7.2.2复数的乘除运算（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、7.2.2 复数的乘除运算教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第七章复数的第二节复数的四则运算。以下是本章的课时安排：第七章 复数课时内容7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3 复数的三角表示所在位置教材第68页教材第75页教材第83页新教材内容分析本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。上一节我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算，即复数的加、减、乘、除运算及其几何意义。前面我们研究了复数及其四则运算，本节内容是复数

2、的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。核心素养培养了解数系的扩充过程，理解复数的概念和复数相等的充要条件，培养学生数学抽象和数学运算的核心素养。通过实例，明确复数的四则运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，发展学生的数学抽象的核心素养；通过了解复数的辐角及辐角的主值的含义，培养学生的直观想象的核心素养。教学主线复数的概念、复数的运算类比两个多项式相乘，明确复数乘法的运算过程，理解复数的乘法法则前面我们学习了共轭复数的概念，从结构特点、几何

3、意义和运算关系三个方面对共轭复数进行分析，为复数除法法则的定义做铺垫，类比无理数的分母有理化，理解复数的分母实数化1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养。1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：求复数范围内的方程根（一）新知导入1. 创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否

4、可以像多项式乘法那样进行呢？问题多项式(ab)(cd)的运算结果是什么？提示(ab)(cd)acadbcbd.2.探索交流，解决问题【问题1】设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？提示两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可即z1z2(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(bcad)i.【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？提示满足 【问题3】设zabi(a，bR)，则z的共轭复数等于什么？z是一个怎样的数？提示abi，za2b2是一个实数【问题4】一元二次方程x21

5、0在实数范围内有解吗？引入虚数单位i后，方程的解是什么？提示没有，xi.（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z32.复数的除法运算复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同设z1abi，,z2cdi(cdi0)，则 i.复数的除法的实质是分母实数化.若分母为abi型，则分子、分母同乘abi；若分母

6、为abi型，则分子、分母同乘abi.【做一做】1.若复数满足zi(1i)，则|z|()A.1 B. C.2 D.解析zi(1i)ii21i，所以|z|.答案B2.已知i是虚数单位，则()A.12i B.2i C.2i D.12i解析12i，故选D.答案D3.共轭复数的性质【探究1】若z，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数【探究2】若z0且z0，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数【探究3】三个实数|z|，|，z具有怎样的关系？提示设zabi，则abi，所以|z|，|，z(abi)(abi)

7、a2(bi)2a2b2，所以|z|2|2z.（三）典型例题1.复数的乘法运算例1.计算下列各题：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.【类题通法】1.两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可.2.复数代数形式的乘法运算常用公式(1)(abi)2a2b22abi(a，bR).(2)(abi)(abi)a2b2(

8、a，bR).(3)(1i)22i.【巩固练习1】若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(，1)C.(1，) D.(1，)解析因为z(1i)(ai)a1(1a)i，所以它在复平面内对应的点为(a1，1a)，又此点在第二象限，所以解得a1.答案B2.复数的除法运算例2.(1)()A.12i B.12iC.2i D.2i(2)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A.35i B.35iC.35i D.35i解析(1)2i.(2)z(2i)117i，z35i.答案(1)D(2)A【类题通法】(1)进行复数的运算时，除了应用四则

9、运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，i，(1i)22i，(1i)22i，i，i，abii(bai)，i等.(2)运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.【巩固练习2】(1)在复平面内，复数的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)计算：_.解析(1)12i，对应的点的坐标为(1，2)，位于第二象限.(2)法一2i.法二2i.答案(1)B(2)2i3.复数范围内解方程例3.在复数范围内解下列方程(1)x250；(2)x24x60.解 (1)因为x250，所以x25，又因为(i)2(i)25，所以xi，所以方程x250

10、的根为i.(2)法一：因为x24x60，所以(x2)22，因为(i)2(i)22，所以x2i或x2i，即x2i或x2i，所以方程x24x60的根为x2i.法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi(a，bR且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以又因为b0，所以解得a2，b.所以x2i，即方程x24x60的根为x2i.【类题通法】在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的求解方法(1)求根公式法当0时，x.当0时，x.(2)利用

11、复数相等的定义求解设方程的根为xmni(m，nR)，将此代入方程ax2bxc0(a0)，化简后利用复数相等的定义求解【巩固练习3】已知32i是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p，q的值解 因为32i是方程2x2pxq0的根，所以2(32i)2p(32i)q0，即2(912i4)(3p2pi)q0，整理得(103pq)(242p)i0，所以解得（四）操作演练 素养提升1.设a是实数，且是实数，则a等于()A. B.1 C. D.22.(1i)(2i)()A.3i B.3i C.3i D.3i3.设复数z12i，z213i，则复数的虚部等于_.4.已知复数z满足：z2zi86i，求复数z的实部与虚部的和.答案：1.B 2.D 3.1 4.4 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第80页 练习 第1，2，3,4题 第80页 习题7.2 第3,4,6,7题