江苏省南京市中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司2022-2023 学年南京市雨花台中学高一下 6 月月考一选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）1设i 是虚数单位，则复数1ii+在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知向量,a b不共线，3cab=+，(2)dmamb=+，若/cd，则(m=)A 12 B 9 C 6 D 3 3在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的是()A若2220bca+，则 ABC为锐角三角形 B若 ABC为锐角三角形，有2AB+，则 sincosAB C若8a=，10c=，60B=，则符合条件的 AB

2、C有两个 D若coscosaAbB=，则 ABC为等腰三角形 4设，是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，下列说法正确的是()A若 mn，m，/n，则/B若，m，mn，则/n C若/m，n，/mn，则 D若 m，n，则/mn 5已知 cos(40)cos(40)cos(80)0+=，则 tan(=)A3 B33 C33 D3 6设13cos6sin622a=，22tan13113btan=+，1cos502c=，则有()A abc B abc Cbca D acb+D ab在b上的投影向量为12 b 12如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，沿

3、AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使得 B、C、D 三点重合于点 S，得到四面体 SAEF（如图 2)下列结论正确的是()A平面 AEF 平面 SAF B四面体 SAEF的体积的为 13 C二面角 AEFS正切值为2 D顶点 S 在底面 AEF 上的射影为 AEF的垂心 三填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13如图，在四面体 ABCD 中，2 2BD=，2AC=，M，N 分别为 BC，AD 的中点，1MN=，则异面直线 AC 与 BD 所成的角是 14甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 35，乙获胜的概率为 25，各局比赛

4、相互独立，则恰好进行了 4 局甲获胜的概率为 15某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12nmile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile 的速度，沿北偏东(45)+方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角 的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 16骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为3，ABE，BEC，ECD均是边长为 4 的等边三角形设点 P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC A

5、P 的最大值为 四解答题（共 6 小题，共 70 分）17（10 分）已知复数1zai=+，21zai=，其中i 是虚数单位，aR（1）若12zz为纯虚数，求 a 的值；（2）若211220zz+=，求12zz 的虚部 18（12 分）如图，M，N 分别是 ABC的边 BC，AB 上的点，且14BMBC=，12ANAB=，AM 交 CN于 P （1）若 AMxAByAC=+，求 xy的值；（2）若4AB=，3AC=，60BAC=，求 AP BC 的值 19（12 分）已知函数21()3sin coscos()2f xxxxxR=+学科网（北京）股份有限公司（1）求函数()f x 的最小正周期；

6、（2）求函数()f x 在区间3，4 上的最大值和最小值 20（12 分）某校有高中生 3600 人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为 n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图 方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为 25 的样本，计算得到男生样本的均值为 172，方差为 16，女生样本的均值为 160，方差为 20 身高（单位：)cm 145，155)155，165)165，175)175，185)185，195 频数 4 20 q 6 4（1）根据图表信息，求

7、 n，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）21（12 分）如图所示，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，2PAAB=，2AD=，点 E 是 PB 的中点（1）证明：AEPC；（2）求点 D 到CE 的距离；（3）求二面角CAED的大小 学科网（北京）股份有限公司 22（12 分）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos1sintanAAB=+（

8、1）若 AB=，求C；（2）求sinsin2 cosaBbAbB+的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 2022-2023 学年南京市雨花台中学高一下 6 月月考卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 8 小题）1设i 是虚数单位，则复数1ii+在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：由(1)111(1)(1)22iiiiiii=+，可得复数1ii+在复平面内所对应的点的坐标为 1 1(,)2 2，位于第一象限 故选：A 2已知向量,a b不共线，3cab=+，(2)dmamb=+，若/cd，则(m=)A 12 B 9 C 6 D 3 【解答】解：

9、向量,a b不共线，3cab=+，(2)dmamb=+，/cd，3(2)abmamb+=+，31(2)mm=+，解得1=，3m=故选：D 3在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的是()A若2220bca+，则 ABC为锐角三角形 B若 ABC为锐角三角形，有2AB+，则 sincosAB C若8a=，10c=，60B=，则符合条件的 ABC有两个 D若coscosaAbB=，则 ABC为等腰三角形【解答】解：选项 A：由余弦定理可得222cos02bcaAbc+=，则 A 为锐角，但是 B，C 的大小不清楚，故 A 错误；选项 B：因为2AB+，则2AB，且(

