小学数学讲义暑假五年级第13讲容斥原理超常体系.pdf

1、1第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级暑假容斥原理五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题漫画释义知识站牌第十三讲 容斥原理2第 9 级上超常体系 教师版容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问

2、题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题；3.会利用方程解决较复杂的容斥问题容斥原理容斥原理I：两量重叠问题ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且的意思)图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积容斥原理 II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC图示如下：经典精讲课堂引入教学目标1.先

3、包含 AB重叠部分 AB计算了 2 次，多加了 1 次；2.再排除 ABAB把多加了 1 次的重叠部分 AB减去3第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲CABACBBAC模块 1：两量的容斥例 1-3例 1：两量容斥例 2：容斥最值(利用线段图)例 3：容斥最值(需要判断)模块 2：三量容斥例 4：截长度例 5：开关灯例 6：容斥最值(浇花，答题)模块 3：容斥综合例 7：普通方程解容斥例 8：不定方程解容斥在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔；（2）标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅

4、笔；（3）标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【分析】1100，2 的倍数有 1002=50，3 的倍数有 1003=33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 1006=16 个于是，既不是 2 的倍数，例题思路例 1图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个数1先包含 ABC重叠部分 AB、BC、CA重叠了 2 次，多加了 1 次2再排除 ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了 3 次，但是在进行ABCAB

5、BCAC计算时都被减掉了3再包含 ABCABBCACABC4第 9 级上超常体系 教师版又不是 3 的倍数的数在 1100 中有 100-50-33+16=33所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：502+333+331=232 支.(1)有 100 种食品.其中含钙的有 68 种，含铁的有 43 种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是_、_.(2)某班共有学生 48 人，其中 27 人会游泳，33 人会骑自行车，40 人会打乒乓球那么，这个班三项运动都会的人数的最大值和最小值分别是_、_.(3)某班有 46 人，其中有 40 人会骑自行车，38 人会打乒乓球，35 人会打

6、羽毛球，27 人会游泳，那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是_、_.(4)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了75 盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，那么，恰好被 3 个人浇过的花最少有_盆.(5)60 人中有 23 的人会打乒乓球，34 的人会打羽毛球，45 的人会打排球，这三项运动都会的人有22 人，那么，这三项运动都不会的最多有_人.(6)甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有 100 个故事每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读已知甲读了 75 个故事，乙读了 60 个故事，丙读了 52 个故事那么，甲、乙、丙

7、3人共同读过的故事最少有_个.【分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配(1)最大值就是含铁的有 43 种.根据容斥原理最小值 68+43-100=11，最小值可以用下图表示：1132铁钙68100(2)最大值为 27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多因此可以先让所有人都会两项剩下的就是三项都会的最小值27+33+40-482=4(3)同上分析：最大值为 27，最小值为 40+38+35+27-463=140-138=2 人(4)为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多

8、是 30 盆，那么接下来就变成乙浇了 45 盆，丙浇了 50 盆，丁浇 60 盆了，这时共有1003070盆花，我们要让这 70盆中恰好被 3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被 3 个人浇过的花最少有45506070215盆(5)2346040;6045;6048345.此题中有 22 人三项全会，要让都不会的最多，那么会两项的就应该最多(40+45+48-223)2=331因此除了 22 人外，至少还有 34 人会 2 项或 1 项运动都不会的最多有 60-22-34=4 人(6)考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过的为75-3

9、5=40 个，乙单独读过的为 60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为 52-40=12 个例 25第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲(1)参加语文竞赛的有 8 人，参加数学竞赛的有 9 人，参加英语竞赛的有 11 人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛(2)某班有50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 23 人，参加英语竞赛的有 20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人(3)参加语文竞赛的有 8 人，参加数学竞赛的有 9 人，参加英语竞赛的有 21 人，每人最多参加两科，那么至少

10、有人参加这次竞赛【分析】此类问题算出最值后，一定要检验是否能办到原因可见(3)小题(1)由于每人最多参加 2 科，也就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加 2 科，所以理论上至少有(8911)214人参加竞赛，1495，14113，参加语文和英语竞赛的有 5 人，参加语文和数学竞赛的有 3 人，参加数学和英语竞赛的有 6 人，符合题意，因此至少有 14 人参加竞赛(2)根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071人次由于每人最多参加 2 科，也就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，也有不参加的，共是 71 人次要求参加 2 科的人数最多，则让

11、这71人次尽可能多地重复，而712351，所以至多有35 人参加 2 科，此时还有 1 人参加 1 科那么是否存在 35 人参加两科的情况呢？由于此时还有 1 人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215人，参加语文、英语两科的共有281513人，参加数学、英语两科的共有20137人也就是说，此时全班有 15 人参加语文、数学两科，13 人参加语文、英语两科，7 人参加数学、英语 2科，1 人只参加数学 1 科，还有 14 人不参加检验可知符合题设条件所以 35 人是可以达到的，则参加 2 科的最多有 35 人（当然本题中也可以假设只参

