9.3 因式分解【九大题型】（举一反三）（苏科版）（教师版）.docx

1、专题9.3 因式分解【九大题型】【苏科版】【题型1 因式分解的意义】1【题型2 利用因式分解求系数的值】3【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】4【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】6【题型5 因式分解】7【题型6 利用添项进行因式分解】9【题型7 利用拆项进行因式分解】10【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】12【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】13【知识点1 因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：提公因式法：pa+pb

2、+pc=p(a+b+c)；公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题

3、型1 因式分解的意义】【例1】（2022济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）Ax2x1x（x1）1Bx21（x1）2Cx2x6（x3）（x+2）Dx（x1）x2x【分析】根据因式分解的定义判断即可【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C【变式1-1】（2022秋儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（）Aa2b2Ba22a+1CabaDa2+b2【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可【解答】解：A、原式（a+b）（ab），不符合题意；B、原式（a1

4、）2，不符合题意；C、原式a（b1），不符合题意；D、原式不能分解，符合题意，故选：D【变式1-2】（2022春青川县期末）下列各式因式分解正确的是（）A12a2+a+12=a2+2a+1（a+1）2Ba2+ab6b2a（a+b）6b2Ca2b2ab（a+b）（ab）abDa2a2+a3a（12a+a2）a（1a）2【分析】直接利用因式分解定理判断即可【解答】解：A选项的系数不正确；B、C选项不是因式乘积形式，不正确；D，a2a2+a3a（12a+a2）a（1a）2是正确的故选：D【变式1-3】（2022秋德惠市期末）给出六个多项式：x2+y2；x2+y2；x2+2xy+y2；x41；x（x+

5、1）2（x+1）；m2mn+14n2其中，能够分解因式的是 （填上序号）【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案【解答】解：x2+y2不能因式分解，故错误；x2+y2利用平方差公式，故正确；x2+2xy+y2完全平方公式，故正确；x41平方差公式，故正确；x（x+1）2（x+1）提公因式，故正确；m2mn+14n2完全平方公式，故正确；故答案为：【题型2 利用因式分解求系数的值】【例2】（2022攀枝花模拟）若关于x的多项式x2px6含有因式x2，则实数p的值为（）A5B5C1D1【分析】设x2px6（x2）（xa），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相

6、等的条件即可求出p的值【解答】解：根据题意设x2px6（x2）（xa）x2（a+2）x+2a，pa2，2a6，解得：a3，p1故选：C【变式2-1】（2022春聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x7y）2，那么k140【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解【解答】解：（10x7y）2，100x2140xy+49y2，100x2+kxy+49y2，k140故应填140【变式2-2】（2022春南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为 13【分析】根据题意，可得x3+ax2+bx+4（x+1）（x+2）（x+

7、k）（k为任意实数），再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得a+b【解答】解：由题意知：x3+ax2+bx+4（x+1）（x+2）（x+k）（k为任意实数）x3+ax2+bx+4（x2+3x+2）（x+k）x3+ax2+bx+4x3+（3+k）x2+（3k+2）x+2k3+ka，3k+2b，2k4k2a5，b8a+b5+813故答案为：13【变式2-3】（2022秋青羊区校级期中）已知x2+x6是多项式2x4+x3ax2+bx+a+b1的因式，则a16；b3【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3ax2+bx

8、+a+b1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值【解答】解：设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x6）（2x2+mx+n）2x4+（m+2）x3+（m+n12）x2+（n6m）x6n则：m+2=1m+n-12=-an-6m=ba+b-1=-6n解得：m=-1n=-3a=16b=3故答案是：16，3【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】【例3】（2022春渠县校级期中）若a1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002，则多项式a2+b2+c2abacbc的值为（）A0B1C2D3【分析】将多项式a2+b2+c2abbcca转化为几个完全平方式的和，再将

9、a1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002分别代入求值【解答】解：2（a2+b2+c2abbcca）2a2+2b2+2c22ab2bc2ca（ab）2+（ac）2+（bc）2（1999x+20001999x2001）2+（1999x+20001999x2002）2+（1999x+20011999x2002）21+4+16a2+b2+c2abbcca612=3故选：D【变式3-1】（2022春新吴区校级期中）（1）已知x+y4，xy2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=112，化简并计算：（12x）2（2x+1）2（3+2x）2（32x）2【分析】（

