湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三上学期月考（五）数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）数学命题人：曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若i 为虚数单位，则()()2i 1 i+的虚部为（）A.i B.1 C.

2、i D.-1 2.若集合2log1,1AxxBx x=，则 AB=R（）A.01xx B.12xx C.10 xx 或02x D.2x x”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.要得到函数()cos 23g xx=+的图象，可以将函数()sin 26f xx=+的图象（）A.向右平移 3个单位长度 B.向左平移 3个单位长度 C.向右平移 6个单位长度 D.向左平移 6个单位长度 5.已知()()4223,0,0,xxxf xg xx=若()f x 为()(),00,+上的奇函数，()0(0)g aa=的左右顶点分别为12,A A F 为

3、C 的右焦点，C 的离心率为 2，若P 为C 右支上一点，2PFFA，记1202A PA=，则 tan=（）A.12 B.1 C.3 D.2 7.已知二面角l 的平面角为0,2ABCl Dl ABl AB=，则1(12)2pp，前n 项积为nT，若768TTT，则（）A.01q C.13141TT D.14151TT 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()22024f xf xf+=，且()21fx+是奇函数，则（）A.()f x 的图象关于点()1,0 对称 学科网（北京）股份有限公司B.()()04ff=C.()21f=D.若1122f =，则10011 02iifi=1

4、2.,D E 是 ABC边 BC 上的点，其中,3BADCAE BC=，且13BD BECD CE=.则 ABC面积的可能取值为（）A.9 34 B.3 32 C.3 3 D.7 32三填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.5(12)x+的展开式中4x 的系数是_.（用数字作答）.14.函数()sin2f xxxx=+的图象在2x=处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为_.15.四棱锥 PABCD的底面 ABCD 是平行四边形，点,E F 分别为,PC AD 的中点，平面 BEF 将四棱锥PABCD分成两部分的体积分别为12,V V，且满足12VV，则12VV=_.1

5、6.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,F F，离心率为e，点 P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q，连接2QF，若存在点 P 使2PQQF=成立，则2e 的取值范围为_.四解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）已知数列 na是等差数列，其前 n 项和为nS，且247213,49aaS+=.（1）求 na的通项公式；（2）设2 nannba=+，求数列 nb的前n 项和nT.18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 PABC中，PA 平面,1,3ABC PAABBCPC=.学科网

6、（北京）股份有限公司（1）求证：BC 平面 PAB；（2）求二面角 APCB的大小.19.（本小题满分 12 分）在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，且()3sincosabCC=+.（1）求 B；（2）已知2 3,BCD=为边 AB 上的一点，若1,2BDACD=，求 AC 的长.20.（本小题满分 12 分）已知函数()()sinexxf xx=R.（1）求()f x 的单调区间；（2）若对于任意的()0,2xf xkx恒成立，求实数k 的取值范围.21.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 为 x 轴正半轴上的一个动点.以 F 为焦点O 为

7、顶点作抛物线2:2(0)C ypx p=.设 P 为第一象限内抛物线C 上的一点，Q 为 x 轴负半轴上一点，设(),0(0)Qaa，使得 PQ 为抛物线C 的切线，且2PQ=.圆12C C均与直线OP 切于点 P，且均与 x 轴相切.学科网（北京）股份有限公司（1）试求出,a p 之间的关系；（2）是否存在点 F，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分 12 分）现有一种不断分裂的细胞 X，每个时间周期T 内分裂一次，一个 X 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 X细胞，每次分裂后原 X 细胞消失，设每次分裂成一个新 X 细

8、胞的概率为 p，分裂成两个新 X 细胞的概率为1p；新细胞在下一个周期T 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 X 细胞，在第一个周期T 中开始分裂，其中1,12p.（1）设2T 结束后，X 细胞的数量为，求 的分布列和数学期望；（2）设()*nT nN结束后，X 细胞数量为 m 的概率为()mPn.（i）求()2P n；（ii）证明：()32827P np.学科网（北京）股份有限公司大联考长郡中学 2024 届高三月考试卷（五）数学参考答案题号123456789101112答案DBCBCACDBDACABDAB1.D 【解析】因为()()2i 1 i22ii 13i+=+=，故

9、选 D.2.B 【解析】不等式2log1x 解得02x，则 02Axx=，1,111,12Bx xBx xxxABxx=，即22ab，即 ab，所以“ab+与ab所成角为锐角”是“ab”的充分必要条件.故选 C.4.B 【解析】()()55sin2,sin 2sin212612f xxg xxx=+=+=+，512123=，故选 B.5.C 【解析】由题意可得当0a 时，()()0f ag a=，因为()f x 为()(),00,+上的奇函数，所以()()f afa=，所以()()()()4222230,1230g afaaaaa=+=+=，学科网（北京）股份有限公司所以21a=（舍去），或2