12、加一科的参加的是语文或英语）(3)由于每人最多参加 2 科，也就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加 2 科，所以理论上至少有(8921)219人参加竞赛，但参加英语竞赛的有 21 人，因此至少应该有 21 人参加竞赛.例 36第 9 级上超常体系 教师版一根 1001 厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔 7 厘米画一个刻度，第二次每隔 11 厘米画一个刻度，第三次每隔 13 厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段?(学案对应：超常 1，带号 1)【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于 1、

13、2、3、1000、1001 这 1001 个自然数中 7 或 11 或 13 的倍数的个数，为：1001100110011001100110011001281711137 117 1311 137 11 13，故木棒上共有281 个刻度，可以截出 281 段(注：此题中 1001 恰好是 7，11，13 的倍数，因此最后一个刻度不需要截若是 1002，那么刻度还是 281 个，但截成的是 282 段)有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为 1，2，3，2000，然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线

14、拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？棣莫弗的传奇容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概率论的教材机会的学说中提出的。棣莫弗 1667 年 5 月 26 日生于法国维特里的弗朗索瓦的一个乡村医生之家，其父一生勤俭，以行医所得勉强维持家人温饱棣莫弗自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不浓，学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习，这对他的性格产生了重大影响随后，他离开农村，进入色拉的一所清教徒学院继续求学，这里却戒律森严，令人窒息，学校要求学生宣誓效忠教会，棣莫弗拒绝服从，于是受到了严厉制裁，被罚背诵各种宗教教义那时，学校不重

15、视数学教育，但棣莫弗常常偷偷地学习数学在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于赌博的著作，特别是惠更斯于 1657 年出版的论赌博中的机会一书，启发了他的灵感写出了代表作机会的学说。然而尽管棣莫弗在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒自从到了英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师棣莫弗在 87 岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达 20 小时。当达到 24 小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡 1/4 小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24 小时时，棣莫弗就长眠不醒了.

16、例 4例 57第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲532GFEDCBA(学案对应：超常 2，带号 2)【分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是 6、10、15 的倍数但不是 30 的倍数的数12000 这 2000 个正整数中，2 的倍数有 1000 个，3 的倍数有 666 个，5 的倍数有 400 个，6 的倍数有 333 个，10 的倍数有 200 个，15 的倍数有 133 个，30 的倍数有66 个，亮着的灯一共有 20001000666400+2（333+200+133）466=1002 盏【铺垫】写有 1 到 100 编号的灯 100 盏，亮着排成一

17、排，每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？【分析】如图，拉 0 次的亮，拉 1 次的灭，拉 2 次的亮，可见亮灯分两部分，拉 0 次部分为：100100100100()533515盏，拉 2 次的灯为 100615 盏从而亮灯数 53+6=59 盏3的倍数5的倍数亮亮灭灭在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75 盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？(学案对应：超常 3，带号 3)【分析】法 1：首先，应该让尽量多的花被浇了 4

18、次.那么有 30 盆花被浇了 4 次.这时还剩下 70 盆花，乙还要浇 45 盆、丙还要浇 50 盆，丁还要浇 60 盆.然后，要让尽量多的花被浇 3 次，那么，有 45 盆花被浇了 3 次.这时还剩下 25 盆花没浇，丙还要浇 5 盆，丁还要浇 15 盆.如果丙、丁浇的都不是一盆花，那么有 20 盆花被浇了 1 次，还有 5 盆花没有浇.拿出 3 盆被浇了 3 次的花，和这 5 盆没被浇过的花放在一起，那么，可以让其中 7 盆花浇一次，1盆浇两次.那么最多有 27 盆花恰好被浇了 1 次.法 2：100 盆花共被浇水 275 次，平均每盆被浇 2.75 次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需

19、要被浇 4 次的花尽量多，为 30 盆，那么余下 70 盆共被浇 155 次，平均每盆被浇 2.21次，说明需要一些花被浇 3 次才可以我们假设 70 盆都被浇 3 次，那么多出 55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次，所以本题答案为 27 盆法 3：设被浇过 1 次，2 次，3 次，4 次的花盆数量分别为啊，a，b，c，d.那么：100,2343075809027523175abcdabcdbcd.100bcda，所以要让 a 尽可能大，那么 bcd尽量小.23175bcd，于是 d例 68第 9 级上超常体系 教师版尽 可 能 大.30,30285ddbc.那 么

20、 要 让 bc尽 量 小，c 要 尽 量 大.于 是42,1cb.1423073bcd，27a.即恰好被 1 人浇过的花最多有 27 盆.五年级 2 班有 46 名学生参加三项课外兴趣活动，每人至少参加一项其中 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，又是三项活动都参加人数的 7 倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有 10 人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？10-xxxx语20文7x数24(学案对应：超常 4)【分析】这里涉及了三个对象：数学小组、

