河南省郑州外国语学校2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（PDF版附答案）.pdf

1、第1页（共4页）郑州外国语学校 20232024 学年高二上期月考 1 试卷 数 学(120 分钟 150 分)一、选择题(每题 5 分,1-10 题为单选;11、12 为多选,少选得 2 分,多选、错选得 0 分,共 60 分)1已知,a b c 是空间的一个基底，则下列说法错误的是()A若0 xaybzc+=，则0 xyz=B,a b c 两两共面，但,a b c 不共面C一定存在 x，y，使得 axbyc=+D,2ab bc ca+一定能构成空间的一个基底2已知直线 1:210lxay+=，与 2:(21)10laxay=平行，则 a 的值是()A0 或 1B1 或 14C0 或 14D

2、 143已知向量 p 在基底,ab bc ca+下的坐标为(0，2，1)，则 p 在基底,a b c 下的坐标为()A(0，1，2)B(1，2，3)C(1，3，2)D(3，2，1)4对方程623yx=+表示的图形，下列叙述中正确的是()A斜率为 2 的一条直线B斜率为12的一条直线C斜率为 2 的一条直线，且除去点(3,6)D斜率为12的一条直线，且除去点(3,6)5已知空间四点(4A，1，3)，(2B，3，1)，(3C，7，5)，(D x，1，3)共面，则(x=)A4B1C10D116已知直线l 的方程为 sin310 xy+=，R，则直线l 的倾斜角范围是()#QQABJQQUogiAAh

3、AAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#第2页（共4页）A2(0,)33 B50,)66 C5,66D2,337一条光线从点(2,3)射出，经 x 轴反射后与圆22(3)(2)1xy+=相切，则反射光线所在直线的斜率为()A 65 或 56B 54 或 45C 32 或 23D 43 或 348方程2|12xyy=表示的曲线为()A两个半圆B一个圆C半个圆D两个圆9已知 EF 是圆22:2430C xyxy+=的一条弦，且CECF，P 是 EF 的中点，当弦 EF 在圆 C 上运动时，直线:30l xy=上存在两点 A，B，使得2APB恒成立，则线段 AB

4、 长度的最小值是()A 4 22B 4 22+C 2 21D 2 21+10已知点 P 为平面直角坐标系 xOy 内的圆2216xy+=上的动点，定点(3,2)A，现将坐标平面沿 y 轴折成 23 的二面角，使点 A 翻折至 A，则 A，P 两点间距离的取值范围是()A 13,3 5B413,7C413,3 5D 13,711（多选）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDA BC D中，M，N，P 分别是11C D，1C C，1A A的中点，则()A M，N，B，1D 四点共面B异面直线1PD 与 MN 所成角的余弦值为1010C平面 BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D三棱锥 PMNB

5、的体积为 13#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#第3页（共4页）12.（多选）设直线:(2)0,lab xbya+=圆222:(2)(0)Cxyrr+=，若直线l 与圆C 恒有两个公共点,A B，则下列说法正确的是（）.Ar 的取值范围是 5,)+.B若r 的值固定不变，则当230ab=时，ACB最小.C若r 的值固定不变，则 ABC的面积的最大值为212 r.D若3r=，则当 ABC的面积最大时直线l 的斜率为1或 17二、填空题(每题 5 分,共 20 分)13 若 圆2260 xyx+=与 圆2222160 xym

6、ym+=外 离，则 实 数 m 的 取 值 范 围是 14已知(1,2,1)a=，(1,1,1)bx=，且 a 与b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 15已知两点(1A，2，3)，(2B，1，2)，(1P，1，2)点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，Q 点的坐标 16已知点(3,0)P 在动直线(3)0mxnymn+=上的投影为点 M，若点3(2,)2N，则|MN 的最大值为.三、解答题(写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程,17 题 10 分,18-22 题每题 12 分,共 70 分)17（1）求与直线3470 xy+=垂直且与原点的距离为 6 的直线方程；（

7、2）求经过直线 1:2350lxy+=与 2:71510lxy+=的交点且平行于直线230 xy+=的直线方程18已知实数 x，y 满足方程22410 xyx+=（1）求 yx的最值；（2）求22xy+的最值#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#第4页（共4页）19.平面直角坐标系中有一个 ABC，已知(1,0)B，(1,0)C，且|2|ABAC=（）求顶点 A 的轨迹方程；（）求 ABC的面积的最大值20如图，ABC是正三角形，四边形11ABB A 是矩形，平面11ABB A 平面 ABC，1CC 平面 ABC，点 M 为

