河北省邢台市襄都区等五地2022-2023学年高二数学上学期12月联考试卷（PDF版附答案）.pdf

1、学年上学期第三次月考高二数学试题考试范围:选择性必修一说明:考试时间分钟,满分分.请将所有答案填写在答题卡上,答在试卷上无效.一、选择题:本题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的抛物线yax 的准线方程是x,则实数a 的值为()ABCD双曲线xym (m)的焦点到其一条渐近线的距离为()AmB mC mD如图,三棱锥OABC 中,OAa,OBb,OCc,且OMMA,BNNC,则MN()Aabc BabcCabc Dabc某学习小组研究一种如图所示的卫星接收天线,发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,如图所示,在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入,经反射聚

2、焦到焦点F 处,从而位于焦点处的信号接收器可以接受到较强的信号波已知卫星接收天线的口径(直径)为m,深度为m,则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为()AmBmCmDm圆xy与圆xyxy的公共弦长为()AB C D 记双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点分别为 F,F,过 F 的直线与C的左支交于A,B 两点,且|AB|a,FBF,则C 的离心率为()A BC D)页共(页第 题试学数二高已知F,F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且以线段FF 为直径的圆过点 P,记椭圆和双曲线的离心率分别为e,e,则ee的值为()ABCD已知抛物线C:yx 的焦点为F,准

3、线与x 轴交于点P,过点 P 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,则|AF|BF|的最小值为()ABCD二、选择题:本题共小题,每小题分,共分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分若方程 xm ym所表示的曲线为C,则下面四个命题中错误 的是()A若C 为双曲线,则 m或 mB若C 为椭圆,则mC曲线C 可能是圆D若C 为双曲线,则焦距为定值下列说法正确的是()A直线的斜率越大,则倾斜角越大B若方程xyxym表示圆,则 mC圆xy上有且只有三点到直线xy的距离都等于 D经过点(,)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为xy已知抛物线yx 的

4、焦点为F,A(x,y),B(x,y)是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A点F 的坐标为(,)B若AFBF,则|AF|BF|C以 AF 为直径的圆与x 轴相切D若|AF|BF|,则线段 AB 的中点P 到x 轴的距离为已知F、F 分别为双曲线xayb(a,b)的左、右焦点,点P 为双曲线右支一点,过右焦点的直线l:kxyk与双曲线相交于 A,B 两点,I 为PFF 的内心,若SIPFSIPFSIFF成立,则下列结论正确的是()A离心率e B满足|AB|的直线l有三条C若 A、B 都在双曲线的右支上,则k D点I 的横坐标为)页共(页第 题试学数二高三、填空题:本题共小题,每小题分,共分已知点

5、(,)和点(,)到直线xmy的距离相等,则 m 双曲线xmy的一条渐近线方程为y x,则 m 的值为 如下图,B 地在A 地的正东方向km 处,C 地在A 地的北偏东方向 km 处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远km,则曲线PQ 的轨迹方程(以 AB 中点为原点)是 ;现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B、C两地转运货物,那么这两条公路 MB、MC 的路程之和最短是 km已知ABC 的顶点都在抛物线F:yx 上,若ABC 重心的纵坐标为,则 kAB kAC kBC 四、解答题:本题共小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(分)()已知双曲线

6、的一条渐近线方程为y x,且经过点P(,),求双曲线的标准方程()已知抛物线ymx,双曲线xm y,它们有一个共同的焦点,求抛物线方程及双曲线的渐近线方程(分)在平面直角坐标系中,ABC 的顶点分别为A(,),B(,),C(,)()求ABC 外接圆M 的面积;()过点 N(,)的直线l与()中圆 M 相交与P、Q 两点,当|PQ|最小时,求直线l的方程)页共(页第 题试学数二高(分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,DFPB,点E,F 分别为AD,PC 的中点()证明:PDCD;()求PB 与平面BEF 所成角的正弦值(分)已知椭圆C:xayb(ab)过点P(,),F、F

