幂函数、指数函数与对数函数.pdf

1、1幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如 y=ax(a 0,a 1)的函数叫作指数函数，其定义域为 R，值域为(0,+)当 0 a 1 时，y=ax为增函数，它的图像恒过定点(0,1)二、分数指数幂a1n=n a,amn=n am,a-n=1an,a-mn=1n am三、对数函数及其性质对数函数 y=logax(a 0,a 1)的定义域为(0,+)，值域为 R，图像过定点(1,0)它是指数函数 y=ax(a 0,a 1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出当 0 a 1 时，y=logax 为增函数四、对数的运算性质(M 0,N 0)(1)alogMa=M(这是定

2、义)；(2)loga(MN)=logMa+logaN；(3)loga MN=logaM-logaN；(4)logaM n=nlogaM；(5)logab=logcblogca(a,b,c 0,a,c 1)(换底公式)由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)logambn=nm logab；2)logab=1logba 典型例题剖析1已知 x1是方程 x+lgx=10 的根，x2是方程 x+10 x=10 的根，求 x1+x2的值【解法 1】由题意得 lgx1=10-x110 x2=10-x2，表明 x1是函数 y=lgx 与 y=10-x 的交点的横坐标，x2是函数y=10 x与 y

3、=10-x 的交点的横坐标因为 y=lgx 与 y=10 x互为反函数，其图像关于 y=x 对称，由y=10-xy=x得，x=5y=5，所以 x1+x22=5，所以 x1+x2=10【解法 2】构造函数 f(x)=x+lgx，由 x1+lgx1=10 知 f x1=10，x2+10 x2=10 即 10 x2+lg10 x2=10，则f 10 x2=10，于是 f x1=f 10 x2，又 f(x)为(0,+)上的增函数，故 x1=10 x2，x1+x2=10 x2+x2=10【解法 3】由题意得 x1=1010-x110-x2=10 x2，两式相减有 x1+x2-10=1010-x1-10

4、x2若 x1+x2-10 0，则 1010-x1-10 x2 0，得 10-x1 x2，矛盾；若 x1+x2-10 0，则 1010-x1-10 x2 0，得 10-x1 0，b 0，log9a=log12b=log16(a+b)，求 ba 的值2【解法 1】设 log9a=log12b=log16(a+b)=k，则 a=9k，b=12k，a+b=16k由于 9k 16k=12k2故(a+b)a=b2，解得：ba=1+52(负根舍去)【解法 2】设 log9a=log12b=log16(a+b)=k，则 a=9k，b=12k，a+b=16kba=12k9k=43k，而 9k+12k=16k，故

5、 1+12k9k=16k9k，即43k2-43k-1=0，故 ba=43k=1+52(负根舍去)【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理3 已知函数 f(x)=1x+1+log 13x2-x，试解不等式 f x x-12 12【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键【解】易证函数 y=f(x)在其定义域(0,2)内是单调减函数并且 f(1)=12，所以原不等式即为f x x-12 f(1)等价于x x-12 10 x x-12 2x 12 x 1+174或 1-174 x 0

6、 x+1 0 x2+(2-k)x+1=0时原方程仅有一个实根，对方程使用求根公式，得 x1,x2=12 k-2 k2-4k=k2-4k 0 k 0 或 k 4当 k 0 时，由方程，得 x1+x2=k-2 0,所以 x1，x2同为负根又由方程程知 x1+1 0,x2+1 4 时，由方程，得 x1+x2=k-2 0,x1x2=1 0.所以 x1，x2同为正根，且 x1 x2，不合题意，舍去综上所述可得 k 0 x+1 0的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当 k 0 时，k=x+1x+2 在 x 0 范围内有唯一实数根，则有 k=4；(2)当 k 0 时，k=x+1x+2 在-1 x

7、 0 范围内有唯一实数根，则有 k 0综上可得 k log64x【分析】若考虑到去根号，可设 x=y6(y 0)，原不等式变为 log12 y3+y2 log6446=log2y，即 2log12y+log2(y+1)log2y，陷入困境原不等式即 6log12(x+3 x)log2x 2log12x+log12 1+x166 log2x，设 t=log2x，则 log12x=1logx12=12logx2+logx3，同样陷入困境下面用整体代换 y=log64x【解】设 y=log64x，则 x=64y，代人原不等式，有log12 8y+4y y，8y+4y 12y，23y+13y 1，由指

8、数函数的单调性知 y=log64x 1，则 0 x 64故原不等式的解集为(0,64)6 已知 1 a b c 证明：logab+logbc+logca logba+logcb+logac【证法 1】注意到 logab+logbc+logca-logba+logcb+logac=lnblna+lnclnb+lnalnc-lnalnb+lnblnc+lnclna=ln2blnc+ln2clna+ln2alnb-ln2blna+ln2clnb+ln2alnclnalnblnc=-(lna-lnb)(lnb-lnc)(lnc-lna)lnalnblnc【证法 2】设 logba=x，logcb=y，

