小学数学讲义暑假五年级第10讲比和比例优秀A版.pdf

1、1第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲漫画释义五年级暑假分数乘除五年级暑假分数加减五年级暑假比和比例五年级秋季循环小数五年级秋季定义新运算比和比例意义及性质；比例方程；化连比知识站牌第十讲 比和比例2第 9 级上优秀 A 版教师版“”我们每一个人最熟悉的符号之一，在我们的数学学习和日常生活中几乎离不开它，可是别看它这么简单，关于它的形成还有段美丽的传说：由于历史和文化不同，在“”表示除法之前，除号有多种表示方法，其中有些国家用分数线作除号，另一些国家用“：”作除号，有一次来自不同国家的数学家在一起讨论问题，大家都说要用自己国家的除法符号表示除法，一直争论不休，差点打起来，最后决定让中立

2、国的瑞士大数学家拉哈当法官进行裁判，他看了两国提供上来的符号，突然有灵感，将分数线和比号结合在一块，就形成了我们现在除法符号“”.但是后来发现“”这一个符号承担的东西太多，于是又将它拆开，用“”和“：”表示除法的不同含义，前面我们学习了第一个内容分数，今天我们将学习第二个内容比和比例.1、理解比和意义和性质，能熟练利用比的性质化简比、求比值和化连比；2、理解比例的基本性质，能熟练利用比例的基本性质构造比例和解比例方程；一、比的意义34也可以写作3:4，读作 3 比 4，比表示两个数的相除关系，两个数相除又叫做两个数的比，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，比的结果叫比值比与除法和分数的关系

3、比除法分数前项被除数分子后项除数分母比值商分数值比的性质由于 3468，所以 3:46:8，因此得到比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，比值不变.二、比例的意义（1）比例的定义：表示两个比相等的式子叫做比例.如：9612:154:5128组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.例如：经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲在以上 3 个比例中，我们可以发现：12:154:512515460969 8126721282.4:1.660:402.4401.66096（2）比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等

4、于两个内项的积.解比例：根据比例的基本性质，如果我们已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项.求比例中的未知项，就叫做解比例.如：:1201:5x5120 1x 120 15x24x（3）比和比例的区别：比是表示两个数相除的关系；比由两项组成（前项、后项）；任意两个数都能组成比.比例是表示两个比相等的关系；比例由四项组成（两个内项、两个外项）；任意四个数不一定都能组成比例.三、正比例和反比例（选讲）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的比值一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系如果用字母 x、y 表示两种关联的

5、量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用下面式子表示：yx=k（k 一定）反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系如果用字母 x、y 表示两种关联的量，用 k 表示它们的乘积反比例关系可以用下面式子表示：xy=k（k 一定）模块 1：例 1-2，比的概念及性质例 1：比的概念、例 2：化简比、求比值模块 2：例 3-4，比例的基本性质及解比例例 3：比例的基本性质例 4：解比例模块 3：例 5，化连比例 5：化连比外项内项2.4:1.6=60:40例题思路4第 9 级上优秀 A 版教师版

6、1、在下列括号内填上适当的数（1）两个数相除又叫做这两个数的（）.（2）比的前项相当于除法的（），后项相当于（），比值相当于（）；比的前项相当于分数的（），后项相当于（），比值相当于（）.（3）比的基本性质：比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数（零除外），比值（）.（4）六（1）班有男生 21 人，女生 31 人，男生与女生人数的比是（），男生与总人数的比是（）.（5）4:5=10（）=12：（）=（）252、判断对错（1）50 米：5 米=10 米.（）（2）一杯盐水，盐占盐水的 110，盐和水的比是 19.（）（3）4：3 的后项加上 6，要想比值不变，前项也要加上 6.（）（4）45

7、既可以看作分数，也可以看作比.（）（5）1 克糖溶解在 99 克水中，糖和糖水的比是 1：100.（）（6）化简 12：6 的结果是 2.（）【分析】1、（1）比（2）被除数除数商分子分母分数值（3）不变（4）21：3121：52（5）4:5=10（8）=12：（15）=（20）252、（1）（2）（3）（4）（5）（6）错误答案简要说明：同类量的比，比值是一个比率，没有单位；不同类量的比，比值是一个量，有单位.因此 1 错；3 题比的前项应该加 8；化简比最终的形式仍然是比的形式，因此 6 题应该是 2：1.1、化简比（最终仍然是比的形式）（1）1525（2）1227（3）1.22.8（4）