10、1）原式提取公因式后，利用完全平方公式分解，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；（2）原式利用积的乘方变形，利用平方差公式分解得到结果，将x的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）x+y4，xy2，原式2xy（x+y）264；（2）原式（14x2）2（94x2）28（108x2）80+64x2，当x112时，原式80+14464【变式3-2】（2022春洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为48【分析】根据长方形周长与面积公式求出mn与m+n的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值【解答】解：一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积

11、为6，2（m+n）16，mn6，即m+n8，mn6，则原式mn（m+n）48，故答案为：48【变式3-3】（2022安顺模拟）已知m24n+a，n24m+a，mn，则m2+2mn+n2的值为（）A16B12C10D无法确定【分析】将m24n+a与n24m+a相减可得（mn）（m+n+4）0，根据mn，可得m+n+40，即m+n4，再将m2+2mn+n2变形为（m+n）2，整体代入即可求解【解答】解：将m24n+a与n24m+a相减得m2n24n4m，（m+n）（mn）4（mn），（mn）（m+n+4）0，mn，m+n+40，即m+n4，m2+2mn+n2（m+n）2（4）216故选：A【题型4

12、 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】【例4】（2022秋新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（）A6B8C6的倍数D8的倍数【分析】首先设两个奇数分别是2n1和2n+1，把两个数的平方差进行分解因式，即可求得【解答】解：设两个奇数分别是2n1和2n+1则（2n+1）2（2n1）24n28n则两个连续的奇数的平方差总可以被8整除故选：B【变式4-1】（2022秋河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2n2都能被（）A2整除Bn整除C7整除Dn+7整除【分析】逆用平方差公式进行运算后即可判断【解答】解：（n+7）2n2，（n+7+n）（n+7n），7（2n+7）n

13、为整数，7（2n+7）是7的倍数，能被7整除故选：C【变式4-2】（2022秋荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）的整数是（）A3B6C10D9【分析】根据平方差公式，可化简整式，根据提取公因式，可得因数【解答】解：（3n+1）（3n1）（3n）（3+n）9n21（9n2）10n21010（n21），10能整除（3n+1）（3n1）（3n）（3+n），故选：C【变式4-3】（2022春招远市期末）已知4241可以被6070之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A61，63B63，65C65，67D63，64【分析】先利用平方差公式分解因式，再

14、找出范围内的解即可【解答】解：42412481（224+1）（2241），（224+1）（212+1）（2121），（224+1）（212+1）（26+1）（261）；2664，26163，26+165，这两个数是65、63故选：B【题型5 因式分解】【例5】（2022秋梅里斯区期末）因式分解（1）3x3y2+6x2y33xy4；（2）3x（ab）6y（ba）【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用相反数把（ba）转化为（ab），再提取公因式【解答】解：（1）原式3xy2（x22xy+y2）3xy2（xy）2；（2）原式3x（ab）+6y（ab）3（ab）（x+2y）【变式

15、5-1】（2022春聊城期末）把下列各式分解因式：（1）9xy215x3y；（2）9x2y+3xy26xyz；（3）3m2n6mn+3m；（4）24a2b8ab2+28ab3【分析】（1）提取公因式3xy进行因式分解（2）提取公因式3xy进行因式分解（3）提取公因式3m进行因式分解（4）提取公因式4ab进行因式分解【解答】解：（1）9xy215x3y3xy（3y5x2）（2）9x2y+3xy26xyz3xy（3xy+2z）（3）3m2n6mn+3m3m（mn2n+1）（4）24a2b8ab2+28ab34ab（6a+2b7b2）【变式5-2】（2022碑林区校级开学）把下列各式分解因式：（1）

16、4xyz4x2yx12xy2z；（2）20am+1b2m+412a2m+1bm+2；（3）20c（ab）225（ba）3；（4）x（x2）x+2【分析】（1）利用提公因式分解即可解答；（2）利用提公因式分解即可解答；（3）利用提公因式分解即可解答；（4）利用提公因式分解即可解答【解答】解：（1）4xyz4x2yx12xy2z4xyz（1x3y）；（2）20am+1b2m+412a2m+1bm+24am+1bm+2（5bm+23am）；（3）20c（ab）225（ba）320c（ba）225（ba）35（ba）24c+5（ba）5（ba）2（4c+5b5a）；（4）x（x2）x+2x（x2）（x

