湖北省2022届高三数学二模试卷（PDF版带答案）.pdf

1、湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 1 页湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试 数学试卷 命题教师：潘小华 周永林 审题教师：尹念军 席建颖 考试时间：2022 年 5 月 17 日下午 15:00-17:00 试卷满分：150 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足(3)45i zi，则 z 的共轭复数的虚部为 A 43i B 43 C43 D43i【答案】C 【解析】(3)45i zi，45(45)54543(3)333ii iiziii i，z的

2、共轭复数的虚部为43故选：C 2.设集合|(1)(4)0Axxx，|20Bxxa，且|12ABxx，则 a A4 B2 C 2 D 4 【答案】D【解析】集合|(1)(4)0|14Axxxxx，|20|2aBxxax x，|12ABxx，22a，解得4a 故选：D 3.已知132a，21log 3b，121log 3c，则 A abc B acb Ccab Dcba【答案】C【解析】1030221a，221loglog 103b，12221loglog 3log 213c ，cab 故选：C 4.已如 A，B，C 是表面积为16 的球 O 的球面上的三个点，且1ACAB，30ABC，则三棱锥O

3、ABC的体积为 A 112 B312 C 14 D34 【答案】C【解析】设球的半径为 R，ABC外接圆的半径为 r，在 ABC中，由1ACAB，30ABC，则120BAC 湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 2 页得 22sinACrABC，所以1r ，因为球 O 的表面积为16，则2416R，解得2R，所以球心 O 到 ABC的距离223dRr，即三棱锥OABC的高为3，13sin24ABCSAB ACBAC，所以三棱锥OABC的体积1313344O ABCV 故选：C 5.已知函数22()(1)1xf xxln ex，()2f a，则()fa的值为 A1

4、 B0 C 1 D 2 【答案】B【解析】构造函数22()(1)xg xxln ex，则2222()()(1)(1)xxgxg xxln exxln ex 2222212201xxxexlnxxlnexe，故函数()g x 为奇函数，又 f（a）g（a）12，g（a）1，()()1fagag （a）10 故选：B 6.若1sincos5，0，则sin 2cos2 A 1725 B1725 C 3125 D3125【答案】D【解析】因为1sincos5，两边同平方可得，11sin 225，所以24sin 2025 ，因为 0，则 2，所以sin0，cos0，故249(sincos)1sin 22

5、5，所以7sincos5，故22177cossin(cossin)(cossin)()5525 ，即7cos225 ，所以24731sin 2cos2252525 故选：D 7.直线2x 与双曲线2214xy的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任一点，若(OPaOAbOB a，bR，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是 A22 1ab B|1ab C|1ab D|2ab【答案】C【解析】双曲线2214xy 的渐近线为：12yx 把2x 代入上述方程可得：1y 不 妨 取(2,1)A，(2,1)B(22,)OPaOAbOBab ab 代 入 双 曲 线 方 程 可 得：湖北省黄冈中

6、学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 3 页22(22)()14abab，化为14ab 21()42abab，化为：|1ab故选：C 8.若函数 yf x的图象上存在两个不同的点 A，B，使得曲线 yf x在这两点处的切线重合，则称函数()yf x为“共切”函数，下列函数中是“共切”函数的为AlnyxxBexyxC31yxDcosyxx【答案】D【解析】由“共切”函数的定义可知，导函数中自变量存在两个值，它们的函数值相等，才可能是“共切”函数，因此导数不会为单调函数；对于A，11yx ，即导函数在(0,)上单调递减，且自变量与函数值是一一对应的关系，故lnyxx不会是“共切

7、”函数；对于 B，exy，即导函数在R 上单调递增，故e1xy 必不是“共切”函数；对于C，23yx，存在3(,)m m与(m，3)(0)mm，两点处的切线斜率为23m 相等，分别写出切线方程为：2332ymxm，2332ymxm，显然两直线不重合，故3yx不是“共切”函数；对于D，1 sin0yx ，2，即导函数为2T的周期函数，且0y 恒成立，故cosyxx在R 上递增，不妨取0,2ABxx，则1y，切点分别为(0,1),(2,21)AB，此时切线方程分别为1,2211yxyxx，两切线重合，可知至少存在 A、B 两点处的切线重合，故该函数为“共切”函数故选：D 二、多项选择题：本大题共

8、4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知由样本数据(ix，)(1iyi，2，3，10)组成的一个样本，得到回归直线方程为20.4yx，且2x，去除两个样本点(2,1)和(2,1)后，得到新的回归直线的斜率为 3则下列说法正确的是 A相关变量 x，y 具有正相关关系 B去除两个样本点后的回归直线方程为 33yx 湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 4 页C去除两个样本点后，随 x 值增加相关变量 y 值增加速度变小 D去除两个样本点后，样本(4,8.