8、7 21:8 16（5）31:0.34（6）33:45（7）6:12:18（8）1 1 1:3 4 5（9）3 2 1:4 5 82、求比值（最终为整数、小数或分数形式）24：12351200.12：0.095例 2例 15第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲3 2:8 90.3:385 米:1.5 千米（学案对应:学案 1）【分析】1、化简比（1）15：25=3：5（2）124=279（3）1.2：2.8=3：7（4）7 21:2:38 16（5）373710351:0.3=35:644 10436：（6）33:4=9:105（7）对于整数连比，只要除以它们的最大公因数；(6,12,

9、18)66:12:18(66):(126):(186)1:2:3（8）对于含有分数和小数的连比，先化成整数连比，再化简.1 1 11113,4,560:(60):(60):(60)20:15:123 4 5345（9）3 2 1:=3016:54 5 8：2、求比值24:12=235120=7240.12：0.095=24193 2:8 9=27160.3:38=455 米:1.5 千米=1300【教学提示】结合化简比和求比值，我们可以看出两者的相似之处.但它们是完全不同的两个概念：比值是一个数值，比是两数的关系.比值和比都可以用分数表示，但分数表达的意义是不同的，前者是一个数，后者是两数的关

10、系.【想想练练】化简下列各比：(1)80120(2)10.7:2 4(3)1.25:375升毫升【分析】（1）8080402120120403（2）171710.7:2:2(20):(220)14:454104104或10.7:20.7:2.25(0.7 100):(2.25 100)70:225(705):(2255)14:454（3）1.25:3751250:3751250 125:375 12510:3升毫升毫升毫升（）（）6第 9 级上优秀 A 版教师版下面 4 个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：3,4,6,8（学案对应：学案 2）【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要

11、找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.3:46:83:64:83 8464:38:66:38:4 （注：4 个数写成的比例是 4 个还是 8 个一直有争议，有老师认为 3：4=6：8 与 6：8=3：4 是不同的式子，因为它们的内外项发生变化；但从比例的定义入手，表示两个比相等的式子叫做比例，上面的式子仅仅是左右换了一个顺序，还是这两个式子，因此是一个比例.苏教版数学课本第 43 页题目如下：3：6=2：4，你能说出其他三个比例的内项和外项各是多少吗？）【想想练练】一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是 18，另一个外项是【分析】内项之积为 1，所以另一个外项是 8解下列的方程（1）:251

12、2:75x（2）125:42x（3）21812x 例 4例 3黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为 10.618，即长段为全段的 0.618。0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观

13、，声音传播得最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种 0.618 法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。7第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲（4）24:325x（学案对应：学案 3）【分析】（1）7525 12x，解得4x；（2）12542 x ，解得200 x（3）12182x，解得3x（4）24253 x，解得150 x(1):3:2

14、,:3:5a ba c，则:_a b c(2):4:3,:2:1a bb c，则:_a b c(3):2:3,:2:3,:2:3a bb cc d，则:_a b c d(4)若:1:2:3a b c，则 1 1 1:_a b c（学案对应：学案 4）【分析】(1)3：2：5；(2)8：6：3；(3)8：12：18：27；(4)6：3：2【想想练练】甲、乙、丙、丁四个数，甲：乙=3:4，乙:丙=3:4，丙:丁=3:4 则甲、乙、丙、丁四个数的比是.【分析】甲：乙：丙：丁27:36:48:64（1）甲、乙、丙三个数，甲的 27等于乙的 14，又等于丙的35，则甲、乙、丙三个数的比是.杯赛提高黄金分

15、割比你听说过黄金分割比吗？1：0.618 是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。从古希腊以来，一直有人认为把黄金比应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉。在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，换言之，若人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接越近 0.618，越给人以美感，若一个人身高是 1.50米，那么他的下半身长度是多少时，才会给人以最美感?答案：0.927 米例 58第 9 级上优秀 A 版教师版（2）甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的 12，丙等于甲、乙两数和的 57，则甲、乙、丙三个数的比是.【分析】（1）甲：乙：丙21:2

16、4:10（2）由于三数和相同，4,3,1212，所以有:1:33:9甲（乙丙），乙：（甲+丙）1:24:8，甲：（乙+丙）5:7，所以甲：乙：丙3:4:51、（1）把144:63 化成最简单的整数比是，读作（2）把 310:0.75 化成最简单的整数比是，比值是（3）把 1142:3 化成最简单的整数比是，比值是【分析】根据比的基本性质，我们可以让前项和后项同时乘以或除以一个数，使得前项和后项为两互质的整数.（1）144:63(1449):(639)16:7，读作“16 比 7”（2）310:0.753333:(203):(203)2:510 4104，比值是 25（3）1142:3=5 25

