系解答即可【详解】解：点A是反比例函数y=mx(x0)图象上一点，设点Ax,mx，ACx轴于点C，点Cx，0SAOC=12xmx=12

5、m，m0，SAOC=-12m,AC3BC，AB=AC-BC=2BC，SOAB=12ABOC=122BCOC=BCOC点B在反比例函数y=nx(x0)图象上，n0，BCOC=n=-n，OAB的面积为2，BCOC=-n=2，-n=2，即n=-2，SBOC=12BCOC=122=1，SAOC=SBOC+SOAB=3，-12m=3，m=-6，m+n=-6+-2=-8，故选B【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键【变式1-3】（2023春黑龙江大庆九年级校考期末）如图，A、B是函数y=6x上两点，P为一动点，作PBy轴，PAx轴，下列说法正确的是（）A

6、OPBOP；SAOP=SBOP；若OA=OB，则OP平分AOB；若SBOP=2，则SABP=8ABCD【答案】B【分析】由点P是动点，可判断出错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出；利用角平分线定理的逆定理可判断；先求出S矩形OMPN=2，进而得出mn=2，最后用三角形的面积公式解答即可【详解】解：点P是动点，BP与AP不一定相等，BOP与AOP不一定全等，故不正确；设P(m,n)，PBy轴，B(m,6m),A(6n,n)，AP=6n-mSAOP=12|6n-m|n=12|6-mn|同理：SBOP=12|6m-n|m=12|6-mn|SAOP=SBOP；故

7、正确；如图，过点P作PFOA于F，PEOB于E，SBOP=12OBPE,SAOP=12OAPFSAOP=SBOP，OBPE=OAPFOA=OB，PE=PF，PEOB,PFOAOP是AOB的平分线，故正确；如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，AMy轴，BNx轴，四边形OMPN是矩形，点A，B在双曲线y=6x上，SAMO=SONB=3，SBOP=2，SPMO=SPNO=1，S矩形OMPN=2，mn=2，m=2nBP=6m-n=|3n-n|=2|n|，AP=6n-m=4|n|SAPB=12APBP=122|n|4|n|=4故错误；故选：B【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反

8、比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键【题型2 反比例函数图象上点的坐标特征的运用】【例2】（2021春江苏常州九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过三个点（3，4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m0，当y1y24时，则m 【答案】1【分析】先根据反比例函数的图象经过点（3，4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1122m6m，y2126m2m，然后根据y1y24列出方程6m2m4，解方程即可求出m的值【详解】解：设反比例函数的解析式为ykx，

9、反比例函数的图象经过点（3，4），k3（4）12，反比例函数的解析式为y12x，反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2），y1122m6m，y2126m2m，y1y24，6m2m4，m1，经检验，m1是原方程的解故m的值是1，故答案为1【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键【变式2-1】（2023秋辽宁沈阳九年级统考期中）已知反比例函数y=kx(k0)，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A(2,3)B(-2,3)C(0,3)D(-2,0)【答案】B【分析】根据反比例函数

10、性质求出k0，再根据k=xy，逐项判定即可【详解】解：反比例函数y=kx(k0)，且在各自象限内，y随x的增大而增大，,k=xy0，点(2,3)不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B.-231时，0y3D当x0，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意；x=1时，y=3，且当x0时，y随x的增大而减小当x1时，0y3，故C正确，不符合题意，故选：D【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质【变式3-2】（2023秋河南平顶山九年级统考期末）点A-3,y1、B-1,y2、C2,y3都在反比例函数y=-6x的

11、图像上，则y1、y2、y3的大小关系是（）Ay1y2y3By3y2y1Cy2y1y3Dy3y1y2【答案】D【分析】根据反比例函数y=-6x的图像与性质，当-60时，在每一个象限内y随x的增大而增大，由于A-3,y1、B-1,y2在第二象限，-3-1，则0y1y2；C2,y3在第四象限，y30，从而得到答案y3y1y2【详解】解：点A-3,y1、B-1,y2、C2,y3都在反比例函数y=-6x的图像上，当-60时，在每一个象限内y随x的增大而增大， A-3,y1、B-1,y2在第二象限，-3-1， 0y1y2， C2,y3在第四象限，y30， y3y132时，x的取值范围是：_【答案】(1)x

12、1(2)12，3(3)见解析(4)x1=0，x2=2；1x3【分析】（1）根据分式有意义的条件进行求解即可；（2）分别把x=-1，x=32代入到函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案；（3）先描点，再连线即可；（4）画出对应的函数图象，然后利用图象法求解即可【详解】（1）解：y=1x-1+1要有意义，x-10，x1，故答案为：x1；（2）解：当x=-1时，y=1x-1+1=y=1-1-1+1=12，m=12，当x=32时，y=1x-1+1=y=132-1+1=3，n=3，故答案为：12，3；（3）解：如图所示，即为所求；（4）解：由下图函数图象可知，直线y=x与函数y=1x-1+1交于点0，