9、9)的残差为 0.1【答案】AB【解析】：对于 A，去除两个歧义点(2,1)和(2,1)后，得到新的回归直线的斜率为 3，30，则相关变量 x，y 具有正相关关系，故 A 正确，对于 B，由2x 代入24yx得3.6y，则去除两个歧义点(2,1)和(2,1)后，得到新的2 10582X，3.6 10982Y，953322a ，故去除歧义点后的回归直线方程为33yx，故 B 正确，对于 C，由于斜率为31，故相关变量 x，y 具有正相关关系且去除歧义点后，随 x 值增加相关变量 y 值增加速度变大，故 C 错误，当4x 时，3 439y ，则样本(4,8.9)的残差为8.990.1，故 D 错误

10、故选：AB 10.已知点(1,0)M，A，B 是椭圆2214xy 上的动点，当 MA BA取下列哪些值时，可以使0MA BM A3 B6 C9 D12【答案】ABC【解析】设0(A x，0)y，且0MA BM，222200()(1)MA BAMABMMAMAMA BMMAxy，将 A 点 坐 标 代 入 椭 圆，可 得220014xy，则220014xy 代 入 可 得，2220000342(1)1()(22)4433xMA BAxxx，故2()3minMA BA，()9maxMA BA，对照选项，MA BA可以取 ABC 故选：ABC 11设函数sin 22sin()cosxxf xx，则

11、A()f x 在(2，)2 上有且仅有 1 个零点 B()f x 的最小正周期为 C()f x 在(2，)2 上单调递减 D()f x 在(2，3)2上单调递减【答案】ACD【解析】由二倍角公式可得，sin 22sin cosxxx，湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 5 页sin 22sin2sin(cos1)()0coscosxxxxf xxx，sin0 x或 cos1x，xk或2xk，kZ，(,)2 2x ，当且仅当0k 时，即0 x 时，满足()0f x，()f x在(,)2 2 上有且只有一个零点，满足题意，则 A 正确，()2sin2tanf xx

12、x，sin x 的最小正周期为 2，tan x 的最小正周期为，()f x的最小正周期为 2，则 B 错误，()2sin2tanf xxx，则23222(sin)sin 2(1)()2cos(cos)cos xxxcos xfxxxcos x，3cos1 0 x()0fx，()f x在恒单调递减，则C、D 正确，故选：ACD 12在数列 na中，对于任意的*nN 都有0na，且211nnnaaa，则下列结论正确的是A对于任意的2n，都有1na B对于任意的10a，数列 na不可能为常数列C若102a，则数列 na为递增数列D若12a，则当2n 时，12naa【答案】ACD【解析】A：由111n

13、nnaaa，对*n N 有0na，则1111nnnaaa，即任意2n 都有1na ，正确；B：由11(1)nnnaaa，若 na为常数列且0na，则2na 满足10a，错误；C：由111nnnaaa 且*nN，当112na 时101nnaa ，此时122(1)(0,2)aa a 且12aa，数列 na递增；当12na 时11nnaa ，此时1222(1)2a aaa，数列 na递减；所以102a时数列 na为递增数列，正确；D：由 C 分析知：12a 时12na 且数列 na递减，即2n 时12naa，正确.故选：ACD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 湖北省黄冈中

14、学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 6 页13.函数()f x 的图象如图所示，记1()Afx、2()Bfx、3()Cfx，则 A、B、C 最大的是_.【答案】A 【解析】根据导数的几何意义，1()fx、2()fx、3()fx分别为1x、2x、3x 处的切线斜率，又1x 与3x 处的切线单调递增，2x 处的切线单调递减，且1x 处的切线比3x 处的切线更陡峭，231()0()()fxfxfx，故最大为1()fx 14.已知(1)nx的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)nx的系数和为 64 【答案】64【解析】由题意，32nnCC，且34nnCC，所以6n，所以令1x

