8.3.1 向量基本定理-四基测试题-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】第 8 章平面向量【8.3.1 向量基本定理】【附录】相关考点考点一向量基本定理如果，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，都可唯一表示为，的线性组合，即存在唯一的一对实数，使；注意：若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底；理解1、结论：已知向量，不共线，则A，B，C三点共线存在实数，使得，且12、基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的3、基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数值4、，是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，；5、由于零向量与

2、任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）A与B与 C与D与2、设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面其它向量基底的是()A B C D二、填充题（每小题10分，共60分）3、如图所示，向量可用向量，表示为 .4、若AD是ABC的中线，已知，则以，为基底表示 5、已知向量，是一个基底，实数x，y满足(3x4y)(2x3y)63，则xy_.6、已知向量在基底，下可以表示为23，若a在基底，下可表示为()()，则_，_.7、设，是不共线的两

3、个向量，给出下列四组向量：与；2与2；2与42；与；其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （写出满足条件的序号）8、已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是 三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若，（1）试用，表示向量，；（2）试用，表示；10、如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设，（1）试用，为基底表示，.（2）若取BC的中点G，试用，为基底表示；（3）若EF的中点为H，试用，为基底表示出；【教师版】第 8 章平面向量【8.3.1

4、 向量基本定理】【附录】相关考点考点一向量基本定理如果，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，都可唯一表示为，的线性组合，即存在唯一的一对实数，使；注意：若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底；理解1、结论：已知向量，不共线，则A，B，C三点共线存在实数，使得，且12、基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量，同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的3、基底给定时，分解形式唯一，是被，唯一确定的数值4、，是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，；5、由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基

5、底中的向量；一、选择题（每小题6分，共12分）1、已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）A与B与 C与D与【提示】注意：理解“基底”的概念；【答案】D；【解析】只要两向量不共线便可作为基底，故对于A选项，共线，不满足；对于B选项，共线，不满足；对于C选项，共线，不满足；对于D选项，与不共线，故满足.故选：D；【考点】本题考查了平面向量基本定理中的基底的概念；2、设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平面其它向量基底的是()A B C D【提示】注意：数形结合理解向量基底的的概念；【答案】B；【解析】由图，结合平面几何性质，易

6、知与不共线，与不共线；【考点】本题考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来；二、填充题（每小题10分，共60分）3、如图所示，向量可用向量，表示为 .【提示】注意：结合平面几何性质与向量的线性运算的几何意义；【答案】43；【解析】由图示知，3，4，所以，43；【考点】本题考查了平面向量基本定理与与向量加法的几何意义的整合；4、若AD是ABC的中线，已知，则以，为基底表示 【提示】注意：结合ABC的中线与向量的线性运算的几何意义；【答案】()；【解析】如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从

7、而，即，从而()()；【考点】本题主要依据平面向量基本定理考查了平行四边形法则；5、已知向量，是一个基底，实数x，y满足(3x4y)(2x3y)63，则xy_.【提示】注意：理解基底向量的性质：非零、不共线；【答案】3；【解析】因为，是一个基底，所以与不共线，由平面向量基本定理得所以所以xy3；【考点】本题考查了平面向量的基本定理及其基底向量的应用；6、已知向量在基底，下可以表示为23，若a在基底，下可表示为()()，则_，_.【提示】注意：理解基底向量与向量运算；【答案】；【解析】由条件可知解得；【考点】本题考查了对平面向量基本定理的理解；主要考查“基底向量”的非零与不共线的性质；7、设，是

8、不共线的两个向量，给出下列四组向量：与；2与2；2与42；与；其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （写出满足条件的序号）【提示】注意：理解基底向量与向量运算；【答案】；【解析】设，则无解，所以与不共线，即与能作为一组基底；设2(2)，则(12) (2) ，则无解，所以2与2不共线，即2与2能作为一组基底；因为2(42)，所以2与42共线，即2与42不能作为一组基底设()，则(1) (1) ，则无解，所以与不共线，即与能作为一组基底；【答案】【考点】本题考查对基底的理解：1、两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；2、一个平面的基底一旦

9、确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来设向量与是平面内两个不共线的向量，若x1y1x2y2，则特别注意：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样；8、已知非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则x，y满足的关系是 【提示】注意：“非零向量，不共线”；【答案】xy20；【解析】由，得()，即(1)；又2xy，所以消去得xy2；【考点】本题考查了平面向量基本定理及其应用；三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G.若，（1）试用，表示向量，；（2）试用，表示；【提示】注

10、意：结合数形结合与借助向量线性运算的几何意义；【解析】（1）；（2）由平面几何的知识可知，故b.【考点】本题考查了依据平面向量基本定理用基底表示向量；用基底表示向量的依据和两个“模型”：（1）依据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义，数乘向量的几何意义（2）模型：向量加法的三角形法则或向量加法平行四边形法则、减法的三角形法则；10、如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设，（1）试用，为基底表示，.（2）若取BC的中点G，试用，为基底表示；（3）若EF的中点为H，试用，为基底表示出；【解析】因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以，；（2），解析：，所以，.（3），因为b，所以；.【考点】本题考查了依据平面向量基本定理用基底表示向量；平面向量基本定理的作用以及注意点：1、根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算；2、基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量；