8.4 向量的应用（2）-四基测试题-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】第 8 章平面向量【8.4 向量的应用（2）】【附录】相关考点考点一线段的定比分点坐标公式定比分点坐标公式：若点，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比；提示：由结合向量的坐标表示与相等，推导得 1、其中：定比分点坐标公式()2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向3、点的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点为的内分点特别地，当时，有，即点是线段之中点，其坐标为；当()时，与反向共线，这时称点为的外分点；考点二向量在平面几何中常见的应用，（1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或.（2）证明直线或线段平行，用向量共

2、线定理：（3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或；即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.（4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.例如证明，只要证明.（5）求夹角问题，利用夹角公式： ；考点三向量在物理中的应用（1）向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度，加速度及位移速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.（3）向量与功，动量力做的功是力在物体前进的方向上的力

3、与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，动量实际上是数乘向量；一、选择题（每小题6分，共12分）1、河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/s C4 m/s D12 m/s2、已知三个力(2，1)，(3，2)，(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力，则( )A(1，2) B(1，2) C(1，2) D(1，2)二、填充题（每小题10分，共60分）3、已知(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为(3，4)，则力对质点P做的功是_4、已知两个力，的夹角为90，它们的

4、合力大小为10 N，合力与的夹角为60，那么的大小为 N5、点P在平面上做匀速直线运动，速度(4，3)(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)设开始时点P0的坐标为(10，10)，则5秒后点P的坐标为_6、用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_N.7、小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.8、在风速为75() km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，则没有风时飞机的航速是 km/h和航向为 ；三、解答题（第9题12分，第10题

5、16分）9、一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小10、如图所示，在细绳O处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与铅垂线的夹角为，绳子所受到的拉力为；（1）判断， |随角的变化而变化的情况；（2）当时，求角的取值范围【教师版】第 8 章平面向量【8.4 向量的应用（2）】【附录】相关考点考点一线段的定比分点坐标公式定比分点坐标公式：若点，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比；提示：由结合向量的坐标表示与相等，推导得 1、其中：定比分点坐标公式()2、点分

6、所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向3、点的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点为的内分点特别地，当时，有，即点是线段之中点，其坐标为；当()时，与反向共线，这时称点为的外分点；考点二向量在平面几何中常见的应用，（1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式：，例如证明,只要证明或.（2）证明直线或线段平行，用向量共线定理：（3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或；即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可.（4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.例如证明，只要证明.（5）求夹角问题，利用夹角公式： ；考点三向量在物理中的应用（

7、1）向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度，加速度及位移速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.（3）向量与功，动量力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，动量实际上是数乘向量；一、选择题（每小题6分，共12分）1、河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/s B2 m/s C4

8、m/s D12 m/s【提示】注意：阅读理解与转化；【答案】B；【解析】由题意知|水|2 m/s，|船|10 m/s，作出示意图如图；所以小船在静水中的速度大小，|2(m/s)；【考点】解答本题正确画出示意图是关键；2、已知三个力(2，1)，(3，2)，(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力，则( )A(1，2) B(1，2) C(1，2) D(1，2)【提示】注意：理解“使物体保持平衡”；【答案】D；【解析】由物理知识知，故(1，2)；【考点】本题结合物理知识考了向量的线性运算；二、填充题（每小题10分，共60分）3、已知(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为(3

9、，4)，则力对质点P做的功是_【答案】11；【解析】因为W(1，2)(3，4)11，则力对质点P做的功是11；【说明】物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)；4、已知两个力，的夹角为90，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为60，那么的大小为 N【提示】注意：通过阅读，画出示意图；【答案】5；【解析】画出图形，如图，由题意 N，所以 N；5、点P在平面上做匀速直线运动，速度(4，3)(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)设开始时点P0的坐标为(10，10)，则5秒后点P的坐标为_【答案】(10，5)；【解析】由题意知，5(

10、20，15)，设点P的坐标为(x，y)，则解得点P的坐标为(10，5)；答案：(10，5)；6、用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_N.【提示】注意：阅读理解后画出示意图；【答案】10；【解析】如图，由题意，得AOCCOB60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N；7、小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_km/h.【提示】注意：阅读理解画出示意图；【答案】20；【解析】如图，设小船实际航行速度为，则，设船在静水中的速度为10 km/h，河水的流速为10

11、km/h, 因为，所以，得，所以20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h；8、在风速为75() km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，则没有风时飞机的航速是 km/h和航向为 ；【提示】注意：阅读理解后画出示意图；【答案】（1）150；（2）西偏北30.；【解析】设向量表示风速，表示无风时飞机的航行速度，表示有风时飞机的航行速度，则；如图，作向量，则四边形OACB为平行四边形，过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D，E两点，由已知得，|75()，|150，COD45，在RtCOD中，ODOC cos 4575，CD75，又EDBCOA75()，所以

12、，在RtOEB中，OB150，sin BOE，所以，|150，BOE30，故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30；【说明】向量在物理中的应用：由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法与减法相似，因此可以用向量知识来解决；由于，向量本身是由物理学中的概念抽象出来的，平面向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决物理问题，要注意两个方面：一方面是通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题；另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象。三、解答题（第9题12分，第10题16分）9、一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着

13、风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小【提示】注意：阅读理解画示意图；【答案】方向是正南方向；汽车速度的大小为2 m/s；【解析】依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为车地，风对车的速度为风车，风对地的速度为风地风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即风地风车车地；如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量风地的有向线段是平行四边形ACDB的对角线因为|4，ACD30，|2，所以ADC90.在RtADC中，|cos 302.即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为2 m/s.

14、【考点】解答本题，特别注意：1、因为不能正确地用平面向量把这个物理问题表示出来，造成了对题目束手无策；故我们要掌握相关的物理知识；2、用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；利用这个结果，对原物理现象作出解释；10、如图所示，在细绳O处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与铅垂线的夹角为，绳子所受到的拉力为；（1）判断， |随角的变化而变化的情况；（2）当时，求角的取值范围【提示】注意：阅读理解画出示意图；【解析】（1）如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得：，|，当从0趋向于时，都逐渐增大（2）由|，得cos .又0，所以0，故角的取值范围为.【考点】本题是平面向量在物理中的应用：一般而言，用向量方法解决物理问题的“三步曲”：1、表示：把物理问题转化为向量表示；2、转化：转化为向量的线性运算或数量积运算；3、还原：把结果还原为物理问题；