8.6.2 直线与平面垂直-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）.docx

1、8.6.2 直线与平面垂直【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解直线与平面垂直的定义2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明1.直观想象;2.逻辑推理；3.数学运算【自主学习】 一 直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 ，它们唯一的公共点P叫做 画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条

2、垂线段与点面距过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离二 直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b， l图形语言三 直线和平面所成的角斜线一条直线l与一个平面 ，但不与这个平面 ，图中直线PA斜足斜线和平面的 ，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面引 PO，过 O和 A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行

3、或在平面内，它们所成的角是 图示取值范围0，90四直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线 符号语言a，b 图形语言作用线面垂直线线平行五线面距与面面距1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直()(2) 如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直()(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的

4、直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线()(4)如果直线l与平面所成的角为60，且m，则直线l与m所成的角也是60.()(5)若直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.()2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于_【经典例题】题型一 直线与平面垂直的判定点拨：证线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面例1 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N.求证：AN平面PBM

5、.【跟踪训练】1在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D题型二：直线与平面所成的角点拨：例2 如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45 C30 D120【跟踪训练】2在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是_；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是_；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是_题型三 线面垂直性质定理的应用点拨：直线与平面垂直的性质1.垂直于同一个平面的两条直线平行；2.如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；3.若两条平行线中的一条垂

6、直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面 例3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN平面A1DC求证：MNAD1.【跟踪训练】3 如图，已知正方体A1C. (1)求证：A1CB1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MNB1D1，MNC1D，求证：MNA1C.【当堂达标】1.直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l与平面的位置关系是()A.平行B.垂直 C.在平面内 D.无法确定2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这

7、四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()3.如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABACAA1.(1)求证：AB1平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值6.如图，已知四棱锥SABCD中ABCD为矩形，SA平面AC，AESB于点E，EFS

8、C于点F.(1)求证：AFSC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AGSD.【课堂小结】一证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面二线线垂直和线面垂直的相互转化【参考答案】【自主学习】任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 abP 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 90 0 平行 ab 任意一点 任意一点 相等 【小试牛刀】1.(1)(2) (3) (4)(5)2.45解析：如图所示，因为正方体ABCDA1B1C

9、1D1中，B1B平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角由题意知，B1AB45，故所求角为45.【经典例题】例1 证明：设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM. 由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.【跟踪训练】1证明：如图，连接AC，ACBD，又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC，A1C平面A1AC，BDA1C同理可证BC1A1C又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，

10、A1C平面BC1D例2 A 解析：ABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60. 故选A【跟踪训练】2 (1)45(2)30(3)90解析：(1)由已知知A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，A1BA45.(2)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为A1BO，因为A1OA1B，所以A1BO30.(3)因为A1BAB1，A1BB1C1，又因为AB1B1C1B1，所以A1B平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90.例3

11、证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1A1D又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCDD，所以AD1平面A1DC又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.【跟踪训练】3 (1)如图，连接A1C1.因为CC1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，所以CC1B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1.又因为CC1A1C1C1，所以B1D1平面A1C1C.又因为A1C平面A1C1C，所以B1D1A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1DAB1，因为MNC1D，所以MNAB1.又

12、因为MNB1D1，AB1B1D1B1，所以MN平面AB1D1.由(1)知A1CB1D1.同理可得A1CAB1.又因为AB1B1D1B1，所以A1C平面AB1D1.所以A1CMN. 【当堂达标】1. D2.D解析：对于A，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于B，易证ABMN，ABNQ，即可得直线AB平面MNQ；对于C，易证ABNQ，ABMQ，即可得直线AB平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直故选D.3.4 解析：因为SD底面ABCD，所以ACSD因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD又BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB

13、，故正确因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，故正确因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是SAD故正确因为ABCD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故正确4.45 解析：如图，设C在平面内的射影为点O，连接AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角设ACBC1，则AB，所以CM，CO，所以sinCMO，所以CMO45.5.解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，AB1BA1.由AA1平面A1B1C1得AA1A1C1.又A1C1A1B1，AA1A1B1A1，A1C1平面AA1B1B又AB1平面AA1B1

14、B，A1C1AB1.又BA1A1C1A1，AB1平面A1BC1.(2)连接A1D设ABACAA11.AA1平面A1B1C1，A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，A1DB1C1.在RtA1DA中，AD.sinA1DA，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.6.证明：(1)因为SA平面AC，BC平面AC，所以SABC.因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC.又因为SA ABA，所以BC平面SAB.所以BCAE.又SBAE，BCSBB，所以AE平面SBC.又因为SC平面SBC，所以AESC.又EFSC，EF AEE，所以SC平面AEF.因为AF平面AEF，所以AFSC.(2)因为SA平面AC，所以SADC.又ADDC，ADSAA，所以DC平面SAD.又AG平面SAD，所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，所以SCAG.又SCDCC，所以AG平面SDC.因为SD平面SDC，所以AGSD.