10、0,)2A，(0,)22B，所以sinsin()2AB，即sincosAB，故 B 正确，学科网（北京）股份有限公司选项C：由余弦定理可得22212cos641002 8 10842bacacB=+=+=，因为0b，所以2 21b=，故符号条件的三角形 ABC 只有一个，故C 错误，选项 D：由正弦定理可得sincossincosAABB=，即 sin 2sin 2AB=，所以 22AB=或 22AB+=，则 AB=或2AB+=，所以三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形，故 D 错误，故选：B 4设，是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，下列说法正确的是()A若 mn，m，/n，则/B若

11、，m，mn，则/n C若/m，n，/mn，则 D若 m，n，则/mn 【解答】解：，是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，对于 A，若 mn，m，/n，则 与 相交或平行，故 A 错误；对于 B，若，m，mn，则 n 与 相交、平行或 n，故 B 错误；对于C，若/m，n，/mn，则由面面垂直的判定定理得，故C 正确；对于 D，若 m，n，则由线面垂直、面面垂直的性质得 mn，故 D 错误 故选：C 5已知 cos(40)cos(40)cos(80)0+=，则 tan(=)A3 B33 C33 D3 【解答】解：因为 cos(40)cos(40)cos(80)0+=，所以 cos40 cos

12、sin 40 sincos40 cossin 40 sincos80 cossin80 sin0+=，所以 2cos40 coscos80 cossin80 sin0+=，所以 2cos40cos80sin80 tan0+=，所以2cos40cos80tansin80+=2cos(12080)cos80sin80 +=2(cos120 cos80sin120 sin80)cos803sin803sin80sin80+=故选：A 6设13cos6sin622a=，22tan13113btan=+，1cos502c=，则有()A abc B abc Cbca D acb 学科网（北京）股份有限公司

13、【解答】解：13cos6sin6sin30 cos6cos30 sin6sin 2422a=，22tan13sin 26113btan=+，1cos50sin 252c=024252690 ，即有：acb，故 D 错误，故选：AB 11向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量 a，b满足|2ab=，|2 3ab+=，则()A2a b=B a 与b的夹角为3 C|abab+D ab在b上的投影向量为12 b【解答】解：|2ab=，|2 3ab+=，所以22212|2424abaa bba b=+=+=+，解得2a b=，A 错误；设

14、 a，b的夹角为，则21cos222|a ba b=，由于0，学科网（北京）股份有限公司 a 与b的夹角为3，故 B 正确；222|()24242|2 3ababaa bba bab=+=+=+=，故错误；ab在 b上的投影向量为2()122|babba bbbbbbbbb=，故 D 正确 故选：BD 12如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使得 B、C、D 三点重合于点 S，得到四面体 SAEF（如图 2)下列结论正确的是()A平面 AEF 平面 SAF B四面体 SAEF的体积的为 13

15、C二面角 AEFS正切值为2 D顶点 S 在底面 AEF 上的射影为 AEF的垂心【解答】解：如图，作 EF 的中点 M，连结 AM、SM，过 S 作 AM 的垂线交 AM 于点O，连结 SO，过O作 AF 的垂线交 AF 于点 N，连结 SN，由题知5AEAF=，所以 AMEF，1SESF=，所以 SMEF，SMA为平面 SEF 与平面 AEF 的二面角的平面角，学科网（北京）股份有限公司又 SMAMM=，EF 平面 ASM，SO 平面 ASM，EFSO，作法知 SOAM，AMEFM=，SO 平面 AEF，所以 SO 为锥体的高所以O 为 S 在平面 AEF 上的射影，AF 平面 AEF，所

16、以 SOAF，由作法知ONAF，SONOO=，AF 平面 SON，SN 平面 SON，SNAF，SNO为平面 SAF 与平面 AEF 的二面角的平面角，显然SNO为锐角，故 A 错；由题知ASSEASSFASSESFS=平面 SEF，SM 平面 SEF，ASSM，又122,122ASEMEFSE=，2223 2,22SMAMAEEM=，222233 22ASSMSOAM=，四面体 SAEF的体积为1132133233ABFVSSO=，故 B 正确；在直角三角形 ASM 中：2tan2 222ASSMASM=，故C 不正确；因为2224 2,63OMSMSOAOAMOM=，2253OEOMEM=