10、32a=，因为0a，所以62a=.故选 C.6.A 【解析】设C 的焦距为2c，点()00,P xy，由C 的离心率为 2 可知2,3ca ba=，因为2PFFA，所以0 xc=，将()0,P c y代入C 的方程得220221ycab=，即03yb=，所以()2133tan3,tan1bbPA FPA Fcaca=，故()213 11tantan1 3 12PA FPA F=+.故选 A.7.C 【解析】作 AECD，垂足为 E，连接 BE，因为 ABl，即,ABCD AEABA AE AB=平面 AEB，故CD 平面,AEB BE 平面 AEB，故CDBE，又CD 平面 ，故平面 AEB

11、平面 ，平面 AEB 平面BE=，则 AB 在平面 内的射影在直线 BE 上，则ABE为 AB 与平面 所成角，即3ABE=，由于,AECD CDBE，故AEB为二面角l 的平面角，即02AEB=，121212AECDSAESBEBECD=，在 ABE中，sinsinsinAEBEABABEBAEAEB=，则sin31sin2sinAEABEBEBAEBAE=，而02=，则1(12)(23)(2)(3)2PPPPp=，故 B 正确；对于 C，在回归分析中，2R 越接近于 1，模型的拟合效果越好，2R为 0.98 的模型比2R 为 0.89 的模型拟合的更好，故C 错误；对于D，某人在 10 次

12、答题中，答对题数为(),10,0.8X XB，则数学期望()10 0.88E X=，故 D 正确.故选 BD.学科网（北京）股份有限公司10.AC 【解析】因为等比数列 na的公比为(0)q q 且768TTT，则61 2 3 4 56156123456110Ta a a a a aa qa q+=，所以78778661,1TTaa aTT=，则278701a aa ，从而10a，故对任意的*11,0nnnaa q=N，由7870aaa q=可得01q=，C 对 D 错.故选 AC.11.ABD 【解析】A 选项，由题意知，()()2121fxfx+=+，则()()110fxf x+=，所以(

13、)f x 图象的对称中心为()1,0,A 正确；B 选项，()()()()()()22024,422024f xf xff xf xf+=+=，两式相减得()()4f xf x+=，所以()()40ff=，B 正确；C 选项，由B 选项可得，()f x 的周期为 4，又20244 506=，故()()()()220240f xf xff+=，令0 x=得，()()()200fff+=，得()20f=，所以C 错误；D 选项，因为()()110fxf x+=，令1x=得，()()020ff+=，又()20f=，故()00f=，()()110fxf x+=中，令12x=得，311222ff=，由(

14、)()20f xf x+=，得511731,222222ffff=，又()f x 的周期为 4，则()()()()()135714144244344444122222nfnnfnnfnnfnn+=+()()()()()()()11114243444142434402222nnnnnnn+=+=，学科网（北京）股份有限公司所以10011 02iifi=，D 正确.故选 ABD.12.AB 【解析】由面积公式可得：1sinsin21sinsin2ABDADCADABBADSBDABBADSCDACCADADACCAD=，1sinsin21sinsin2ABEAECAEABBAESBEABBAESC

15、EACCAEAEACCAE=，因为BADCAE=，故CADBAE=，由13BD BECD CE=可得sinsin1sinsin3ABBADABBAEACCADACCAE=，即13ABAC=，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0BC，设(),A x y，则2222(3)3xyxy+=+，整理得到：2232724xy+=，即点 A 的轨迹是以3,02为圆心，3 32为半径的圆，故 ABC的 BC 边上的高的最大值为 3 32，故其面积的最大值为 9 34.故选 AB.三填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.80 【解析】5(12)x+的通项为155C(

16、2)2 CrrrrrrTxx+=，令4r=，得5(12)x+的展开式中4x 的系数是4452 C80=.14.1 【解析】由题意可得()sincos1fxxxx=+，学科网（北京）股份有限公司则2,222ff=+，故()f x 的图象在2x=处的切线方程为()222yx+=，即22yx=+.令0 x=，得2y=；令0y=，得1x=，则所求图形的面积为 12 112 =.15.75 【解析】如图，延长,BF CD 交于点G，连接GE 交 PD 于点 M，因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 FDG与 FAB全等，且 FDG与 BCG相似，相似比为 12，设 FDG的面积为 S，则四边形 BCD

17、F 的面积为3S，设点 P 到底面 ABCD 的距离 为 h，则1113322E BCDFVShSh=，又因为 E 为 PC 的中点，所以1122E DFMC DFMG DFMVVV=，而111,3326E DFGE DFGG DFME DFME DFMVShSh VVVV=+=，所以118E DFMVSh=，所以259MECBFDE BCDFE DFMVVVVSh=+=，所以121574399P ABCDVVVShShSh=，所以1275VV=.16.)8 211,1 【解析】设11,QFm PFn=，则22QFam=.显然当 P 靠近右顶点时，学科网（北京）股份有限公司2PQQF，所以存在