7、分别为椭圆C 的左、右焦点,且焦距为()求椭圆C 的方程;()若不与坐标轴平行的直线l与椭圆相切于点 M,O 为坐标原点,求直线 OM 与直线l的斜率之积(分)已知双曲线C:x y,点 M 的坐标为(,),过 M 的直线l交双曲线C 于点 A,B()若直线l又过C 的左焦点F,求OAOB的值;()若点P 的坐标为(,),求证:PAPB为定值(分)在平面直角坐标系xOy 中,过点F(,)的动圆恒与y 轴相切,FP 为该圆的直径,设点P 的轨迹为曲线 C()求曲线C 的方程;()在x 轴正半轴上是否存在一点M,当过点 M 的直线l与抛物线C 交于Q、R 两点时,|MQ|MR|为定值?若存在,求出点

8、 M 的坐标,若不存在,请说明理由)页共(页第 题试学数二高试卷第 1页，共 6页2022-2023 学年上学期第三次月考高二数学试题答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A解：由题意得：141 a，解得：41a故选：A2【答案】B解：由)0(122mmyx，得1cm，渐近线方程为xmy，由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点1,0m，一条渐近线方程为0 yxm，则焦点1,0m 到渐近线0 yxm的距离为mmmmd1|1|故选：B3【答案】D解：由题意MAOM2，BNNC，得cbaOCOBOCOACBOCOAC

9、NOCMOMN212132)(21322132故选：D4【答案】B解：建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为 A，B，设轴截面所在的抛物线的标准方程为220ypx p，由已知条件，得点)2.2,1(A，所以22.22p，解得42.2p，所以所求焦点坐标为)0,21.1(A，因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为m21.1故选：B5【答案】C解：将两圆2240 xy、022222yxyx的方程相减得：01 yx，圆2240 xy的圆心(0,0)到直线01 yx距离2211|1|d，所以公共弦长142142l故选：C6【答案】A解：设xBF|2，y

10、AF|2由双曲线定义可知：axBF2|1，ayAF2|1，aAB4|，所以aayaxAFBF422|11，即xay 8；在2Rt ABF中，22222AFABBF，即222)4()8(xaxa，解得：ax3，则aBF|1；在12Rt BF F中，2221212F FBFBF，即222)3()2(aac，即41022ac，所以210e故选：A7【答案】C解：设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为2a，设 F1，F2 是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且122F Fc，设 P 在第一象限，12,PFm PFn，试卷第 2页，共 6页由椭圆的定义可知：1212PFPFmna，由双曲线的定义可知：12

11、22PFPFmna，由此可解得：1212,maa naa，以线段21FF为直径的圆过点 P,所以221PFF，由勾股定理可知：222)2(nmc，即2212212)()(4aaaac，化简得：222122aac，即222221caa，所以2222221 caca，即2112221 ee故选：C8【答案】B解：由已知xy42 得)0,1(P显然，直线 l 不与 y 轴垂直设直线 l：1 myx联立142myxxy，得0442 myy，016162m，得12 m设11,A x y，22,B xy，12,0 x x，则421yy，得116222121yyxx，所以954254)1(41|4|2121

12、21xxxxxxBFAF，当且仅当21 x，212 x时等号成立，此时1423m，满足条件，故|4|BFAF 的最小值为 9故选：B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9【答案】BD解：若C 为双曲线,则0)3)(1(mm，故1m或3m，所以选项 A 正确；若C 为椭圆,则03,01mm且mm31，故31m且1m，所以选项 B 错误；若C 为圆,则mm31，故1m，所以选项 C 正确；若C 为双曲线，则1m或3m，当1m时，双曲线化为标准形式为11322mxmy，此时1,

13、322mbma，所以mbac22222不是定值，则焦距也不为定值，同理3m焦距也不为定值，故选项 D 错误综上，选 BD10【答案】BC解：选项 A：当11k 时，对应倾斜角14，当21k 时，对应倾斜角432，错误；对于 B：022myxyx表示圆，则04)1(12m，即21m，故 B 正确；对于 C：圆心到直线的距离2211|1|d，且圆心为0,0 且半径为2，故圆上有三个点到直线距离为1，故 C 正确；对于 D：经过点)2,1(且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线还有过原点的直线=y x，错误故选：BC11【答案】BCD解：抛物线的标准方程为yx212，易知点 F 的坐标为)81,0