17、+=，所以2224cos25OEOFEFEOFOE OF+=，22210cos210OEOAAEEOAOE OA+=，()|cos|cosOE AFOEOFOAOE OFEOFOE OAEOA=55454 210()()3353310=44099=+=，学科网（北京）股份有限公司OEAF，由对称性知OFAE，又 AMEF，故 D 正确 故选：BD 三填空题（共 4 小题）13如图，在四面体 ABCD 中，2 2BD=，2AC=，M，N 分别为 BC，AD 的中点，1MN=，则异面直线 AC 与 BD 所成的角是 45 【解答】解：取CD 的中点 E，连接 ME，NE，因为 M 为 BC 的中点

18、，N 为 AD 的中点，所以/NEAC 且12NEAC=，/MEBD 且12MEBD=，所以NEM即为异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角，又2 2,2,1BDACMN=，所以1,2NEME=，所以222MEMNNE=+，所以90MNE=，所以 MNE为等腰直角三角形，所以45NEM=；故答案为：45 14甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 35，乙获胜的概率为 25，各局比赛相互独立，则恰好进行了 4 局甲获胜的概率为 54625 【解答】解：恰好进行了 4 局甲获胜的事件为：甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时3233545555625P=

19、故答案为：54625 15某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距12nmile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile 的速度，沿北偏东 学科网（北京）股份有限公司(45)+方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角 的余弦值为 1114 【解答】解：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则14ACx=，10BCx=，120ABC=，根据余弦定理得222(14)12(10)240 cosxxx=+120，解得2x=故28AC=，20BC=根据正弦定理 sinsi

20、n120BCAC=，解得5 3sin14=，即红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，为锐角，角 的余弦值为 1114 故答案为：1114 16骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为3，ABE，BEC，ECD均是边长为 4 的等边三角形设点 P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC AP 的最大值为 60 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：方法一：以点 D 为坐标原点，DA 为 x 轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(8,0)A，(2,2 3)C，点 P 在以 D 为圆心，3 为半径的圆上，可设(3c

21、os,3sin)P，(6,2 3)AC=，(3cos8,3sin)AP=+，6 3cos6sin4812sin()483AC AP=+=+，则当sin()13+=时，AC AP 取得最大值124860+=方法二：()AC APACADDPAC ADAC DP=+=+22|cos,(4 3)4 33cos,ACACDPAC DPAC DP=+=+4812cos,AC DP=+，则当 AC与 DP同向，即 cos,1AC DP=时，AC AP 取得最大值为124860+=四解答题（共 6 小题）17已知复数1zai=+，21zai=，其中i 是虚数单位，aR（1）若12zz为纯虚数，求 a 的值；

22、（2）若211220zz+=，求12zz 的虚部【解答】解：（1）由复数1zai=+，21zai=，学科网（北京）股份有限公司则22212()(1)2(1)zzaiaiaa iiaiaa i=+=+=+12zz为纯虚数，20a=且210a则0a=；（2）由211220zz+=，得2()2()20aiai+=，221(22)0aaai+=，解得2(1)0220aa+=+=，即1a=，此时11zi=+，21zi=+，复数121(1)(1)21(1)(1)2ziiiiiziii+=+，复数12zz 的虚部为 1 18如图，M，N 分别是 ABC的边 BC，AB 上的点，且14BMBC=，12ANAB

23、=，AM 交 CN 于 P （1）若 AMxAByAC=+，求 xy的值；（2）若4AB=，3AC=，60BAC=，求 AP BC 的值 【解答】解：（1）因为1131()4444AMABBMABBCABACABABAC=+=+=+=+；34x=，1142yxy=；（2）过点 N 作/NDBC 交 AP 于 D；则 ADDM=；11112236DNBMMCMC=；16DPPM=；47APAM=；学科网（北京）股份有限公司22443111()()(3)()(23)774477AP BCAM BCABACACABABACACABACAB ACAB=+=+=+；4AB=，3AC=，60BAC=，22

24、127(3234cos6034)77AP BC=+=19已知函数21()3sin coscos()2f xxxxxR=+（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间3，4 上的最大值和最小值【解答】解：（1）因为31()sin 2cos2sin(2)226f xxxx=，故()f x 的最小正周期为；（2）当3x，4，5266x，3，sin(2)16xx ，32，故函数()f x 在区间3，4 上的最大值为32，最小值为 1 20某校有高中生 3600 人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样