17、2:(12):(12)15:84 343，比值是1582、（1）1375xx（2）(32):(23)4:7xx【分析】（1）5(1)3(7)xx，解得8x（2）7(32)4(23)xx，解得2x 3、（1）12:30:42（2）1 2 3:2 3 4【分析】（1）对于整数连比，只要除以它们的最大公因数；(12,30,42)612:30:42(126):(306):(426)2:5:7（2）对于含有分数和小数的连比，先化成整数连比，再化简.1 2 31232,3,412:(12):(12):(12)6:8:92 3 42344、（1）在一副地图上，用 3 厘米的线段表示 18 千米的实际距离，这

18、副地图的比例尺是多少？（2）一个电子零件的实际距离是 2 毫米，画在图纸上的长度是 4 厘米，这张图纸的比例尺是多少？（3）在比例尺为 1:1000 的地图上，量得一栋大厦的地基（长方形）的长为 8 厘米，宽 5 厘米，这栋大厦地基的实际的长和和宽分别是多少米？面积是多少？（4）一副地图上，用 5 厘米的距离表示实际距离 1500 千米.在这副地图上量得 A、B 两地的距离是3.5 厘米，如果甲乙两辆汽车同时分别从 AB 两地相对开出，甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行57 千米，几小时相遇？附加题9第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲【分析】（1）比例尺=图上距离：实际距离，18

19、 千米=1800000 厘米，3:1800000=1:600000（2）比例尺=图上距离：实际距离，4 厘米=40 毫米，40:2=20:1（3）实际距离=图上距离比例尺，长：811000=8000 厘米=80 米，宽：511000=5000 厘米=50 米，面积为 8050=4000 平方米（4）同一张地图上比例尺一样，设 A、B 两地相距 x 千米，53.51500 x，解得 x=1050 千米，相遇时间：1050（48+57）=10 小时一、比的意义：比：两个数相除就叫做两个数的比比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0 除外），比值不变二、比例的基本性质：外项积等于内项积

20、；若 a:b=c:d则 ad=bc1、判断对错（1）化简 15：5 的结果是 3.（）（2）一杯盐水，盐占盐水的 110，盐和水的比是 110.（）（3）1 克糖溶解在 99 克水中，糖和糖水的比是 1：99.（）（4）4：3 的后项加上 9，要想比值不变，前项也要加上 9.（）（5）30 米：5 米=6 米.（）（6）一个比的前项与后项同时扩大 3 倍，则比值也扩大 3 倍.（）【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、化简下列各比：(1)40720(2)30.3:4 4(3)6.25:375米毫米【分析】（1）40404017207204018（2）33 194190.3:4:(20

21、):(20)8:95410 4104（3）6.25:3756250:3756250125:375 1250:3米毫米毫米毫米=（）（）=53、求比值27：6339:520.6:2115【分析】27：63=3739:52=340.6:2115=917家庭作业知识点总结10第 9 级上优秀 A 版教师版4、一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是 56，另一个内项是【分析】外项之积为 1，所以另一个内项是 655、解下列的方程（1）25:10:4x（2）2157.5x【分析】（1）10254x，解得10 x（2）7.52 15x，解得4x 6、甲、乙、丙三个数，甲数与乙数的比是 3:7，乙数与丙数的

22、比是 4:3，则甲、乙、丙三个数的比是多少？【分析】甲：乙：丙12:28:21【学案 1】把下面比化成最简比：（1）39:26（2）27135（3）3 2:4 5【分析】根据比的基本性质，我们可以让前项和后项同时乘以或除以一个数，使得前项和后项为两互质的整数.（1）39:26(3913):(2613)3:2（2）272793=3:14126126914（3）3 232:(20):(20)15:84 545【学案 2】下面 4 个数，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例：（1）4 5,7,9,（2）2,4,7,14【分析】比例的内项乘积等于外项乘积.那么只要找到乘积两两相等的关系，就能找到比例式.（1）找不到乘积两两相等的关系，所以不能（2）2 14472:74:142:47:142 14474:214:77:214:4 【学案 3】解下列的方程（1）5:24:62x（2）120:43x【分析】（1）56242x，解得10 x；A 版学案11第 9 级上 优秀 A 版教师版第 10 讲（2）12043 x，解得240 x【学案 4】甲、乙两个数，甲的 27等于乙的 34，则甲、乙两个数的比是.【分析】甲：乙21:8