8、 AB 中点，2AB=，112AACC=（1）设直线l 为平面 ABC 与平面111A B C 的交线，求证：/lAB；（2）若三棱锥111MA B C的体积为 2 33，求平面11MB C 与平面11ABB A 夹角的余弦值21如图，在三棱柱111ABCA BC中，四边形11AA B B 是菱形，ABAC，平面11AA B B 平面 ABC（1）证明：11A BB C；（2）已知13ABB=，2ABAC=，平面111A B C 与平面1AB C 的交线为l 在l 上是否存在点 P，使直线1A B 与平面 ABP 所成角的正弦值为 14？若存在，求线段1B P 的长度；若不存在，试说明理由22

9、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆221:(3)(1)4Cxy+=和圆222:(4)(5)4Cxy+=（1）若直线l 过点(4,0)A，且被圆1C 截得的弦长为 2 3，求直线l 的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1l 和 2l，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线 1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#郑州外国语学校 2023-2024 学年高二上期月考 1 数学参考

10、答案1-10 CCBCD BDABB 11.BCD 12.BD 13(，2 10)(2 10，)+14|0 x x 且3x 15 4 4 8(,3 3 3)1611217（1）求与直线3470 xy+=垂直且与原点的距离为 6 的直线方程；（2）求经过直线 1:2350lxy+=与 2:71510lxy+=的交点且平行于直线230 xy+=的直线方程【解答】解：（1）设与直线3470 xy+=垂直的直线方程为：430 xym+=又与原点的距离为 6，22|64(3)m=+，解得30m=满足条件的直线方程为：43300 xy=5 分（2）联立 235071510 xyxy+=+=，解得26337

11、9xy=设平行于直线230 xy+=的直线方程为20 xyn+=把263379xy=代入上述方程可得：49n=要求的直线方程为：91840 xy+=10 分18已知实数 x，y 满足方程22410 xyx+=（1）求 yx的最值；（2）求22xy+的最值【解答】解：（1）令 yxt=，即0 xyt+=对应直线l将直线l 平移，当l 与圆22:(2)3Cxy+=相切时，t 达到最大或最小值由|2|32td+=，得26t=t 的最小值为 26，最大值为 26+；6 分（2）满足22410 xyx+=的点(,)P x y 在以(2,0)C为圆心，半径为3 的圆上，222|xyOP+=，当 P、O、C

12、 三点共线时，|OP 达到最大值或最小值当圆C 上的点 P 在OC 延长线上时，|OP 的最大值为|323OC+=+，得到22xy+的最大值为2(23)74 3+=+；#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#当圆C 上的点 P 在线段OC 上时，|OP 的最小值为|323OC=得到22xy+的最大值为2(23)74 3=综上所述，22xy+的最大值为74 3+；最小值为74 312 分19.平面直角坐标系中有一个 ABC，已知(1,0)B，(1,0)C，且|2|ABAC=（）求顶点 A 的轨迹方程；（）求 ABC的面积的最大值

13、【解答】解：（）设(,)A x y，则(1,0)B，(1,0)C，且|2|ABAC=，2222(1)2(1)2xyxy+=+，22610 xyx+=顶点 A 的轨迹方程为22610 xyx+=（32 2x）；6 分（）22610 xyx+=可化为22(3)8xy+=，A到 x 轴的最大距离为 2 2，ABC的面积的最大值为 122 22 22 =12 分20如图，ABC是正三角形，四边形11ABB A 是矩形，平面11ABB A 平面 ABC，1CC 平面 ABC，点 M 为 AB 中点，2AB=，112AACC=（1）设直线l 为平面 ABC 与平面111A B C 的交线，求证：/lAB；

14、（2）若三棱锥111MA B C的体积为 2 33，求平面11MB C 与平面11ABB A 夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：四边形11ABB A 是矩形，11/ABA B，11A B 平面111A B C，AB 平面111A B C，/AB平面111A B C，3 分又 AB 平面 ABC，平面 ABC平面111A B Cl=，/ABl；5 分（2）连接 MC，平面11ABB A 平面 ABC，MCAB，MC 平面11ABB A，#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#而1CC 平面 ABC，1CC 平面11ABB A，