9、则 logac=1xy，于是原不等式等价于 x+y+1xy 1x+1y+xy，即 x2y+xy2+1 y+x+x2y2，即 xy(x+y)-(x+y)+1-x2y2 0，也即(x+y-1-xy)(xy-1)0也即(x-1)(y-1)(xy-1)0，由 1 a b c 知 x 1,y 1，所以(x-1)(y-1)(xy-1)0，得证因为 1 0，(lna-lnb)(lnb-lnc)(lnc-lna)0所以logab+logbc+logca-logba+logcb+logac 0即logab+logbc+logca logba+logcb+logac【评注】若令 x=lna，y=lnb，z=lnc

10、 则原不等式等价于：设 0 x y z，求证：x2y+y2z+z2x xy2+yz2+zx27 设函数 f(x)=|lg(x+1)|，实数 a，b(a b)满足 f(a)=f-b+1b+2，f(10a+6b+21)=4lg2，求 a、b 的值【分析】利用已知条件构建关于 a、b 的二元方程组进行求解【解】因为 f(a)=f-b+1b+2，所以|lg(a+1)|=lg-b+1b+2+1=lg1b+2=|lg(b+2)|所以，a+1=b+2 或(a+1)(b+2)=1，又因为 a b，所以 a+1 b+2，所以(a+1)(b+2)=1又由于 0 a+1 b+1 b+2，于是 0 a+1 1 1，4

11、从而f(10a+6b+21)=lg 6(b+2)+10b+2=lg 6(b+2)+10b+2，又 f(10a+6b+21)=4lg2，所以 lg 6(b+2)+10b+2=4lg2，故 6(b+2)+10b+2=16解得 b=-13 或 b=-1(舍去)把 b=-13 代故(a+1)(b+2)=1，解得 a=-25 所以，a=-25,b=-13 同步训练一、选择题1 已知 a、b 是方程 log3x3+log27(3x)=-43 的两个根，则 a+b=()A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C【解析】原方程变形为log33log3(3x)+log3(3x)log327=-43

12、，即11+log3x+1+log3x3=-43 令 1+log3x=t，则 1t+t3=-43，解得 t1=-1,t2=-3所以 1+log3x=-1 或 1+log3x=-3，方程的两根分别为 19 和 181，所以a+b=1081 故选 C2 已知函数 f(x)=1ax-1+12x2+bx+6(a,b 为常数，a 1)，且 f lglog81000=8，则 f(lglg2)的值是()A.8B.4C.-4D.-8【答案】B【解析】由已知可得f lglog81000=f lg33lg2=f(-lglg2)=8，又1a-x-1+12=ax1-ax+12=-1+11-ax+12=-1ax-1-12

13、，令 F(x)=f(x)-6，则有 F(-x)=-F(x)从而有f(-lglg2)=F(-lglg2)+6=-F(lglg2)+6=8，即知 F(lglg2)=-2，f(lglg2)=F(lglg2)+6=43 如果 f(x)=1-logx2+logx29-logx364，则使 f(x)0 的 x 的取值范围为()A.0 x 1B.1 x 1D.x 83【答案】B【解析】显然 x 0，且 x 15f(x)=1-logx2+logx29-logx364=1-logx2+logx3-logx4=logx 38 x要使 f(x)1 时，38 x 1，即 1 x 83；当 0 x 1，此时无解由此可得

14、，使得 f(x)0 的 x 的取值范围为 1 x 83 应选 B4 若 f(x)=lg x2-2ax+a的值域为 R，则 a 的取值范围是()A.0 a 1B.0 a 1C.a 1D.a 0 或 a 1【答案】D【解析】由题目条件可知，(0,+)y|y=x2-2ax+a，故 =(-2a)2-4a 0，解得 a 0 或 a 1选 D二、填空题5 设 f(x)=log3x-4-x，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是【答案】3,4【解析】定义域(0,4在定义域内 f(x)单调递增，且 f(3)=0故 f(x)0 的 x 的取值范围为 3,46 设 0 a 1，0 4，x=(sin)logasi

15、n，y=(cos)logatan，则 x 与 y 的大小关系为【答案】x y【解析】根据条件知，0 sin cos 1，0 sin tan 1，因为 0 a logatan 0，于是x=(sin)logasin(sin)logatan(cos)logatan=y.7 设 f(x)=12x+5+lg 1-x1+x，则不等式 f x x-12 15 的解集为【答案】1-174,012,1+174【解析】原不等式即为 f x x-12 f(0)因为 f(x)的定义域为(-1,1)，且 f(x)为减函数所以-1 x x-12 0.解得 x 1-174,012,1+1748 设 f(x)=11+2lgx

16、+11+4lgx+11+8lgx，则 f(x)+f1x=【答案】3【解析】f(x)+f1x=11+2lgx+11+4lgx+11+8lgx+11+2-lgx+11+4-lgx+11+8-lgx=3三、解答题9 已知函数 f(x)=ax+3a(a 0,a 1)的反函数是 y=f-1(x)，而且函数 y=g(x)的图像与函数 y=f-1(x)的图像关于点(a,0)对称(1)求函数 y=g(x)的解析式；(2)若函数 F(x)=f-1(x)-g(-x)在 x a+2,a+3 上有意义，求 a 的取值范围【解析】(1)由 f(x)=ax+3a(a 0,a 1)，得 f-1(x)=loga(x-3a)又