14、(，选项 A 错误；若BFAF，则 AB 过点 F，根据抛物线的性质知，AB 过焦点 F 时，82|1|1pBFAF，选项 B正确；81|1 yAF，AF 的中点到 x 轴的距离|212811AFyd，故以 AF 为直径圆与 x 轴相切，选项 C正确；抛物线212xy的准线方程为18y ，过点PBA、分别作准线的垂线 AM，BN，PQ，垂足分别为QNM、试卷第 3页，共 6页所以|AFAM，|BFBN，所以1|BF|AF|BN|AM|，所以线段212|BNAMPQ，所以线段 AB 的中点 P 到 x 轴的距离为83812181|PQ，选项 D 正确故选：BCD12【答案】AD解：设12PF F

15、的内切圆半径为 r，因为212121FIFIPFIPFSSS成立，所以|2121|21|212121FFrPFrPFr，即|21|2121FFPFPF，由双曲线的定义得122PFPFa，cFF2|21，所以ca2212，2e，所以 A 正确；直线l：02 kykx过定点)0,2(，2c，可得3,1ba，双曲线实轴长为622a，所以满足条件与双曲线左右两支相交的直线有两条，当 AB 垂直于 x 轴时，此时6|AB，斜率不存在，不符合题意，所以 B 不正确；双曲线方程为1322 yx，渐近线方程为xy3，所以3k，或3k，所以 C 不正确；设内切圆与1PF、2PF、12F F 的切点分别为 M、N

16、、T，可得11|PMPNF MFT，11|PMPNF MFT，22F NF T，由1212122PFPFF MF NFTF Ta，12122F FFTF Tc，可得2F Tca，可得 T 的坐标为)0,1(，即的横坐标为 1，故 D 正确；故选：AD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13【答案】3或 21解：利用点到直线的距离公式可得:221|43|1|42|mmmm,解得3m或21m故答案为：3或 2114【答案】3解：双曲线221xmy 的方程可化为：)0m(1m1yx22渐近线方程为xmy1，所以331 m，解得：3m故答案为：315【答案】15422 yx)0(

17、x436解：如图所示：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.64|MB|MA|，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故242a,a，362c,c，5b，故轨迹方程为：15422 yx)0(x，根据题意知：)33,6(C，4364|2|ACaMAMCMCMB，当 AMC 共线时等号成立故答案为：15422 yx)0(x；43616【答案】21解：设CBA、坐标分别为),(),(),(332211yxyxyx，试卷第 4页，共 6页又点都在抛物线24xy上，则122122121212444yyyyyyxxyykAB，则4121yykAB，同理4131yykA

18、C，4132yykBC，所以21431324222111321yyykkkBCACAB故答案为：21四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）1222 yx；（2）xy82，xy3解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为 yx2，设双曲线方程为 222yx，.2 分又双曲线经过点 P(2，6)，代入方程可得1，.4 分所以双曲线的方程为1222 yx.5 分（2）抛物线mxy82 的焦点为)0,2(m，.6 分由双曲线1322 ymx，可得3,022bma，则222243mmbac，.8 分解得1m或43m（舍去），.9 分所以抛物线方程为

19、xy82，双曲线的渐近线方程为xy3.10 分18【答案】（1）5)2()1(22yx；（2）01 yx解：（1）设圆 M 的方程为220 xyDxEyF，.1 分因为圆 M 过)1,1(),3,3(),4,0(CBA三点，所以有011033990416FEDFEDFE，.2 分解得0,4,2FED，.4 分 ABC外接圆 M 的方程为04222yxyx，即5)2()1(22yx，.5 分ABC外接圆 M 的面积52 rS.6 分（2）设圆心到直线的距离为 d，222522|ddrPQ，所以当 d 取最大值时，|PQ 最小.8 分因为|MNd，|maxMNd，此时lMN ，1lMN kk，所以