13、0和2，2，方程1x-1+1=x的解为x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2；由下图函数图象可知当1x3时，函数y=1x-1+1的图象在直线y=32的上方，当1x32，故答案为：1x0，y随x增大而增大，则y=kx-2的图像大致是（）ABCD【答案】D【分析】根据反比例函数y=kx(x0)，y随x增大而增大，得出k0，则y=kx-2中，y随x的增大而减小，结合-20)，y随x增大而增大，k0，y=kx-2中，y随x的增大而减小，-20，则-m0，一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；B、反比例函数的图象在二、四象限可知当m0，一次函数的图象经过一，二，四象限，

14、与图象不符，故B不符合题意；C、由反比例函数的图象在可一、三象限知m0，则-m0，一次函数的图象经过一，三，四象限，与图象相符，故C符合题意；D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当m0，一次函数的图象经过一，二，四象限，与图象不符，故D不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象比例系数的关系，掌握反比例函数和一次函数的比例系数的几何意义，是解题的关键 反比例函数y=kx，当k0时，图象分布在第一、三象限，当k0时，图象分布在第二、四象限【变式4-3】（2023春江苏苏州九年级校考期中）如图所示，满足函数y=kx-k和y=kxk0的大致图像是（）ABCD【答案】B【分析

15、】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案【详解】解：一次函数y=kx-k反比例函数y=kxk0的图象经过第二、四象限，k0，一次函数y=kx-k位于第一、二、四象限；故图错误，图正确；反比例函数的图象经过第一、三象限，k0；-k0的图象上(1)求m的值及直线AB的解析式y2=kx+b(2)当kx+bmxx0时，自变量x的取值范围是_(3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数(4)请在右图中画出函数y3=mx的图象并写出当x=12时y1、

16、y2、y3的大小关系【答案】(1)m=6，y=-x+7(2)1x6(3)3个(4)画图见解析，y3y2y1【分析】（1）把点1,6代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b，即可求得直线AB的解析式；（2）由图象即可求得；（3）根据图象及解析式即可求得（4）根据题意，画出函数y=6x的图象，进而根据函数图象，即可求解【详解】（1）解：由图可知反比例函数过点1,6，将1,6代入y=mx，得m=6，反比例函数的表达式为y=6x将点6,1，1,6分别代入表达式y=kx+b得：k+b=66x+b=1，解得k=-1b=7直线AB的表达式为y=-x+7（2）解：由图象

17、可知：当1x6时，kx+bmx故答案为：1x6（3）解：格点的横坐标x的取值范围为2x5且x为整数当x=2时，y=62=3，y=-2+7=5，此时格点的坐标为2,4当x=3时，y=63=2，y=-3+7=4，此时格点的坐标为3,3当x=4时，y=64=32，y=-4+7=3，此时格点的坐标为4,2当x=5时，y=65，y=-5+7=2，此时没有格点综上，所含格点的坐标为2,4，3,3，4,2，共3个，（4）解：如图所示，y3y20)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则OAB的面积为 【答案】533【分析】反比例函数y=5

18、x(x0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45得点A，过点E作EFx轴于F，得出OA=OE=10，作BCx轴于C，设Bx，12x，并且OBC是由OKH绕点O顺时针旋转45得到的，则OH=OC=x，从而H22x，22x，可证出KGH是等腰直角三角形，得K的坐标，代入y=5x(x0)从而得出x的值，进而求得BC的长度，利用三角形面积公式解决问题【详解】解：设反比例函数y=5x(x0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45得点A，过点E作EFx轴于F，设Ea，5a，EOF=45，EF=OF，a=5a，a0，a=5，OA=OE=10，作BCx轴于C，OBC是由OKH绕点O顺时针旋转45得到的，点K在原反

19、比例函数图象上设Bx，12x，OH=OC=x，H22x，22x，过点H作GHx轴于H，KGx轴，KGH是等腰直角三角形，KH=BC=12x，KG=GH=24x，K22x-24x，22x+24x，即K24x，324x， 24x324x=5，解得x=2303或x=-2303（舍)， 12x=303，BC=303，SAOB=1210303=533故答案为：533【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键【变式5-3】（2023春湖南株洲九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y

20、1=kx+bk0的图象与反比例函数y2=mxm0的图象相交于第一，三象限内的A3，5，Ba，-3，与x轴交于点C(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值【答案】(1)反比例函数的解析式为y2=15x，一次函数的解析式为y1=x+2(2)32【分析】（1）依据题意，分析已知条件，利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB-PC=BC最大，利用勾股定理即可求得最大值【详解】（1）解：把A3，5代入y2=mxm0，得m3=5，m=15，反比例函数的解析式为y2=15x，把点Ba，-3代入y2=15x，得1

21、5a=-3，解得：a=-5，B-5，-3，把A3，5，B-5，-3代入y1=kx+b，得3k+b=5-5k+b=-3，k=1b=2，一次函数的解析式为y1=x+2；（2）解：一次函数的解析式为y1=x+2，令x=0，则y=0+2=2，一次函数与y轴的交点为P0，2，此时，PB-PC=BC最大，P即为所求，令y=0，则x=-2，C-2，0，如图，过B点向x轴作垂线，则D-5，0，BD=3，CD=-2-5=3，由勾股定理可得：BC=CD2+BD2=32+32=32，故所求PB-PC的最大值为32【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据点的坐标求线段长，熟练数

