7.3 复数的三角形式-2021-2022学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.docx

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)7.3复数的三角形式【考点梳理】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角叫作复数z=a+bi的辐角。(2)辐角主值0，2)内的辐角的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0arg z2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。(3)常用的有关辐角主值的结论当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是0，2)中的任一角。2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别

2、相等。3.复数的三角形式复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角来表示：z=r(cos+isin)，其中，。r(cos+isin)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cos2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：=。因此，如果 就有 。这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。2.复数的除法设 则z除以z的商：)。这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数

3、的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。【题型归纳】题型一：复数的三角表示1（2021全国高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.ABCD2（2021全国高一课时练习）复数的三角形式是（ ）ABCD3（2021上海市延安中学高一期末）的三角形式是（ ）ABCD题型二：复数的辅角4（2021全国高二课时练习）复数的辐角主值是（ ）A40B310C50D1305（2022上海复旦附中高二期末）已知复数满足，若和的幅角之差为，则_.6（2021全国高二单元测试）当实数k取什么值时，复数的辐角主值是？题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7（

4、2021重庆巴蜀中学高三阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角已知复数满足 ，则的辐角为（ ）ABCD8（2022全国高三专题练习）设，复平面上对应的点分别为，若，则四边形的面积为_9（2021全国高一课时练习）计算：(1)(2)(3)(4)【双基达标】一、单选题10（2022吉林吉林高三期末（理）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ）ABCD11（2021全国高一课时练习）已知的三角形式为，则的三角形式是（ ）.ABCD12（2021全国高三阶段练习）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体

5、公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）若复数满足，则的虚部为（ ）ABCD13（2021福建安溪高三期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）ABCD【高分突破】一：单选题14（2021广东惠州高一期中）已知，则（ ）ABCD15（2021吉林长春十一高高一阶段练习）任何一个复数 (其中为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，

6、下列说法中正确的个数是（ ）（1）（2）当时，（3）当时， （4）当时，若n为偶数，则复数为纯虚数A1B2C3D416（2022全国高三专题练习（文）设(其中为虚数单位)，则的共轭复数是（）ABCD17（2021广东惠州高一期末）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限18（2021全国高一课时练习）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，若复数，其共扼复数为，则下列说法复数z的虚部为；z与在复平面上对应点关于实轴对称；复数z的辐角为；其中正

7、确的命题个数为（ ）A1个B2个C3个D4个19（2020河北正中实验中学高三阶段练习）棣莫弗定理：若两个复数，则，已知，则的值为（ ）ABCD20（2021全国高三专题练习（理）大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（ ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A1BCiD21（2021全国高一课时练习）复数的三角形式为（ ）ABCD22（2020江苏省郑梁梅高级中学高三期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，

8、建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知，（ ）A1B0CD23（2021上海高一课时练习）复数的三角形式为（ ）ABCD24（2021上海高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（ ）A辐角唯一B辐角主值唯一C辐角主值为D辐角主值为25（2020河北冀州中学高三阶段练习）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ）ABCD二、多选题26（2022山西临县第一中学高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则27（2021全国高一课时练习）是著名的欧拉公式，它

9、将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系.若，恒成立且，则表示的复数不可能位于复平面中的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限28（2021江苏南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A复数对应的点位于第一象限B复数的模长等于C为纯虚数D29（2021湖南高二期末）著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系其广

10、义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是（ ）AB若复数满足，则C若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则D复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直30（2021全国高一课时练习）欧拉公式(其中i为虚数单位，)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项能确的是（ ）A复数对应的点位于第三象限B为纯虚数C的共轭复数为；D复数的模长等于三、填空题31（2021全国高一课时练习）复数的三角形式是_32（2021全国高一单元测试）设，则的三角形

11、式为_.33（2021全国高二课时练习）若复数的辐角为，的辐角为，则_34（2021湖南高一阶段练习）欧拉公式（其中为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当时，根据欧拉公式，若将所表示的复数记为，则将复数表示成三角形式为_四、解答题35（2021全国高一课时练习）已知，其中，且，求的值36（2021全国高一课时练习）（1）计算：；（2）若复数z满足，求复数的三角形式.（3）利用复数证明余弦定理.37（2021全国高一课时练习）计算：(1)(2)(3)(4)38（2021全国高一课时练习）已知（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.【答案详解】1B【

12、解析】【分析】复数的三角表示为，对比选项得到答案.【详解】复数的三角表示为：，其中，B选项满足.故选：B.2C【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.【详解】，故选：C.3B【解析】【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式【详解】解：故选：4B【解析】【分析】将复数写成（）即可求出所求复数的辐角.【详解】复数，所以该复数的辐角主值是.故选：B5【解析】【分析】分别设，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解.【详解】因为，设，所以由题意可知或，当时， ，当时， ，综上所述：，故答案为：.6【解析】【分析】根据复数的三

13、角形式和辐角主值的概念即可求解.【详解】因为的辐角主值是，所以，所以.所以当时，所给复数的辐角主值是.7C【解析】【分析】根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.【详解】由得， 故，所以.故选C8【解析】【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、和，即可求解.【详解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案为：.9(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算