15、 ，6(1)x的系数和为6264 15.与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆已知正 ABC 的中心为 O，1AB ，点 P 为与 BC 边相切的旁切圆上的动点，则 OA OP的取值范围为_.【答案】7 6，16【解析】如图所示，ABC的旁切圆为圆O，设其半径为 R，因为正 ABC的边长为 1，所以3|2AE，易知 O 为 ABC的重心，则3|3OA，3|6OE，易知 ABO与 AO D相似，则|AEBEADO D，即312232R，解得32R，由平面向量数量积的几何意义可知：OA OPOP OA，表示OP 在OA 上的投影与3|3OA 的乘积，由图可知，当点 P

16、位于点 E时，OP OA最大，最大值为331()366 ，当点 P 位于点 F 时，OP OA最小，最小值为3337(2)3626 ，故OA OP的取值范围是7 6，16，故答案为：7 6，16 湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 7 页 16.棱长为 1 的正方体1111ABCDA BC D，点 P 沿正方形 ABCD按 ABCDA的方向作匀速运动，点Q 沿正方形11BC CB 按111BC CBB 的方向以同样的速度作匀速运动，且点,P Q 分别从点 A 与点1B 同时出发，则 PQ 的中点的轨迹所围成图形的面积大小是_.【答案】34【解析】如图，,E F

17、 G 分别是正方形 ABCD，11ABB A，11BCC B 的中心，下面进行证明：菱形EFGC 的周界即为动线段 PQ 的中点 H 的轨迹，首先证明：如果点 H 是动线段 PQ 的中点，那么点 H 必在菱形 EFGC 的周界上，分两种情况证明：（1）P，Q 分别在某一个定角的两边上，不失一般性，设 P 从 B 到 C，而 Q同时从1C 到 C，由于速度相同，所以 PQ 必平行于1BC，故 PQ 的中点 H 必在CG 上；（2）P，Q 分别在两条异面直线上，不失一般性，设 P 从 A 到 B，同时 Q 从1B 到1C，由于速度相同，则1APB Q，由于 H 为 PQ 的中点，连接1B H 并延

18、长，交底面 ABCD 于点 T，连接PT，则平面1PB QT 与平面 ABCD交线是 PT，11B C 平面 ABCD，11B C PT，1HBQHTP，而1PTBQAP，PT BC，APT是等腰直角三角形，4TAP，从而 T 在 AC 上，可以证明 FHTCAC，GHTCAC，FGAC，基于平行线的唯一性，显然 H 在 FG 上，湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 8 页综合（1）（2）可证明，线段 PQ 的中点一定在菱形 EFGC 的周界上；下面证明：如果点 H 在菱形 EFGC 的周界上，则点 H 必定是符合条件的线段的中点.也分两种情况进行证明：（1）

19、H 在 CG 或 CE 上，过点 H 作 PQ1BC（或 BD），而与 BC 及1CC（或 CD 及 BC）分别相交于 P 和 Q，由相似的性质可得：PH=QH，即 H 是 PQ 的中点，同时可证：BP=1C Q（或BQ=DP），因此 P、Q 符合题设条件（2）H 在 EF 或 FG 上，不失一般性，设 H 在 FG 上，连接1B H 并延长，交平面 AC 于点 T，显然 T 在 AC 上，过 T 作 TPCB 于点 P，则 TP11C B，在平面11PTC B 上，连接 PH 并延长，交11B C 于点 Q，在三角形1ACB 中，G 是1BC 的中点，FG AC，则 H 是1BT 的中点，于

20、是1PTHQB H，从而有1B QPT，又因为 TPCB，4CABATP，所以 APPT，从而1B QAP，因此 P，Q 符合题设条件.由（1）（2），如果 H 是菱形 EFGC 周界上的任一点，则 H 必是符合题设条件的动线段 PQ 的中点，证毕.湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 9 页因为四边形 EFGC 为菱形，其中1121 1222CEAC，所以边长为22且11ACCBAB，1AB C 为等边三角形，3GCE，所以面积223sin2234S.故答案为：34 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本

21、小题满分 10 分）在ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，2c 有以下 3 个条件：2 coscAb；22 cosb acA；2a bc 请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC面积的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：若选择由正弦定理 sinsinsinabcABC可将2 coscAb化为：2sincossinCAB又 AB C，所以sinsin()BAC，所以2sincossin()CAAC即sincoscossin0ACAC，sin()0AC，AC，2ac，所以1sin2sin22ABCSacBB（当2B时取到等号）所以ABC面积的最大值为 2若选择由