22、形结合是解题的关键【题型6 反比例函数与一次函数图象的实际应用】【例6】（2023春江苏宿迁九年级统考期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0x10和10x17，即可得到答案【详解】（1）解：设当20x45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,45)代入得：45=k20，解得k=900，反比例函数的解析式为y=900x，当x=45时，y=90045=20，D(45,20)，A(0,20)，即A对应的指标值为20；（

23、2）解：设当0x17，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0x0的图象上，点B1，B2，B3，Bn在y轴上，且B1OA1=B2B1A2=B3B2A3=，直线y=x与双曲线y=1x交于点A1，B1A1OA1，B2A2B1A2，B3A3B2A3，则Bn（n为正整数）的坐标是 【答案】0,2n【分析】如图，过A1作A1Hy轴于H，求解A11,1，结合题意，OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，探究规律，利用规律

24、解决问题即可得出结论【详解】解：如图，过A1作A1Hy轴于H，y=1xy=x，其中x0，解得：x=1y=1，即A11,1，OH=A1H=1，A1OH=45，B1A1OA1，OA1B1是等腰直角三角形，OB1=2； 同理可得：B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形， 同理设A2m,m+2， m2+m=1， 解得m=2-1， （负根舍去）OB2=2+22-2=22， 同理可得：OB3=23， OBn=2n， Bn0,2n 故答案为：0,2n【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的解法，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题【变式7-2】（

25、2023春江苏苏州九年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换【知识运用】如图1，将y=x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象（部分）特别地，因为y=x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点小明在求y=x的图象与y=1x的交点时速用了开平方的定义：y=1xy=x，得x2=1，解得x=1，则图象交点坐标为1,1或-1,-1【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：(1)请在图2的平面直角坐标系中画出y=x+1的图象

26、和它经过倒数变换后的图象(2)设函数y=x+1的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标A_，B_；(3)设C-1,m，且SABC=4，求m【答案】(1)见解析(2)(-2,-1)，(0,1)(3)4【分析】（1）画出函数y=x+1和函数y=1x+1(x-1)的图象；（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；（3）利用三角形面积公式即可求解【详解】（1）解：如图所示：（2）解y=x+1y=1x+1，得x=0y=1或x=-2y=-1，A(-2,-1)，B(0,1)，故答案为：(-2,-1)，(0,1)；（3）SABC=4， 12|m|(0+2)=4，m=4【点睛

27、】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键【变式7-3】（2023春江苏泰州九年级统考期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y= 9x (x0)和y=-x+10的图像，两个函数图像交于A(1,9)，B(9,1)两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题：(1)设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为_(

28、1x9)；(2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图像：列表：x1322349269y052m415472n0表中m_，n_；描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；连线：请在图2中画出该函数的图像观察函数图像，当x=_时，y的最大值为_(3)已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系W=-18n+24，求m取最大值时矩形的对角线长如图3，在平面直角坐标系中，直线y=- 23 x-2与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y= 6x (x0)上的任意一点，过点M作MCx轴于点C，MDy轴于点D求四边形ABCD面积的最小值【答

29、案】(1)y=-x+10-9x(2)72，52；见解析；3，4(3)35；12【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得Px,-x+10,Qx,9x根据PQ的长等于P,Q纵坐标之差求解即可；（2）根据表格数据分别将x=2,x=6代入即可求得m,n的值；根据表格数据描点即可；根据函数图象直接求解即可（3）由题意可知，W=2m+n，代入W=-18n+24得：m=-n+10-9n，即m=-n+10-9n+2，根据（2）的结论求得最大值，进而求得对角线的长度；先求出点A，点B坐标，设点M(x，6x)，,可求CA,BD, 由四边形ABCD面积=12ACBD列式，即可求解.【详解】（1

30、）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得Px,-x+10,Qx,9x y=-x+10-9x；故答案为：y=-x+5-1x（2）当x=2,m=-2+10-92=72，当x=6时，n=-6+10-96=52故答案为：72，52； 如图所示，观察函数图象， 当x=3时，y有最大值为4，故答案为: 3,4；（3）根据题意可得W=2(m+n)代入 W=-18n+24中，可以得到m=-n+12-9n，即 m=-n+10-9n+2，由(2)可知函数y=-n+10-9n在n=3时,y取得最大值为4，当n=3时,m=4+2=6,即m取得最大值6， 32+62=35，在m取得最大值6时，矩形的对角线长为35.直线y=-23x-2与坐标轴分别交于点A、B,点A(-3,0), 点B(0,-2)，设点M(x,6x)，C(x,0),点D(0,6x)， CA=x+3,DB=6x+2，四边形ABCD面积=12ACBD=12x+36x+2=-x+10-9x+16由(2)得,当x=3时,y=-x+10-9x有最大值为4，即-x+10-9x有最小值-4，四边形ABCD面积的最小值为-4+16=12.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键