17、函数 y=g(x)的图像与函数 y=f-16(x)的图像关于点(a,0)对称，则 g(a+x)=-f-1(a-x)，于是，g(x)=-f-1(2a-x)=-loga(-x-a)，(x 0,x-a 0.又 a 0，故 x 3a由题设 F(x)在 x a+2,a+3 上有意义，所以 a+2 3a，即 a 1于是，0 a 0 且 a 1若在区间 a+3,a+4 上 f(x)1 恒成立，求 a 的取值范围【解析】f(x)=loga x2-5ax+6a2=logax-5a22-a24由 x-2a 0 x-3a 0,得 x 3a，由题意知 a+3 3a，故 a 0，故函数g(x)=x-5a22-a24 在

18、区间 a+3,a+4 上单调递增若 0 a 1，则 f(x)在区间 a+3,a+4 上单调递减，所以 f(x)在区间 a+3，a+4 上的最大值为 f(a+3)=loga 2a2-9a+9在区间 a+3,a+4 上不等式 f(x)1 恒成立，等价于不等式 logloga 2a2-9a+9 1 恒成立，从而 2a2-9a+9 a，解得 a 5+72或 a 5-72结合 0 a 1，得 0 a 1若 1 a 32，所以不符合综上所述，a 的取值范围为(0,1)11 解方程组 xx+y=y12yx+y=x3，(其中 x,y R*【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x+y)lgx=12lgy(x+y

19、)lgy=3lgx 把式代入式，得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0由 lgx=0，得 x=1；代入式，得 y=1由(x+y)2-36=0 x,y R*得 x+y=6代入式得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0又 y 0，所以 y=2,x=4所以方程组的解为x1=1y1=1，x2=4y2=212 已知 f(x)=lg(x+1)-12 log3x(1)解方程 f(x)=0；(2)求集合 M=n f n2-214n-1998 0,n Z的子集个数【解析】(1)任取 0 x1 x1x2，所以 lg x1+1x2+1 lg x1x2故f x1-f x2

20、=lg x1+1x2+1-log9x1x2 lg x1x2-lg x1x2lg9，因为 0 lg9 1，lg x1x2 lg x1x2-lg x1x2=0，f(x)为(0,+)上的减函数，注意到 f(9)=0，当 x 9 时，f(x)f(9)=0；当 x f(9)=0，所以 f(x)=0 有且仅有一个根 x=9(2)由 f n2-214n-1998 0 f n2-214n-1998 f(9)所以 n2-214n-1998 9n2-214n-1998 0 n2-214n-2007 0n2-214n-1998 0(n-223)(n+9)0(n-107)2 1998+1072=13447 1152-

21、9 n 223n 222 或 n 0，a 1，试求使得方程 log a(x-ak)=loga x2-a2有解的 k 的取值范围【解析】由对数性质知，原方程的解 x 应满足(x-ak)2=x2-a2x-ak 0 x2-a2 0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x-ak)2=x2-a2x-ak 0.由式(1)可得2kx=a 1+k2(4)当 k=0 时，式(4)无解；当 k 0 时，式(4)的解是 x=a 1+k22k，代人式(2)，得 1+k22k k若 k 1，所以 k 0，则 k2 1，所以 0 k 1综上所述，当 k (-,-1)(0,1)时，原

22、方程有解14 已知 0.301029 lg2 0.301030，0.477120 lg3 0.477121，求 20001979的首位数字【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)所以 6532.736391 lg20001979 6532.73837故 20001979为 6533 位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970 lg5 0.6989710.778149 lg6 0.778151 lg5 0.736391 0.73837 1猜想 a b下面用反证法证明：若 a b，则 13a 13b,5a 5b，所以817a=3a+13

23、b 3a+13a,11b=5a+7b 5b+7b，即317a+1317a 1,511b+711b 1，而函数 f(x)=317x+1317x和 g(x)=511x+711x在 R 上均为减函数，且f(1)=317+1317=1617 1 g(b)所以 a 1这与 a b 矛盾，故 a b16 解不等式 log2 x12+3x10+5x8+3x6+1 1+log2 x4+1【解析】原不等式等价于log2 x12+3x10+5x8+3x6+1 log2 2x4+2由于 y=log2x 为单调递增函数，于是x12+3x10+5x8+3x6+1 x6+3x4+3x2+1+2x4+2=x2+13+2 x2+1构造函数 g(t)=t3+2t，则上述不等式转化为g1x2 g x2+1.显然 g(t)=t3+2t 在 R 上为增函数于是以上不等式等价于1x2 x2+1，即 x22+x2-1 0，解得 x25-12故原不等式的解集为-5-12,5-12