25、方法，抽取了样本容量为 n 的样本，得到频数分布表和频率分布直方图 方案二：按照性别分类进行简单随机抽样，抽取了男、女生样本容量均为 25 的样本，计算得到男生样本的均值为 172，方差为 16，女生样本的均值为 160，方差为 20 身高（单位：)cm 145，155)155，165)165，175)175，185)185，195 频数 4 20 q 6 4（1）根据图表信息，求 n，q 的值并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）学科网（北京）股份有限公司（2）计算方案二总样本的均值及方差；（3）你觉得是用方案一还是方案二总样本

26、的均值作为总体均值的估计比较合适？（说明理由）【解答】解：（1）因为身高在区间155，165)的频率为 0.040 100.4=，频数 20，所以20500.4n=，504206416q=，所以身高在区间165，175)的频率为 160.3250=，在区间175，185)的频率为 60.1250=，由此可补充完整频率分布直方图：由频率分布直方图可知，样本的身高均值为：1500.008 101600.04 101700.032 101800.012 101900.008 10+126454.421.615.2167.2=+=；估计该校高中生的身高均值为167.2cm；（2）男生样本记为1x，2x

27、，25x，其均值记为 x，方差记为2xs；女生样本记为1y，2y，25y，其均值记为 y，方差记为2ys，学科网（北京）股份有限公司则总样本均值252525 17225 1601662525252550zxy+=+=+，又因为252511()250iiiixxxx=，所以2525112()()2()()0iiiixxxzxzxx=，同理可得2512()()0jjyyyz=，所以总样本方差2525222111()()50ijijsxzyz=+252522111()()50ijijxxxzyyyz=+22221 25()25()50 xysxzsyz=+221 2516(172166)2520(1

28、60166)50=+54=；（3）用方案一比较合适，因为方案一是按比例抽取样本，所以样本的代表性比较强，能够更好地反映总体的情况 21如图所示，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD，2PAAB=，2AD=，点E 是 PB 的中点（1）证明：AEPC；（2）求点 D 到CE 的距离；（3）求二面角CAED的大小 【解答】（1）证明：因为 PA 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PABC，因为底面 ABCD 为矩形，所以 ABBC，学科网（北京）股份有限公司又 PAABA=，PA，AB 平面 PAB，所以 BC 平面 PAB，因为 AE 平面 PAB，所以

29、BCAE，因为2PAAB=，点 E 是 PB 的中点，所以 AEPB，又 BCPBB=，BC，PB 平面 PBC，所以 AE 平面 PBC，因为 PC 平面 PBC，所以 AEPC（2）解：在 Rt PAB中，2PAAB=，所以122AEBEPB=，由（1）知，BC 平面 PAB，所以 BCPB，所以22222CEBCBE=+=+=，同理可得22222DEADAE=+=+=，所以22221111()()22(2)32222CDESCDCECD=，设点 D 到 CE 的距离为 h，则11 2322CDESCE hh=，所以3h=，故点 D 到 CE 的距离为3 （3）解：由（1）知，BC 平面

30、PAB，因为/ADBC，所以 AD 平面 PAB，因为 AD 平面 ADE，所以平面 ADE 平面 PAB，所以二面角CAEB与二面角CAED是互余的，问题可转化为求二面角CAEB的大小，由（2）知，2AE=，2CE=，因为226ACABBC=+=，所以222ACAECE=+，即CEAE，又 BEAE，所以BEC即为二面角CAEB的大小，因为2BEBC=，2CE=，所以4BEC=，即二面角CAEB的大小为4，故二面角CAED的大小为4 22记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos1sintanAAB=+（1）若 AB=，求C；学科网（北京）股份有限公司（2）求sin

31、sin2 cosaBbAbB+的取值范围【解答】解：（1）由 AB=，cos1sintanAAB=+，可得 cos1sintanAAA=+，则2cos(1sin)sinAAA=+，整理得22sinsin10AA+=，解之得1sin2A=或sin1A=，又 02A，则由 cos1sintanAAB=+，可得 cos0tanAB，则 A、B 均为锐角222cossin1tancos222tantan()1sin42(sincos)1tan222AAAAABAAAA=+，又 0,02424AB，则42AB=，04B，则22AB=，则sinsin(2)cos22ABB=，则2sinsin2 sin2 cos22cos112cos2 cos2 cos2 coscoscosaBbAbAbBBBbBbBbBBB+=，令cos(0)4tBB=，则212t ，又1()2f ttt=在2(,1)2单调递增，2()02f=，f（1）1=，可得1021tt，则12coscosBB的取值范围为(0,1)，则sinsin2 cosaBbAbB+的取值范围为(0,1)学科网（北京）股份有限公司