14、得到答案.(1)(2).(3)(4).10A【解析】【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A11B【解析】【分析】根据三角形式的表达式知，的三角形式是，根据诱导公式判断选项符合的即可.【详解】由题知，的三角形式是，结合诱导公式知，故选：B12D【解析】【分析】根据欧拉公式求得，再根据复数的乘方求得，即可得复数，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：，又，复数，则的虚部为.故选：D13A【解析】【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数，因此，复数的辐角主值为.故选：A.14B【解析】【分析】先对，然后

15、再化为复数的三角形式可得答案【详解】所以 ，故选：B15B【解析】【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可【详解】解：对于（1），因为，所以，所以，所以，所以（1）正确，对于（2），当时，则，所以（2）错误，对于（3），当时，则，所以（3）正确，对于（4）， 当时，则当时， ，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B16C【解析】【分析】首先利用诱导公式将复数化简，再根据复数代数形式的乘法运算，以及二倍角公式化简复数，即可求出其共轭复数；【详解】解：因为所以所以的共轭复数是，故选：C17C【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由己知得，复数在复平面内所对

16、应的点的坐标为，位于第三象限故选：C18B【解析】【分析】对于，的实部为1，虚部为；对于，直接计算判断即可；对于，由点的对称关系判断即可；对于，由辐角的定义求解即可【详解】解：对于，复数的虚部为，所以错误；对于，因为，所以，所以，所以，所以错误；对于，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以正确；对于，所以复数z的辐角为，所以正确，故选：B19B【解析】【分析】推导出，求出的值，即可得出的值.【详解】由已知条件可得，以此类推可知，对任意的，所以，因此，.故选：B.20D【解析】【分析】先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为，所以，

17、故选：D.21B【解析】【分析】利用诱导公式可得结果.【详解】由诱导公式可知，因此，.故选：B.22C【解析】【分析】根据欧拉公式直接求出.【详解】根据，可知.故选：C23C【解析】【分析】结合复数的三角形式的概念可以直接求解.【详解】因为，辐角主值为，所以故选：C.24B【解析】【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案【详解】解：辐角主值的范围是，任何一个复数都有唯一的辐角主值，非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值故选：B25D【解析】【分析】把复数代为代数形式再化为三角形式后可得辐角主值【详解】，所以辐角主值为故选：D26ABC【解析】【分析】若 ，则，

18、 ，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A：若 ，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设 ，则 ，故 ，所以C正确；对于D：如下图所示，若 ，则，故 ，所以D错误.故选：ABC27BCD【解析】【分析】利用平方关系及二倍角的余弦公式可求得，再根据复数的乘法运算及，可求得的范围，再根据欧拉公式及复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：，由，则，所以，又因为恒成立，所以，所以，根据，则，因为，则，所以，所以表示的复数位于复平面中的第一象限.故选：BCD.28BD【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，有、，结合对应三

19、角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A：，而，则、，故位于第二象限，错误；B：，则其模长为，正确；C：，则为实数，错误；D：，正确；故选：BD29ABD【解析】【分析】对于A：根据已知得，再由对数运算可判断；对于B：由已知计算得，由此可判断；对于C：由已知得对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，根据垂直的坐标表示可判断；对于D:根据向量垂直的坐标表示可判断【详解】，故A正确；，故B正确；对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，即，又，或故C不正确；，复数，两者对应向量坐标为、，两向量垂直故D正确，故选：ABD.30BCD【解析】【分析】对于，根据，即可判断出；对于，根据欧拉公

20、式逐项计算，然后判断正误即可【详解】解：对于，由于，表示的复数在复平面中位于第二象限，故错误；对于，可得为纯虚数，故正确；对于，的共轭复数为，故正确对于，可得其模的长为，故正确；故选：31【解析】【分析】直接利用辅助角公式计算得到答案.【详解】.故答案为：.32【解析】【分析】先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可【详解】因为，所以，故答案为：33【解析】【分析】设，可得，由已知条件可得，解得和的值即可求解.【详解】设，则，因为复数的辐角为，所以，因为复数的辐角为，所以，由可得：，所以，故答案为：.34【解析】【分析】根据欧拉公式，先求出，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【详解】

21、因为，所以.故答案为：35【解析】【分析】结合复数的三角形式以及辐角与模的概念，结合三角恒等变换即可求出结果.【详解】因为，又，则，得，所以，由，得，又，所以又由，得，所以所以36（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由， ，结合复数的三角形式的乘方运算即可求值；（2）由题意得，进而得到 、代入目标式化简后转化为三角形式即可.（3）在复平面内建立直角坐标系，利用坐标法证明.【详解】解：（1）因为， ，所以，；（2）由题意知：，所以 ，（3）如图，已知是复平面内的任意三角形，角对应的边分别为.证明：.证明：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立复平面内的直角坐标系，则点对应的复数分别为，则复数的模，复数的模，幅角为，因为，所以，所以，所以，证毕.37(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用复数三角形式的乘除法法则运算即可.(1)原式(2)原式(3)原式(4)原式38（1）时，取最大值；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）求出，即得解；（2）设，再对分 和两种情况讨论得解.【详解】（1）所以，当时，即时，取最大值.（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值.设，则由于所以.因为，所以的实部，的虚部.当时，所对应的点位于第四象限.由于，所以.当时，所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）.由于，所以.