20、1lk.10 分直线l 的方程为21xy，即01 yx.11 分综上可得，直线l 的方程为01 yx.12 分19【答案】(1)证明见详解；(2)2142.证明：PD 平面 ABCD，ABCDBC平面，BCPD，.1 分四边形 ABCD为正方形，BCCD，DPDCD，PCDBC平面，.3 分PCDDF平面，DFBC，.4 分已知PBDF，BPBBC，所以PBCDF平面，PBCPC平面，.5 分PCDF，又 F 为 PC 的中点，所以CDPD.6 分（2）由于四边形 ABCD为正方形，PD 平面 ABCD，不妨设2PD，则以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 DACP，如图所示，则(0,0,2

21、)P，(2,2,0)B，0,2,0C，(0,0,0)D，(1,0,0)E，0,1,1F，.7 分)2,2,2(PB，设平面 BEF 的法向量),(zyxn，又)0,2,1(EB，)1,1,1(EF试卷第 5页，共 6页则020yxEBnzyxEFn，令1y，得)3,1,2(n，.9 分设直线 PB 与平面 BEF 所成角为，则214214124|cos|sinnPBnPBnPB.11 分即直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值2142.12 分20【答案】(1)1222 yx；(2)12.解：(1)设椭圆C 的焦距为）（02cc，则)0,(),0,(21cFcF，1c，.1 分由已知可得1

22、12112222baba,解得1,2ba，.3 分所以椭圆C 的方程为1222 yx；.4 分（2）由题意：可设l 的方程为 ykxm(k 存在且0k).5 分与椭圆C 联立消去 y 可得222124220,kxkmxm.6 分由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为00,xy由判别式22244 1 2220kmkm，整理得：2212mk.7 分解得0021,kxymm，.9 分因此，直线OM 的斜率为kkOM21，.10 分而直线l 的斜率为 k，即直线OM 与直线l 的斜率之积为2121kkkklOM.11 分所以直线OM 与直线l 的斜率之积为21.12 分21【答案】(1)11；(2)5.

23、解：(1)由双曲线12:22 yxC，可得2a，1b，所以3c，.1 分所以 3,0F，设 11,A x y，22,B xy，333001FMk，所以直线l 的方程为133xy，.2 分由2213322yxxy联立得：012342xx，所以12,342121xxxx，.4 分11441)(3331)133)(133(21212121xxxxxxyy，.5 分11112),(),(21212211yyxxyxyxOBOA.6 分(2)由题意知直线l 的斜率存在，不妨设直线1:kxyl，由22122yxkxy可得：044)21(22kxxk，.7 分所以221214kkxx，221214kxx，.

24、8 分)2,(11yxPA，)2,(22yxPB，)3)(3()2)(2(21212121kxkxxxyyxxPBPA.9 分9)(32121221xxkxxkxx.10 分5949218492143214214222222kkkkkkkk.11 分所以5 PBPA为定值.12 分试卷第 6页，共 6页22.【答案】（1）xy42；（2）)0,1(M.方法一：解：（1）如图，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 H，交直线1x于点 P，设动圆的圆心为 E，半径为 r，则 E 到 y 轴的距离为 r，在梯形 OFPH 中，由中位线性质可得12|rPH，所以rrPP2112|，又2PFr，所以|PFP

25、P，.2 分由抛物线的定义知，点 P 是以)0,1(F为焦点，以直线1x为准线的抛物线，.3 分所以曲线 C 的方程为：xy42；.4 分方法二：设动圆的圆心为 E，),(yxP，则)2,21(yxE，.1 分由圆 E 与 y 轴相切可得ExPF2|.2 分即|21|2)1(22xyx，.3 分整理可得xy42；.4 分（2）设点)0)(0,(ttM，由题意知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为tmyx，点),(11 yxQ，),(22 yxR，由24xmytyx得，2440ymyt，.5 分则216160mt，124yym，124yyt.6 分又|1)()(|1221212121ymyttmyytxMQ，同理可得|1|22ymMR，.8 分则有|11|11|1|12212ymymMRMQ|1|21221yymyy|1|21221yymyy.9 分1|1|4|116)4(|14)(222221221221mtmttmtmyymyyyy.10 分若|1|1MRMQ 为定值，则1t，此时点)0,1(M为定点.11 分又当1t，mR时，0，所以，存在点)0,1(M，当过点 M 的直线l 与抛物线C 交于Q、R 两点时，|1|1MRMQ 为定值 1.12 分