9.3 双曲线（精讲）（教师版）.docx

1、9.3双曲线（精讲）一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为空集.二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(

2、0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyxa，b，c关系c2a2b2(ca0，cb0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.四直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定2.弦长公式设直线ykxb与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| |x1x2|.一求标

3、准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为(0)或mx2ny21(mn0)，再根据条件求解3.常用设法：与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的方程可设为(0)二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求

4、解.3.双曲线1(a0，b0)的渐近线可由0即得两渐近线方程0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为yx(a0，b0)，即0，则双曲线的方程可设为(0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线yx的斜率k与离心率e的关系：e.三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中当P为短轴端点时，最大.S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为

5、bc.焦点三角形的周长为2(ac).(2) 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF2.考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】（2023陕西渭南）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（）ABC或D不确定【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C【例1-2】（2023广东潮州）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以要求的最小值，只需求的最小

6、值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.故选：C【例1-3】（2023江苏 ）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， 【答案】 22 【解析】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则，显然，又，解得，所以的周长等于，.故答案为：22；【一隅三反】1（2023江苏）（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（）A5B3C7D6【答案】BC【解析】由双曲线的定义可知，即，所以或故选：BC2（2023秋江西南昌高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .【答案】 【解析】由题意知

7、，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.3（2023全国 课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 .【答案】5【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，两圆的半径分别为，易知，故的最大值为.故答案为：5考点二 双曲线的标准方程【例2-1】（2023秋课时练习）已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（）ABCD【答案】A【解析】由题意可得,由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即，所以.又因为焦点在轴上，所以曲线方程为.故选:A.【例2-2】（2024秋浙江高三

8、舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（）ABCD【答案】A【解析】设双曲线的方程为（），代入点，得，故所求双曲线的方程为，其标准方程为故选：A【例2-3】（2023江苏 ）下列选项中的曲线与共焦点的双曲线是（）AB1C1D1【答案】D【解析】双曲线的焦点在x轴上，半焦距，对于A，方程，即，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为，A不是；对于B，C，方程、都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；对于D，方程是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为，D是.故选：D【一隅三反】（2023江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点

9、P，Q且焦点在坐标轴上(4)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(5)焦点在轴上，经过点和点(6)虚轴长为12，离心率为；(7)焦点在x轴上，离心率为，且过点；(8)顶点间距离为6，渐近线方程为yx.(9)以直线为渐近线，过点；(10)与椭圆有公共焦点，离心率为.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或(7)(8)或(9)(10)【解析】（1）由，当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得故所求双曲线的标准方程为（2）法一：双曲线1的焦点在轴上，设所求双曲线的

10、标准方程为，即双曲线经过点，由得，故双曲线的标准方程为法二：设所求双曲线的方程为双曲线过点，解得或（舍去）故双曲线的标准方程为（3）设双曲线的方程为点在双曲线上，解得，故双曲线的标准方程为（4）由已知得，即,，.焦点在轴上，所求的双曲线的标准方程是;（5）设双曲线的方程为，则,双曲线方程为.（6）设双曲线的标准方程为或.由题意知，且，双曲线的标准方程为或；（7），.又焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，.把点代入方程，解得.双曲线的标准方程为.（8）设以为渐近线的双曲线方程为（），当时，得；当时，得；双曲线的标准方程为或.（9）方法一：由题意可设所求双曲线方程为，由题意，得解得，故所求双曲线的标

11、准方程为；方法二：由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入方程解得，故所求双曲线的标准方程为；（10）方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为，即且焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，因为，所以，则，故所求双曲线的标准方程为；方法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为，因为，所以，解得，故所求双曲线的标准方程为.考点三 离心率与渐近线【例3-1】（2023福建泉州统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（）ABCD【答案】A【解析】由题意得：，解得：，即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.故选：A.【例3-2】（2023河南校联考二模）已知双曲线：的左右焦点分别是，是双曲线上

12、的一点，且，则双曲线的离心率是（）ABCD【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为.由题意，点在双曲线的右支上，由余弦定理得，解得，即，根据双曲线定义得，解得，故双曲线的离心率.故选：D【例3-3】（2023秋广东高三校联考阶段练习）已知双曲线C：（，），斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）ABCD【答案】B【解析】设双曲线C的左焦点，右焦点为，P为第二象限上的点，连接PF，QF，根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形为平行四边形.因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，所以，即四边形为矩形，由直线l的斜率为，得，