17、2）（x2）（x1）【变式5-3】（2022寻乌县模拟）把下列各式分解因式：（1）6（ab）2+3（ab）；（2）x（x1）3x+4；（3）x2（y21）+2x（y21）+（y21）；（4）a5-12a3b2+116ab4【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解【解答】解：（1）6（ab）2+3（ab）3（ab）2（ab）+13（ab）（2a2b+1）；（2）x（x1）3x+4x2x3x+4x24x+4（x2）2；（3）x2（y21）

18、+2x（y21）+（y21）（y21）（x2+2x+1）（y+1）（y1）（x+1）2；（4）a5-12a3b2+116ab4a（a4-12a2b2+116b4）a（a2-14b2）2a（a+12b）2（a-12b）2【题型6 利用添项进行因式分解】【例6】（2022春市中区期末）因式分解：x4+4y4【分析】运用添项法因式分解【解答】解：x4+4y4x4+4x2y2+4y24x2y2，（x2+2y2）24x2y2，（x2+2y2+2xy）（x2+2y22xy）【变式6-1】（2022秋鱼台县期末）因式分解：x22axb22ab【分析】运用添项法因式分解【解答】解：x22axb22ab，x22

19、ax+a2a2b22ab，（xa）2（a+b）2，（xa+a+b）（xaab），（x+b）（x2ab）【变式6-2】（2022春永定区期中）把多项式x4+324因式分解【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可【解答】解：x4+324x4+36x2+32436x2（x2+18）236x2（x2+18）2（6x）2（x2+18+6x）（x2+186x）【变式6-3】（2022柳南区二模）分解多项式a51的结果是 【分析】补上比第一项的指数小1的项逐次分解因式即可【解答】解：原式a5a4+a4a3+a3a2+a2a+a1a4（a1）+a3（a1）+a2（a1）+a（a1）+（a1）（a1）（a4+

20、a3+a2+a+1）故答案为：（a1）（a4+a3+a2+a+1）【题型7 利用拆项进行因式分解】【例7】（2022秋江油市期末）分解因式：m2+6m+8【分析】把8变为91，利用拆项法分解【解答】解：m2+6m+8m2+6m+91（m+3）21（m+3+1）（m+31）（m+4）（m+2）【变式7-1】（2022春市中区期末）分解因式：a26a+8【分析】加1再减1，可以组成完全平方式；【解答】解：a26a+8，a26a+91，（a3）21，（a31）（a3+1），（a2）（a4）【变式7-2】（2022寻乌县模拟）把x24x+3因式分解【分析】常数项先加上1再减1，前三项构成完全平方式，再

21、利用平方差公式因式分解，亦可把4x写出3xx的形式，分组后提取公因式【解答】解：法一、x24x+3+11x24x+41（x2）21（x2+1）（x21）（x1）（x3）法二、x24x+3x2x3x+3x（x1）3（x1）（x1）（x3）【变式7-3】（2022秋微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4【分析】把9b4变为25b416b4，利用拆项法分解【解答】解：a4+10a2b2+9b4a4+10a2b2+25b416b4（a2+5b2）2（4b2）2（a2+5b2+4b2）（a2+5b24b2）（a2+9b2）（a2+b2）【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】【例8】（2022

22、秋鱼台县期末）已知：a，b，c为ABC的三边长，且2a2+2b2+2c22ab+2ac+2bc，试判断ABC的形状，并证明你的结论【分析】先根据完全平方公式进行变形，求出abc，即可得出答案【解答】ABC是等边三角形证明如下：2a2+2b2+2c22ab+2ac+2bc，2a2+2b2+2c22ab2ac2bc0，a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c20，（ab）2+（ac）2+（bc）20，（ab）20，（ac）20，（bc）20，得ab且ac且bc，即abc，所以ABC是等边三角形【变式8-1】（2022秋鱼台县期末）ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c22a（b+c），

23、判断ABC的形状，并说明理由【分析】通过分组分解法把2a2+b2+c22a（b+c）化为（ab）2+（ac）20，然后利用平方的非负性，得出abc，判断出ABC是等边三角形【解答】解：ABC是等边三角形理由如下：2a2+b2+c22a（b+c），a2+a2+b2+c22ab+2ac，a2+a2+b2+c22ab2ac0，（a22ab+b2）+（a22ac+c2）0，（ab）2+（ac）20，（ab）20，（ac）20，（ab）20，且（ac）20，abc，ABC是等边三角形【变式8-2】（2022春乐平市期末）ABC三边a，b，c满足a2abac+bc0，判断ABC的形状【分析】先把a2aba