22、正弦定理 sinsinsinabcABC可将22 cosb acA化为：2sinsin2sincosBACA，又 AB C，所以sinsin()BAC所以2sin()sin2sincosACACA，即2sincossinACA，1cos2C 又(0,)C，3C又由余弦定理2222coscababC可得：2242ababababab（当且仅当ab时取等号）1sin2sin32ABCSabCC，所以ABC面积的最大值为 3 若选择湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 10 页因为2c，所以242abcab，4ab（当且仅当ab时取等号）又由余弦定理222cos2ab

23、cCab得：22222311242cos2222abababababCababab（当且仅当ab时取等号）03C11sin4 sin3223ABCSabC（当且仅当ab时取等号）所以ABC面积的最大值为 3 18（本小题满分 12 分）数列 na的前n 项和为nS，11a ，12(),nnaS nN ,（1）求数列 na的通项na;（2）求数列nna的前 n 项和nT.【解析】（1）12nnaS，,12nnnSSS 13nnSS.又111Sa,数列 nS是首项为 1、公比为 3 的等比数列，13nnS*()nN.当2n 时，2122 3(2)nnnaSn,21,12 3,2nnnan （2）1

24、2323nnTaaana，当1n 时，11T ；当2n时，0121 4 36 32 3nnTn，121334 36 32 3nnTn，得：12212242(333)2 3nnnTn 213(1 3)222 31 3nnn11(1 2)3nn ，湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 11 页111()3(2)22nnTnn，又111Ta 也满足上式，1*11()3()22nnTnnN 19（本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为2 2 的正方形，平面 PAC 底面 ABCD，2 2PAPC.（1）求证：PBPD；（2）若点,M N

25、分别是棱,PA PC 的中点,平面 DMN 与棱 PB 的交点为Q，则在线段 BC 上是否存在一点 H，使得 DQPH，若存在，求 BH 的长,若不存在,请说明理由.【解 析】（1）证 明：记 A CB DO，连 结 PO，底 面 A B C D为 正 方 形，2OAOCOBOD PAPC，POAC，平面 PAC底面 ABCDAC，PO 平面 PAC，PO 底面 ABCD BD 底面 ABCD，POBDPBPD；（2）以 O 为坐标原点，射线 OB，OC，OP 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP 可得(0P，0，2)，(0A，2，0)，(2B，0

26、，0)，(0C，2，0)，(2D ，0，0)，可得，(0M，1，1)，(0N，1，1)(2,1,1)DM，(0,2,0)MN 设平面 DMN 的法向量(,)nx y z，由2020n DMxyzn MNy ，令1x ，可得(1,0,2)n 记(2,0,2)PQPB，可得(2Q，0，22)，(22,0,22)DQ，由0DQ n，可得，22440，解得13 可得，84(,0,)33DQ 湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 12 页记(2,2,0)BHtBCtt，可得(22Ht，2t，0)，(22,2,2)PHtt，若 DQPH，则0DQ PH，84(22)(2)0

27、33t，解得12t 故2BH 20（本小题满分 12 分）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 X 个孩子的概率模型为：X1230概率p1p21p其中0，01p 每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 12 且相互独立，事件iA表示一个家庭有 i 个孩子012 3i ,，事件 B 表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)(1)若12p，求，并根据全概率公式 30()iiiP BP B A P A，求 P B；(2)为了调控未来人口结构，其中参数 p 受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)若希望 2P X 增大，如何调控 p 的值？是否存在

28、 p 的值使得53E X，请说明理由湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 13 页【解析】(1)由题意得：233122311223331111CCCC2222P B AP B AP B A，由全概率公式，得 30()iiiP BP B A P A2332232331111CCC12222pp1111242pp，又12p，则 32P B；(2)由2111ppp，得21133ppp ，记 2133fpppp，01p，则 322231ppfpp，记 32231g ppp，则 266610gpppp p，故 g p 在0,1 单调递减 01g ，0g p ，0fp，fp