13、又，则是等边三角形，所以.在中，则，故，又由双曲线定义知，所以，则.故选：B.【一隅三反】1（2023广西桂林）双曲线的渐近线方程是（）ABCD【答案】A【解析】化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a3，b2，故渐近线方程为.故选：A2（2023春新疆巴音郭楞）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（）ABCD【答案】D【解析】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，因为为等边三角形，则，所以，所以，则，所以，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.3（2023江西江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，直线与双曲线有且只

14、有一个公共点，则双曲线的离心率为（）ABC2D【答案】B【解析】双曲线的渐近线为，又，所以直线的斜率为，因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，直线与双曲线的一条渐进线平行，所以，即，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以，故选：B考点四 直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2023湖南）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点【答案】(1)或或；(2)或(3)或【解析】（1）联立，消整理得，（*）因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以，整理得解得： 或或.（

15、2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或.（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得： 或.【一隅三反】1（2022全国高三专题练习）已知直线与双曲线有两个不同的交点，则的取值可以是（）ABC1D【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，直线与双曲线有两个不同的交点，又直线过原点则则的取值可以是.故选：B2（2023重庆统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（）A2条B3条C4条D无数条【答案】A【解析】由题意可得，

16、双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.3（2023四川遂宁射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（）ABCD【答案】B【解析】双曲线可得，所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为，因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以，解得.故选：B.4（2023四川成都四川省成都

17、市玉林中学校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（）条A0B2C3D4【答案】D【解析】由双曲线得其渐近线方程为过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条故选:.考点五 弦长与中点弦【例5-1】（2023全国课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 【答案】8【解析】由双曲线，得，焦点为，倾斜角，法一：直线斜率，直线方程为，联立消得，由韦达定理知，代入弦长公式，得.法二：.故答案为：8.【

18、例5-2】（2023山东模拟预测）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A1条B2条C3条D4条【答案】D【解析】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设，与双曲线联立可得，由弦长公式知，则或.故存在四条直线满足条件.故选：D【例5-3】（2023福建）已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（）A3B4C5D6【答案】D【解析】设，则有与，两式相减得：，即，又因为为AB的中点，所以，得到，即直线AB的斜率为6.故选：D.【一隅三反】1（2023安徽）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线

19、段的中点，则直线的方程是（）ABCD【答案】A【解析】设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A2（2023春河南周口 ）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】B【解析】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，又，得故选：B3（2023河北）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点(1)求直线的方程(2)求线段的长【答案】(1)(2)【解析】（1）设，代入双曲线方程得，两式相减得，即，因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为所以的方程为，即，经验证符合题意，所以直线的方程为；（

20、2）将代入中得，故，所以.考点六 直线与双曲线的综合运用【例6】（2023秋安徽）已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上.(1)求双曲线C的方程；(2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由已知得：，则，又因为在C上，则， 解得，所以双曲线C的方程为.（2）若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立方程，消去y得，由已知，则，且，可得，又因为，由可得：，整理得：，则，可得，则，由已知l不经过点，故，所以，即， 可得l：，过定点；若直线l的斜率不存在，设，可得，由可得：，又因为，解得，满足条件，综上所述：故直线l过定点.【

21、一隅三反】1（2023秋江苏南京高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2.(1)求双曲线的方程；(2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由已知得，解得，.双曲线的方程为：.（2）将代入，得，.因与有两个交点，所以，且.设，则，从而.根据对称性可知，如果直线过定点，则所过定点必在轴上，不妨设为，则，.过定点，即对恒成立.即，即.因为，所以.所以.代入上式得，.上式对恒成立，当且仅当，即直线恒过定点.2（2023秋辽宁鞍山高三统考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(1)求双曲线的方程；(2)点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点求证：直线过定点【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）由题意，可得，双曲线.（2）法一：设直线，代入，得，则有，直线，直线，由直线、的交点在上得，即：，恒成立，若，将代入得，过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，直线过定点.法二：设，则设直线，由，得，记，则和是该方程的两个根，则，由，得，记，则2和是该方程的两个根，则，则直线的斜率：，令，故直线过定点.