广东珠海一中2024年高二下学期期中考试数学模拟卷.pdf

1、第 1 页 共 8 页 第 2 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年高二数学下学期期中考试模拟卷 01（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出

2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在等差数列an中，若 a2+2a6+a10120，则 a3+a9等于（）A30 B40 C60 D80 26 名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（）A36 种 B72 种 C144 种 D720 种 3已知 na是等比数列，nS 是其前 n 项和.若31423,5aaSS=，则2a 的值为（）A2 B4 C 2 D 4 4若曲线2ln1yxx=+在点(1,2)处的切线与直线10 xay+=垂直，则实数 a 的值为（）A4 B3 C4 D3 5()621231xx的展开式中，含2x 项的系数为（）A430 B435 C245 D2

3、40 6临近高考，同学们写祝福卡片许美好愿望.某寝室的 5 位同学每人写一张祝福卡片放在一起，打乱后每人从中随机抽取一张卡片，已知有同学拿到自己写的祝福卡，则至少有 3 位同学摸到自己写的祝福卡片的概率为（）A 11120 B1691 C 1176 D 543 7已知定义在()0,+上的函数()f x 满足()()0 xfxf x，则实数 m 的取值范围为 A()0,2020 B()2020,+C()2022,+D()2020,2022 8已知函数()()2exf xx m=，曲线()yf x=上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线 yx=平行，则实数 m 的取值范围是（）A()2

4、1 e,1 B()21 e,1 C()2e,0 D()21,1e+二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9已知无穷等差数列 na的前 n 项和为nS，67SS，则（）A在数列 na中，1a 最大 B在数列 na中，3a 或4a 最大 C310SS=D当8n 时，0na，给出下列四个结论正确结论的是（）第 3 页 共 8 页 第 4 页 共 8 页 A方程()0fg x=有且仅有三个解 B方程()0gf x=有且仅有三个解 C方程()0ff x=有且仅有九个解 D方程()

5、0g g x=有且仅有一个解 12在某次数学测试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分.”已知某道多项选择题的正确答案是 ABC，且某同学不会做该题（该同学至少选一项且可能全选），下列结论正确的是（）A该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是 14；B该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是 411；C该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是 14；D该同学随机选择选项，能得分的概率是 415.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知数列an的前 n 项和为 Sn=n2+n+1，则 an=.1

6、4“双十一”是指每年的 11 月 11 日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满 5888 元的顾客会随机获得 A，B，C 三种赠品中的一件，现恰有 3 名顾客的购物金额满 5888 元.设随机变量 X 表示获得赠品完全相同的顾客人数，则()0P X=，()E X=.15已知函数()lnf xaxx=，且0(12)(1)lim3xfxfxx+=，则函数()f x 在()()1,1f处的切线方程是 .16在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2.四、解答题：本题共 6 小题，共

7、70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在等差数列 na中，11a=且1a，2a，5a 构成公比不为 1 的等比数列（）求等差数列 na的公差d；（）设11nnnba a+=，求数列 nb的前 n 项和nS 18设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的 40%，35%，25%，并且各车间的次品率依次为 5%，4%，2%现从该厂这批产品中任取一件(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？第 5 页 共 8 页 第 6 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司19已知函数()2ln3f xaxxb=+（a

8、、b 为实数）的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+(1)求实数 a、b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值 20已知数列 na满足11a=，112nnnnaaa a=（2n 且 nN）（1）求证：数列1na是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足2nnnba=，求数列 nb的前 n 项和nS 第 7 页 共 8 页 第 8 页 共 8 页 21珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有 20 盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的

9、都为优质产品并且每箱含有 0，1，2 盒非优质产品粉笔的概率为 0.7，0.2 和 0.1为了购买该品牌的粉笔，校总务老师设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的 4 盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买设“买下所查看的一箱粉笔”为事件 A，“箱中有 i 件非优质产品”为事件iB（i0，1，2）(1)求()0P A B，()1P A B，()2P A B；(2)随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设 X 为非优质产品的盒数，求 X 的分布列 22已知函数,.(1)求函数()()()G xf xg x=的极值；(2)若恒成立,求实数的值；(3)设有两个极值点、(),求实数的取值

10、范围,并证明.答案第 1 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司参考答案：1C【分析】根据等差数列下标的性质进行求解即可.【详解】由等差数列的性质可得 a2+2a6+a104a6120，a630 a3+a92a660 故选：C 2C【分析】利用捆绑法可求不同的排法.【详解】甲、乙、丙三人在一起，有33A6=种不同的排法，把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的 3 个人混排，共有44A24=种不同的排法，故共有624144=种，故选：C.3C【分析】根据等比数列的通项公式和前n 项和列出等式即可求解.【详解】由313aa=可得：等比数列 na的公比1q .425SS=，化简得()()42111