24、c+bc0因式分解，得出（ab）（ac）0，由此得出ab，或ac，或abc，从而判断出ABC是等腰三角形或等边三角形【解答】解：a2abac+bc0，（a2ab）+（ac+bc）0，a（ab）c（ab）0，（ab）（ac）0，ab0或ac0，ab且ac，即ab，或ac，或abc，ABC是等腰三角形或等边三角形【变式8-3】（2022秋临沂期末）已知a，b，c为ABC的三边，且b2+2abc2+2ac，试判断ABC的形状并说明理由【分析】把b2+2abc2+2ac进行整理可得：（2a+b+c）（bc）0，而2a+b+c0，只能是bc0，则有bc，即可判断ABC是等腰三角形【解答】解：ABC是等腰

25、三角形，理由：b2+2abc2+2ac，b2c2+2ab2ac0，（bc）（b+c）+2a（bc）0，（2a+b+c）（bc）0，2a+b+c0，bc0，即bc，ABC是等腰三角形【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】【例9】（2022春市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2（1+x）1+x+x（x+1）（1+x）2（1+x）（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 提公因式法，共用了2次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2021，则结果是 （1+x）2022（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x

26、+1）2+x（x+1）n（n为正整数）【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）仿照已知的计算过程，即可解答；（3）仿照已知的计算过程，即可解答【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2021，则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，故答案为：（1+x）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n为正整数）（1+x）1+x+x（x+1）+.+x（x+1）n1（1+x）2（1+x+x（x+1）+.+x（x+1）n2.（1+x）n+1【变式9

27、-1】（2022秋徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足qmn且pm+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3（x+1）（x+3）（2）x24x12（x6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+yA，则原式A2+2A+1（A+1）2再将“A”还原，得：原式（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x26x+8分解因式（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（xy）

28、2+4（xy）+3；分解因式：m（m+2）（m2+2m2）3【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）根据材料2的整体思想可以对（xy）2+4（xy）+3分解因式；根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m2）3分解因式【解答】解：（1）x26x+8（x2）（x4）；（2）令Axy，则原式A2+4A+3（A+1）（A+3），所以（xy）2+4（xy）+3（xy+1）（xy+3）；令Bm2+2m，则原式B（B2）3B22B3（B+1）（B3），所以原式（m2+2m+1）（m2+2m3）（m+1）2（m1）（m+3）【变式9-2】（2022春盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明

29、遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：（a+b）+c2或a+（b+c）2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果请你在下面方框中画出图形，并作适当标注（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+42xy+4x4y（xy2）2；（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：x26x+7x26x+92（x3）22（x3）20（x3）222故当x3时代数

30、式x26x+7的最小值为2x22x+3（x2+2x+1）+4（x+1）2+4（x+1）20（x+1）2+44故当x1时代数式x22x+3的最大值为4请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y22xy2x+20有最小值，并确定它的最小值【分析】（1）将前两项看作一个整体后用完全平方公式求解利用面积关系画图（2）分组后用完全平方公式分解（3）配方后求最值【解答】解：（1）（a+b+c）2（a+b）+c2（a+b）2+2（a+b）c+c2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc如图：（2）x2+y2+42xy+4x4yx22xy+y2+4（x4）+4（xy）24（xy）+4（xy2）2故

31、答案为：（xy2）2（3）2x2+y22xy2x+20x22xy+y2+x22x+1+19（xy）2+（x1）2+19，（xy）20，（x1）20，当xy0，x10，即当xy1时，原式有最小值0+0+1919【变式9-3】（2022秋丰台区校级期中）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程解：设x2+4xy原式（y+1）（y+7）+9（第

32、一步）y2+8y+16（第二步）（y+4）2（第三步）（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的CA提取公因式法B平方差公式法C完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：（x+2）4（3）请你用换元法对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解（4）当x1时，多项式（x22x）（x22x+2）1存在最小值（填“大”或“小”）请你求出这个最值【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式

33、；（4）先配方，再根据非负数的性质即可求解【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9，设x2+4xy，原式（y+1）（y+7）+9y2+8y+16（y+4）2（x2+4x+4）2（x+2）4；（3）设x22xy，原式y（y+2）+1y2+2y+1（y+1）2（x22x+1）2（x1）4；（4）（x22x）（x22x+2）1（x22x）2+2（x22x）1（x22x）2+2（x22x）+12（x22x+1）22（x1）42，故当x1时，多项式（x22x）（x22x+2）1存在最小值，最小值为2故答案为：C；（x+2）4；1，小