【九年级下册】28.10 解直角三角形（巩固篇）（专项练习）-（人教版）.docx

1、专题28.10 解直角三角形（巩固篇）（专项练习）一、单选题1已知ABC 中， C=90，tanA= ，D 是 AC 上一点， CBD=A， 则 cosCDB的值为（）ABCD22如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形已知裁剪线与正方形的一边夹角为60，则梯形纸片中较短的底边长为（）A（3）cmB（32）cmC（6）cmD（62）cm3在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点逆时针旋转到如图的位置，的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为（）ABC2D4如图，在四边形ABCD中，DABB60，ADCD，AC平分DAB，E为AB边的中点，连接DE交AC于F若CD

2、1，则线段AF的长度为（）ABC1D5如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则APD的余弦值为（）ABCD6如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米A4BC2D67如图，在等腰中，于点，则的值（）ABCD8如图，在矩形ABCD中，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（）ABCD39如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为（）（参考数据：，）ABCD10某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高

3、度他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37，建筑物底端的俯角为30，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（）A米B米C米D米二、填空题11如图，在中，D是边上的一点，则AB_.12如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，交BD于点E，若AE，则矩形ABCD的周长为 _13如图，ABC中，ABC60，ACB45，AC2，则AB_14如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为_

4、15如图，等腰直角ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，BDC30，则BDC的面积是_.16如图所示，在平面直角坐标系中，则点的坐标是_17如图，ACBC，ADa，BDb，A，B，则AC等于 _18如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A（-4，0），与轴夹角为，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为_三、解答题19如图，RtABC中，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE使，连接CE则：(1) 求证：；(2) 若，求证：20如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点(1) 求证：四边形是菱形(2) 若，则_21如图，在三角形ABC中，ACB90

5、，AB5，AC4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE将ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有BFE30，则CF的长度为 _22如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，求轮船航行的路程（参考数据：，结果保留整数）23如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向，距离小岛40nmile的点A处(1) 渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？(2) 渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行nmile到点C处时突然发生事故，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根

6、号）？24江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为BOC和BCO，且tanBOC4，tanBCO（1）求路灯B到地面的距离；（2）若OAB120，求灯柱OA的高度（结果保留根号）参考答案1B【分析】由已知条件，可得，设，由题意可得，即可算出，在中，根据勾股定理可得，由余弦定义进行计算即可得出答案解：，设，在中，故选：B【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键2A【分析

7、】过M点作MEAD于E点，根据四边形ABCD是正方形，有AD=CD=6，C=D=90，由裁剪的两个梯形全等，可得AN=MC；再证明四边形MCDE是矩形，即有MC=ED，ME=CD=6，进而有AN=ED，在RtMNE中，解直角三角形可得，则可得，问题得解解：如图，过M点作MEAD于E点，四边形ABCD是正方形，边长为6，AD=CD=6，C=D=90，裁剪的两个梯形全等，AN=MC，MEAD，四边形MCDE是矩形，MC=ED，ME=CD=6，AN=ED，根据题意有MNE=60，在RtMNE中，即梯形中较短的底为（cm），故选：A【点拨】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等

8、知识，根据梯形全等得出AN=MC是解答本题的关键3B【分析】先求出点A、B的坐标，可求得OA、OB，进而可求得OAB=60，利用旋转的性质和等边三角形的判定与性质证明和为等边三角形得到即可求解.解：对于，当时，当时，由得：，则A（1，0），B（0，），则OAB=60，由旋转性质得：，是等边三角形，又是等边三角形，故选：B【点拨】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、旋转性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是等边三角形是解答的关键4D【分析】延长AD、BC交于点G，将图形补充成等边三角形，利用ACD和ABC都是含30角的直角三角形得出AC，AD，AB的

9、长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EC的长度，用等边三角形的性质推导ECAD，继而得出EFCDFA，最后结合CF=AC-AF利用这个比例式得到关于AF的方程，解出即可解：DABB60，AC平分DAB，DACCAB30，ADCD，CD1，AD，AC2，延长AD、BC交于点G，如图，DABB60，G60，ABG为等边三角形，AC平分DAB，C为GB的中点，且ACGB，AB，连接EC，E为AB边的中点，ACGBECAB，C为GB的中点，ECAD，EFCDFA，即AF故选：D【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用判定EFCD

10、FA并用其列出关于AF的方程是解题的关键5C【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得APDABE，在RtABE中可求cosABE，从而结论可得解：取格点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE，AE，AB=BE2+AE22+810，AB210，BE2+AE2AB2AEB90由题意：EBDCDB45APDCDB+PBD45+PBD，ABEDBE+PBD45+PBD，APDABE在RtABE中，cosABEcosAPD故选：C【点拨】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键6D

11、【分析】根据题意可知，千米，则根据三角函数可求、，再根据，利用三角函数可求BC，则解：由题意可知，故选：D【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键7D【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解解：，又，在中，故选：D【点拨】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用8C【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，最后利用勾股定理可以求出CN的长解：如图，过点N作CD的垂

12、线交于点E由折叠可知：， AN平分 ， ， 在中，由勾股定理可得： 故选：C【点拨】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键9C【分析】由题意作AEBC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可解：作AEBC于E，则四边形ADCE为矩形，EC=AD=62，在RtAEC中，则，在RtAEB中，BAE=45，BE=AE=200，BC=200+62=262（m），则该建筑的高度BC为262m故选：C【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键10C【分析】如图，设CB

13、AF于N，过点C作CMDE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用MBE的正切可求出CM的长，利用DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案解：如图，设CBAF于N，过点C作CMDE于M，沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，AN=2.4BN，BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），CN=BN+BC=11.6，ME=11.6，MCE=30，CM=11.6，DCM=37，DM=CMtan37=8.7，DE=ME+DM=11.6+8.726.7（米），故选：C【点拨】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形