29、 在0,1 单调递减因此增加 p 的取值，1 会减小，增大，即 2P X 增大假设存在 p 使52313E Xpp，又21133ppp ，将上述两式相乘，得215555533ppppp ，化简得，325620pp，设 32562h ppp，则 21512354hppppp，则 h p 在40,5单调递减，在 4,15 单调递增，h p 的最小值为480525h，不存在0p 使得 00h p21.（本小题满分 12 分）动点 P 到定点(0,1)F的距离比它到直线2y 的距离小 1，设动点 P 的轨迹为曲线C，过点 F 的直线交曲线C 于,A B 两个不同的点，过点,A B 分别作曲线C 的切线

30、，且二者相交于点 M （1）求曲线C 的方程；（2）求证：0AB MF；（3）求 ABM的面积的最小值【解析】（1）由已知，动点 P 在直线2y 上方，条件可转化为动点 P 到定点(0,1)F的距离等湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 14 页于它到直线1y 距离,动点 P 的轨迹是以(0,1)F为焦点，直线1y 为准线的抛物线,故其方程为24xy（2）证：设直线 AB 的方程为：1ykx 由241xyykx 得：2440 xkx,设(,),(,),AABBA xyB xy则44ABABxxkx x，由24xy得：214yx，12yx 直线 AM 的方程为：2

31、11()42AAAyxxxx 直线 BM 的方程为：211()42BBByxxxx 得：2222111)()()422BAABBAxxxxxxx（，即22ABxxxk 将2ABxxx代入得：22111142244BAAAABAxxyxxx xx 114AByx x ，故(21)Mk，(22)()BABAMFkABxxk xx，2()2()0BABAAB MFk xxk xx （3）解：由（2）知，点 M 到 AB 的距离2|2 1dMFk 2|2()444ABABABAFBFyyk xxk 3222211|4(1)2 14(1)422SAB dkkk 当0k 时，ABM的面积有最小值 4 22

32、.（本小题满分 12 分）已知函数221()2()2xaxf xxx aeR（2.71828e 是自然对数的底数）（1）若()f x 在(0,2)x内有两个极值点，求实数 a 的取值范围；（2）1a 时，讨论关于 x 的方程211()2|ln|()2xf xxxbxbxeR 的根的个数湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 15 页【解析】（1）由题意可求得22(2)()2xxxaxxxeaxfxxee，因为()f x 在(0,2)x内有两个极值点，所以()0fx在(0,2)x内有两个不相等的变号根，即0 xeax在(0,2)x上有两个不相等的变号根设()xg x

33、eax，则()xg xea，当0a时，(0,2),()0 xxg xea，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件当0a 时，令()0 xg xea得lnxa，当ln2a，即2a e 时，(0,2),()0 xxg xea，所以()g x 在(0,2)上单调递减，不符合条件；当ln0a，即01a时，(0,2),()0 xxg xea，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件；当0ln2a，即21ae时，()g x 在(0,ln)a 上单调递减，(ln,2)a上单调递增，若要0 xeax在(0,2)x上有两个不相等的变号根，则(0)0,(2)0,(ln)0,0ln2,ggga

34、a，解得22eea综上所述，22eea（2）设2211()|ln|()2|ln|,(0,)2xxxh xxf xxxbxb xxee，令2xxye，则212xxye，所以2xxye在10,2上单调递增，在 1,2上单调递减（）当(1,)x时，ln0 x，则2()lnxxhxxbe，所以22()21xx eh xexx因为2210,0 xexx，所以()0h x，因此()h x 在(1,)上单调递增（）当(0,1)x时，ln0 x，则2()lnxxh xxbe，所以湖北省黄冈中学 2022 届高三第二次模拟考试试卷（共 17 页）第 16 页22()21xxeh xexx因为22221,1,01

35、,1,xxxeeeexx 即21,xex，又 21 1,x 所以22()210 xxeh xexx，因此()h x 在(0,1)上单调递减综合（）（）可知，当(0,)x 时，2()(1)h xheb，当2(1)0heb，即2be 时，()h x 没有零点，故关于 x 的方程根的个数为 0，当2(1)0heb，即2be 时，()h x 只有一个零点，故关于 x 的方程根的个数为 1，当2(1)0heb，即2be 时，当(1,)x 时，221()lnlnln1xxh xxbxbxbee，要使()0h x，可令ln10 xb，即1,bxe ；当(0,1)x时，121()lnlnln12xxh xxbxebxbe ，要使()0h x，可令 ln10 xb，即10,bxe，所以当2be 时，()h x 有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2，综上所述：当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 0，当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 1，当2be 时，关于 x 的方程根的个数为 2