15、1/CC平面11ABB A，6 分1 111 1111111112 32323233MAB CCMA BVVA BAAMCAA=，12AA=，11CC=，8 分设11A B 中点为 N，由（1）知，AB，MC，MN 两两垂直，以点 M 为坐标原点，MB，MC，MN 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1B，0，2)，1(0,3,1)C，9 分11(1,0,2),(0,3,1)MBMC=，设平面11MB C 的法向量为(,)mx y z=，则112030m MBxzm MCyz=+=+=，则可取(2 3,1,3)m=，11 分取平面11ABB A 的法向量

16、为(0,1,0)n=，则|11|cos,|1 44m nm nm n=，平面11MB C 与平面11ABB A 夹角的余弦值是 14 12 分21如图，在三棱柱111ABCA BC中，四边形11AA B B 是菱形，ABAC，平面11AA B B 平面 ABC（1）证明：11A BB C；（2）已知13ABB=，2ABAC=，平面111A B C 与平面1AB C 的交线为l 在l 上是否存在点 P，使直线1A B 与平面 ABP 所成角的正弦值为 14？若存在，求线段1B P 的长度；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）证明：平面11AA B B 平面 ABC，又平面11AA B B 平面

17、 ABCAB=，ACAB，AC 平面 ABC，AC 平面11AA B B，2 分又1A B 平面11AA B B，1ACA B，四边形11AA B B 是菱形，11ABA B，#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#又1ACABA=，AC、1AB 平面1AB C，1A B 平面1AB C，4 分又1B C 平面1AB C，11A BBC；5 分（2）取11A B 中点 D，连接 AD，四边形11AA B B 为菱形，1ABBB=，又160ABB=，1ABB为等边三角形，由菱形的几何性质可知1160AA B=，111AAA B=

18、，11AA B 也为等边三角形，又 D 为11A B 的中点，11ADA B，又11/ABA B，ABAD，由（1）知，AC 平面11AA B B，以 AB、AD、AC 所在直线分别为 x、y、z 轴，建系如图，则根据题意可得：(0A，0，0)、(2B，0，0)、(0C，0，2)、1(1,3,0)A、1(1,3,0)B，7 分1(3,3,0)A B=，设(1,3,)Pt，则(1,3,)APt=，(2,0,0)AB=，11/ACAC，AC 平面111A B C，11AC 平面111A B C，/AC平面111A B C，又平面111A B C 平面1AB Cl=，AC 平面1AB C，/ACl，

19、由（1）知l 平面11AA B B，8 分设平面 ABP 的法向量(,)nx y z=，则3020n APxytzn ABx=+=，取(0,3)nt=，10 分直线1A B 与平面 ABP 所成角的正弦值为 14，1121|3|1|cos,|4|2 33A B ntA B nA Bnt=+，解得1t=，11 分存在点 P，线段1B P 的长为 112 分22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆221:(3)(1)4Cxy+=和圆222:(4)(5)4Cxy+=（1）若直线l 过点(4,0)A，且被圆1C 截得的弦长为 2 3，求直线l 的方程；#QQABJQQUogiAAhAAAQgCE

20、wVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1l 和 2l，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线 1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标【解答】解：（1）由于直线4x=与圆1C 不相交；直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)yk x=，圆1C 的圆心到直线l 的距离为 d，l 被1C 截得的弦长为 2 3，222(3)1d=，2 分2|17|1kdk=+从而(247)0kk+=即0k=或724k=，4 分直线l 的方程为：0y=或724

21、280 xy+=6 分（2）设点(,)P a b 满足条件，不妨设直线 1l 的方程为()ybk xa=，0k，则直线 2l 方程为：1()ybxak=，1C 和2C 的半径相等，及直线 1l 被圆1C 截得的弦长与直线 2l 被圆2C 截得的弦长相等，1C的圆心到直线 1l 的距离和圆2C 的圆心到直线 2l 的距离相等，即221|5(4)|1(3)|111abkabkkk+=+，8 分整理得|1 3|54|kakbkabk+=+，1 3(54)kakbkabk+=+，即(2)3abkba+=+或(8)5abkab+=+，10 分因 k 的取值有无穷多个，所以2030abba+=+=或8050abab+=+=，解得5212ab=或32132ab=，这样的点只可能是点151(,)22P或点23 13(,)2 2P 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件12 分法 2：直线 l1 和 l2 分别过 C1，C2 圆心时，点 P 在 C1C2 中垂线上时满足要求，依次可以确定两个点P1，P2，可以证明，l1 和 l2 垂直且绕点 P1，P2 旋转时，直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆C2 截得的弦长相等#QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=#