11、1511aqaqqq=，整理得215q+=，2q=又231113aaa qa=，答案第 2 页，共 13 页 11a=，212aa q=.故选：C.4D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为2ln1yxx=+，所以12yxx=+，当1x=时，3y ，所以曲线2ln1yxx=+在点(1,2)处的切线的斜率等于 3，所以直线10 xay+=的斜率等于13，即113a=，解得3a=，故选:D.5B【分析】()()66221123141291xxxxx=+，求出611x展开式的通项，再令 x 的指数分别为 4,3,2，进而可得出答案.【详解】()()66221123141291

12、xxxxx=+，611x展开式的通项为()1661C1C,0,1,2,3,4,5,6kkkkkkTxkx+=，令4k=，则4k=，令3k=，则3k=，令2k=，则2k=，所以2x 项的系数为()()()()43243266641C121 C91C435+=.答案第 3 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司故选：B.6C【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率作答.【详解】恰有 1 位同学拿到自己写的祝福卡有111533C C C5 3 345=种，恰有 2 位同学拿到自己写的祝福卡有2152C C10 220=种，恰有 3 位同学拿到自己写的祝福卡有35C10=种，恰有 4

13、 位（5 位）同学拿到自己写的祝福卡有 1 种，因此有同学拿到自己写的祝福卡的事件含有的基本事件数为4520 10 176+=个，至少有 3 位同学摸到自己写的祝福卡的事件有10 111+=个基本事件，所以至少有 3 位同学摸到自己写的祝福卡片的概率1176P=.故选：C.7D【分析】引入新函数()()f xg xx=，求导后确定()g x 的单调性，由单调性解不等式【详解】设()()f xg xx=，则2()()()xfxf xg xx=，()()0 xfxf x，()0g x可化为(2020)(2)20202f mfm，即(2020)(2)g mg，020202m，20202022m 时，

14、()0gx；1x 时，()0gx，所以()g x 在(),1上单调递减，在()1,+上单调递增，()()21eg xg=，当(),0 xg x+，由题意，()211 2exmx=有两个不同的解，即1ym=与()21 2exyx=的图像有两个不同的交点，2e10m，解得21 e1m,进而得到0d,答案第 5 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司结合等差数列的性质可知，0d 可得0abc ，对于 A，()0fg x=，结合()yf x=图象可得()g xb=，()0g x=或()g xb=，结合()yg x=的图象可得，()g xb=，()0g x=，()g xb=各有一个解，即方程()0

15、fg x=答案第 6 页，共 13 页 有且仅有三个解，A 正确；对于 B，()0gf x=，结合()yg x=图象可得()f xb=，结合()yf x=的图象可得，()f xb=有一个解，即方程()0gf x=有且仅有一个解，B 错误；对于 C，()0ff x=，结合()yf x=图象可得()f xb=，()0f x=或()f xb=，又()0f x=有 3 个解，()f xb=，()f xb=各有一个解，即方程()0ff x=有且仅有五个解，C 错误；对于 D，()0g g x=，结合()yg x=图象可得()g xb=，又()g xb=有一个解，即方程()0g g x=有且仅有一个解，D

16、 正确.故选：AD.12BC【分析】列出所有情况，根据选项结合古典概型公式即可得到答案.【详解】该同学随机选一个选项，共有 4 个基本事件，分别为 A，B，C，D.随机选两个选项，共有 6 个基本事件，分别为 AB，AC，AD，BC，BD，CD.随机选三个选项，共有 4 个基本事件，分别为 ABC，ABD，ACD，BCD.随机选四个选项，共有 1 个基本事件，即 ABCD.对 A，仅随机选一个选项，能得分的概率是 34，故 A 错误.对 B，随机至少选择二个选项，能得分的情况有,AB AC BC ABC，共 4 种，能得分的概率是4464 111=+，故 B 正确.对 C，仅随机选三个选项，能

17、得分的情况只有 ABC，则概率是 14，故 C 正确.对 D，随机选择选项，能得分的概率是33 17464 115+=+，故 D 错误.答案第 7 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司故选：BC.133,12,2nn n=【分析】当 n=1 时，a1=S1=3;当 n2 时，an=Sn-Sn-1，从而求解【详解】解:当 n=1 时，a1=S1=3;当 n2 时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2+(n-1)+1=2n.此时，当 n=1 时，2n=23.所以 an=3,12,2nn n=故答案为：3,12,2nn n=【点睛】本题考查数列nS 与na 的关系，要注意1nnn

18、aSS=成立的条件2n.14 2953 【解析】根据题意得 X 可以取得 0，2，3 分别求得各情况下的概率，即可求数学期望.【详解】()3362027279AP X=()313279P X=()12221993P X=()22150239393E X=+=故答案为：29；53.15=+1y x【分析】根据极限的性质及导数的定义可求得()1f，从而可求得a，再根据导数的几何意 答案第 8 页，共 13 页 义即可得解.【详解】解：由00(1+2)(1)(1+2)(1-)lim=3 lim=33xxfxfxfxfxxx，得()1=1f，而()1fxax=，所以()()2,2ln,12af xxx