18、点 P 使2PQQF=等价于()22min0,22PQQFPQQFmna=+，在12PF F中由余弦定理得22221121122cosPFPFF FPF F F=+，即222(2)422cosanncnc=+，解得2cosbnac=，同理可得2cosbmac=+，所以2112amnb+=，所以()()22232 2112223222bbbnmmnmnamnamna+=+=+，所以22min(21)(22)22bmnaaa+=，当且仅当2nm=时等号成立.由22(21)202baa+得22128 2ba，所以28 2111e，cos3sinBB=，所以3tan3B=，()0,6BB=.（2）2

19、3,1,6BCBDB=，根据余弦定理得 22232cos1 122 1 2 37,72CDBCBDBC BDBCD=+=+=.,sinsincos22BDCABDCAA=+=+=.在 BDC中，由正弦定理知，2 37,1sinsincos2BCCDBDCBA=，212 7cos,0,sin727AAA=，sin2 321tan,cos32ACDAACAAC=.20.【解析】（1）()2coscossin4eexxxxxfx+=，令()0fx，则cos04x+，即()2 2 242kxkk+Z，解得()f x 的递增区间为()32,2 44kkk+Z；令()0fx，则cos04x+，即()32

20、2 242kxkk+Z，学科网（北京）股份有限公司解得()f x 的递减区间为()52,2 44kkk+Z.所以，()f x 的递增区间为()32,2 44kkk+Z，递减区间为()52,2 44kkk+Z.（2）因为对于任意的()0,2xf xkx恒成立，所以 sinexxkx对于任意的0,2x恒成立，当0 x=时，k R；当0,2x时，sinexxkx，令()sin,0,e2xxg xxx=，所以()2cossinsinexxxxxxgxx=.令()cossinsin,0,2h xxxxxx x=，所以()sinsincos0h xxxxxx=在0,2x上恒成立，所以()h x 在0,2上

21、单调递减，所以()()00h xh=，即()0gx，点(),0(0)Qaa，设:(0)PQlxmya m=，将其与抛物线C 的方程联立，消去 x 得2220ypmypa+=.因为 PQ 与抛物线C 切于点 P，所以方程的判别式为2244 20p mpa=，解得2amp=.进而，点(),2P apa.故222101242PaPQmypaapap=+=+=+.由2PQ=，则2424apa+=.（2）设圆12C C的圆心分别为()()111222,Ox yOxy.注意到，OP 与圆12C C均切于点 P，故12OPO O.设圆12C C与 x 轴分别切于,M N，如图所示：则12,OO OO 分别为

22、POMPON的角平分线，故112212,90O MO P O NO PO OO=，易知21OPOO PO，则12O POPOPO P=，2222121212|2PPy yO MO NO PO POPxyapa=+=+.结合式有2212243y yapaa=+=.由12,O P O 三点共线得111112222222PPO PO MypayyyyyPOO Nypay=，学科网（北京）股份有限公司化简可得121222yyy ypa+=.令2212Tyy=+，于是，圆12C C的面积之和为 T.根据题意，仅需考虑T 取最小值的情形，根据知()()()()()222222221212121222432

23、4422432 432441aaTyyy yy yy yaapaaa=+=.令21ta=，由()()23111144420,0,34 2 342 34tttapatTttttt+=+=+.当且仅当33t=时，上式等号成立.此时，1113at=.结合式（2）得213121333313patta=.故点 F 的坐标为1,033.22.【解析】（1）2 个T 结束后，的取值可能为1,2,3,4，其中()21Pp=，()()()23211Pppp ppp=+=，()()()()12331C12(1),4(1)nPpppppPp=，所以 分布列为 1 2 3 4 P2p3pp22(1)pp3(1)p()

24、()232321232(1)4(1)44Epppppppp=+=+.（2）（i）()2P n 表示分裂nT 结束后共有 2 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个 X 细胞.不妨设在第kT 时分裂为 2 个 X 细胞，之后一直有 2 个 X 细胞，此事件概率()()()12212,11n kknkkPppppp=，学科网（北京）股份有限公司所以2122,12,22,1()(1)nnknkP nPPPpp=+=()2111(1)1nnknnkp pppp=.（ii）()3P n 代表分裂nT 后有 3 个细胞的概率，设细胞 X 在 kT 后分裂为 2 个新的 X 细胞，这两个 X 细

25、胞在剩下的()nk T中，其中一个分裂为 2 个 X 细胞，一个保持一直分裂为 1 个 X 细胞，此事件的概率()()()()11113,221C121kn kkn kn kn kkPpppP nkppppp=，得()()223223,2121nknkkPpppppp=，2232233,13,23,11()2(1)2(1)nnnknknkkP nPPPpppppp=+=()()()()()1122112111nnnnnnppppppppp p=+，其中()1,1,0,12npp.令()()()()()()()32221211,11nxpxxxxxxpP np pp p=单调递增；当()()1,1,0,3xfxf x单调递减.故()max14327f xf=，也就是()()3228827 127P np pp+.