14、并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键11#【分析】如图，过点作，利用共用直角边列方程求出，再利用三角函数求出即可解：如图，过点作，设的长为则： ，整理得：，解得： 或（舍），又 ，故答案为： 【点拨】本题考查解直角三角形解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用公共直角边别方程进行求解12#【分析】根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证明ABO是等边三角形，解直角三角形求出AB、AD即可求解解：四边形ABCD是矩形，AO=OC=BO=OD，BAD=90，AE垂直平分BO，AO=AB，AEB=90，AO=AB=BO，ABO是等边三角形，ABO=60，在RtABE中，AE，在R

15、tABD中，AD=ABtan60=，矩形ABCD的周长为2（AB+AD）=，故答案为：【点拨】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线 的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质，证得ABO是等边三角形是解答的关键134【分析】过点A作ADBC于点D，得到一个30和一个45的直角三角形，再利用锐角三角形函数求解即可解：过点A作ADBC于点DADC=ADB=90AC2，ACB45sinACB=AD=2ABC60sinABC=AB=4故答案为：4【点拨】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，利用特殊角60和45构造直角三角形是解决问题的关键14【分析】根据题意得

16、，过作于，解直角三角形即可得到结论解：根据题意得，过作于，在中，在中，两港之间的距离为，故答案为：【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单15【分析】作BHAC于H想办法求出ADBH即可解决问题解：如图，作BHAC于H等腰直角ABC的面积为16,BA=BC=，BA=BC=，ABC=90，BHAC，,在RtBDH中，BHD=90，BDC =30，,.【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型16【分析】可过C点作CAx轴于点A，由题可知COA=30，再运用三角函数即可求解C点坐标.解：

17、过C点作CAx轴于点A，由题可知，COA=180-150=30，则AC=sin30OC=，AO= cos30OC=，则C点坐标为：，故答案为.【点拨】本题考查了特殊角的三角函数，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.17acosbsin【分析】过点D作DEAC于E，DFBC于F，可得四边形DFCE是矩形，从而利用三角函数表示出AE,DF的长，即可求出AC的长.解：过点D作DEAC于E，DFBC于F，ACBC,四边形DFCE是矩形，DF=CE,AE=AD cos= acos,CE=DF=BD sin= bsin,AC=AE+EC= acosbsin.故答案为acosbsin.【点拨】本题考查了锐

18、角三角函数的定义和矩形的性质和判定，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键.18【分析】设点的坐标为，过点作轴，作轴，根据折叠的性质可得，用锐角三角函数的定义求出，的长，则求出点的坐标，即可得出的值解：设点的坐标为，如图，过点作轴，作轴，将沿直线翻折，CAD=60， ACD=30，点在第二象限，点恰好落在双曲线上，故答案为：【点拨】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数的知识，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点的坐标是解答本题的关键19(1)见分析(2)见分析【分析】（1）由直角三角形斜边中线的性质可知，即得出，再结合题意，即得出，从而证明；（2）过点E作于点H，由，即得出，从而得出

19、，得出根据平行线的性质得出，从而得出又易证，得出，即可证明解：（1），点D是边BC的中点，；（2）如图，过点E作于点H，又，DE=DE，即【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解直角三角形以及全等三角形的判定和性质正确作出辅助线是解题关键20(1)见分析(2)【分析】（1）证明四边形是平行四边形，进而证明是菱形即可；（2）根据三角函数和勾股定理解答即可（1）证明：在矩形中，又，四边形是平行四边形，平行四边形是菱形（2），B=90，四边形是菱形，故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质以及解三角形的知识，关键是掌握菱形的判定和性质2

20、1【分析】过点作于，根据勾股定理求得的长，继而求得，设，则，则，根据，解得，在中，根据即可求解解：过点作于，如图，BFE30，ACB90，AB5，AC4，设，则，解得，在中，故答案为：【点拨】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长是解题的关键22【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离解：如图，过点作于点，在中，在中，解得，在中，即答：轮船航行的路程约为【点拨】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉相关性质是解题的关键23(1)渔船航行nmile距离小岛B最近；(2)援队从B处出发沿点B的南偏东45的方向

21、航行到达事故地点航程最短，最短航程是nmile【分析】（1）过B作BMAC于M，解直角三角形即可得到结论；（2）在RtBCM中，解直角三角形求得MBC60，即可求得CBG45，nmile，可得到结论（1）解：过B作BMAC于M，由题意可知：BAM45，则ABM45，在RtABM中，BAM45，渔船航行nmile距离小岛B最近；（2）解：nmile，MBC60，CBG18060453045，在RtBCM中，MBC60，nmile故救援队从B处出发沿点B的南偏东45的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是nmile【点拨】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，掌握解直角三角形的知识

22、点24（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8）m【分析】（1）过点B作BFOC于F，设BFx解直角三角形求得OFx，CFx，由OC8求得x8，据此知BF8m；（2）再过点A作AGBF于点G，求得BAGOABOAG30解直角三角形可得BG，进而即可求得OA解：（1）过点B作BFOC于F，设BFx在RtBOF中，tanBOC4，OFx，在RtBCF中，tanBCO，CFx，OC8，x+x8，x8，BF8m，即路灯B到地面的距离8m；（2）过点A作AGBF于点G，可知四边形AGFO是矩形，OAB120，BAGOABOAG1209030OF82，AGOF2，在RtBAG中，tanBAG，BGtan302OAGF（8）（m），即灯柱OA的高度为（8）m【点拨】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力