19、 f=，所以切线方程为21yx=，即=+1y x.故答案为：=+1y x.1635 【分析】假设第()Nn n中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2，根据题意可得出关于n 的等式，进而可解得正整数 n 的值.【详解】假设第()Nn n中从左至右第12个数与第13个数的比为1:2，第 n 行从左到右第12个数为11nC，第13个数为12nC，则111212nnCC=，即()()()()!11!11!12!12!121!11!11!21112!12!nnnnnnn=，解得35n=.故答案为：35.17（1）2d=或0d=(舍).（2）21nnSn=+.【分析】（）设等差数列an的公差为 d，

20、由等差数列的通项公式求出 an，由等比中项的性质列出方程，求出 d 的值；（）由（）求出 an，代入 bn=11nna a+化简，由裂项相消法求出数列bn的前 n 项和【详解】:（）()11nad n=+，且2215aa a=，答案第 9 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司()()21114dd=+十，解得2d=或0d=(舍).（）()12121nann=+=，()()11111121212 2121nnnba annnn+=+.111111111111233557212122121nnSnnnn=+=+.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消

21、中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nnca a+(其中 na是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如()()113nn+或()12n n+.18(1)0.039(2)2039，1439，539 【分析】（1）考虑到次品可能来源于三个车间，根据全概率公式即可求得答案；（2）根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】（1）设事件 A 表示取到的产品来自甲车间，事件 B 表示取到的产品来自乙车间，事件 C 表示取到的产品来自丙车间，事件 D 表示取到的产品是次品，则()0.40,()0.35,()0.2

22、5P AP BP C=,(|)0.05,(|)0.04,(|)0.02P D AP D BP D C=,故取到次品的概率为()0.4 0.050.35 0.040.25 0.020.039P D=+=.（2）若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：()(|)0.0220()0.03939P A P D AP D=;此次品由乙车间生产的概率为：()(|)0.01414()0.03939P B P D BP D=;答案第 10 页，共 13 页 此次品由丙车间生产的概率为：()(|)0.0055()0.03939P C P D CP D=;19(1)1223ab=(2)减区间为10,e，增

23、区间为 1,e+，极小值为112eef =+，无极大值.【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于a、b 的方程组，即可得出实数a、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 的单调性，结合极值的定义可得结果.【详解】（1）解：因为()2ln3f xaxxb=+，该函数的定义域为()0,+，()()21 lnfxax+=，因为函数()2ln3f xaxxb=+（a、b 为实数）的图象在点()()1,1f处的切线方程为1yx=+，则()()121132fafb=，解得1223ab=.（2）解：由（1）可得()ln2f xxx=+，该函数的定义域为()0,+，()1 lnfxx=+，由()0fx=

24、可得1ex=，列表如下：x10,e1e1,ef0+f 减 极小值 增 答案第 11 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司所以，函数()f x 的减区间为10,e，增区间为 1,e+，极小值为112eef =+，无极大值.20（1）证明过程详见解析，121nan=；（2）1(23)26nnSn+=+【分析】（1）对题目所给等式两边除以1nna a ，化简得1112nnaa=，由此证得1na是等差数列，并求得其通项公式，进而求得 na的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得 nb的前 n 项和nS.【详解】（1）由112nnnnaaa a=两边除以1nna a ，化简得1112nnaa=，

25、则数列1na为等差数列.其首项为111a ，公差为2，故121nna=，所以121nan=.（2）由于(21)2nnbn=，所以231 23 25 2(21)2nnSn=+，234121 23 25 2(21)2nnSn+=+，两式相减得 2311 22(222)(21)2nnnSn+=+，化简得1(23)26nnSn+=+.【点睛】本小题主要考查已知递推关系求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.21(1)()01P A B=，()145P A B=，()21219P A B=(2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可由组合数计算求解，（2）根据全概率公式求解概

26、率，即可求解.答案第 12 页，共 13 页【详解】（1）由已知()01P A B=，()4191420C4C5P A B=，()4182420C12C19P A B=（2）X 可能的取值为 0，1，2，所以()441918442020CC8770.1CC00.70.2950P X=+，()31319218442020CC C700.10.1CC2950P X=+，()22218420C C23C0.9501P X=，所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 P 8795709539522（1）；（2）；(3)见解析【详解】试题分析：（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出极值；（2）构造函数，又，则只需()(1)h xh恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，22222()lnF xxxmx=+，由根与系数可知2222mxx=+及范围为21142x，即恒成立 （3）由，得 有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：，解得 108m 由2()0F x=，得2222mxx=+，其中1211042xx.所以22222222()(2)lnF xxxxxx=+设，得，所以，即 考点：（1)利用导求函数的极值、最值；（2）一元二方程根的分布；（3）构造函数解决与不等式有关问题