21、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。设三项活动都参加人数为 x，根据题意得参加文艺小组的人数为 7x，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为 7x3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为 2x。如图可得464242010 x，3x，所以：参加文艺小组的学生有 7x=21 人。【拓展】全班有25 个学生，其中17 人会骑自行车，13 人会游泳，8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀

22、若全班有 6 个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？【分析】有6 个数学不及格，那么及格的有：25619(人)，即最多不会超过19 人会这三项运动之一而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：17138219（）(人)至少会这三项运动之一于是，至少会三项运动之一的只能是19 人，而这19 人又不是优秀，说明全班 25 人中除了19 人外，剩下的6 名不及格，所以没有数学成绩优秀的 上面分析可知，及格的19 人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰，而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳，但既会游

23、泳又会滑冰的人一定不会骑自行车所以，全班有19172(人)既会游泳又会滑冰【拓展】六年级(2)班参加一次智力竞赛，共 a、b、c 三题.每题或者得满分或者得 0 分，其中题 a满分 20 分，题 b、c 满分各是 25 分.竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有 1 人，答对其中两题的有 15 人.答对题 a 与答对题 b 的人数之和为 29；答对题 a 与答对题 c 的人数之和为25；答对题 b 与答对题 c 的人数之和为 20，那么这个班的平均成绩是_分.【分析】设答对 a 题的有 x 人，答对 b 题的有 y 人，答对 c 题的有 z 人，根据已知条件可列出方程组292520

24、xyxzyz 解得17128xyz 根据容斥原理，这个班的总人数为：（17128）152=20.所以，这个班的平均分为：（17201225825）20=42.例 79第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲在某次大赛的决赛中只有三道题.已知：（1）某校 25 名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2 倍；（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1 人；（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是_(学案对应：带号 4)【分析】如下设未知数其中阴影部分的总面积为 a+b

25、-1根据题意可列出如下式子：2()()(1)25axbxabababx化简后得：20(1)3326(2)baxbax因为0 x,且所有数均为整数，由(2)式可知8ab两式相减得：426ba，整数解只有62ab 因此只解出第二题的学生人数是 6 人.例 810第 9 级上超常体系 教师版容斥原理 I：两量重叠问题ABABAB容斥原理 II：三量重叠问题ABCABCABBCACABC1.以 105 为分母的最简真分数共有多少个？【分析】以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质，105=357，所以也是求 1 到 105 不是 3、5、7 倍数的数有多少个，3 的倍数有 35 个，5 的

26、倍数有 21 个，7 的倍数有 15 个，15 的倍数有 7 个，21 的倍数有 5 个，35 的倍数有 3 个，105 的倍数有 1 个，所以 105 以内与 105互质的数有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个.2.分母是 385 的最简真分数有多少个？【分析】385=5711，不超过 385 的正整数中被 5 整除的数有 77 个；被 7 整除的数有 55 个；被 11整除的数有 35 个；被 77 整除的数有 5 个；被 35 整除的数有 11 个；被 55 整除的数有 7 个；被 385 整除的数有 1 个；最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+

27、7-1=240.3.在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子消失的一块钱有 3 个人去投宿,一晚 30 元.三个人每人掏了 10 元凑够30 元交给了老板.后来老板说今天优惠只要 25 元就够了,拿出 5 元让服务生退还给他们，服务生偷偷藏起了 2 元,然后,把剩下的 3 元钱分给了那三个人,每人分到 1 元.这样，一开始每人掏了 10 元,现在又退回 1 元,也就是10-1=9,每人只花了 9 元钱，3 个人每人 9 元，39=27 元，再加服务生藏起的 2 元共 29 元，还有 1 元钱去了那里？答案：这道题用了人的一种思维盲点，这种逻辑算法是本身

28、错误的。你可以这样想的，开始的时候那 30 块钱都被老板拿走了，这样每个人都花了 10 块钱。当老板发现打折后，他给了服务员 5 块钱，这样现在老板就有 25，服务员有 5 块。当服务员拿出 2 块钱，给那三个人每人 1 块后，这 30 块钱就变成 3 部分，老板 25，服务员 2 块，那三个人一共 3 块。现在这三个人的确是每人花了 9 块，一共 27 块，可是这 27 块不正是老板和服务员手中钱的总数吗，所以应该是他们花的那 27 块钱和他们手中有的那 3 块构成了那 30 块钱。附加题知识点总结11第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲的人数多 3 个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有

29、摘李子者多 4 人；50 个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？有_人摘了山莓；有_人同时摘了三种水果；有_人只摘了山莓；有_人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；有_人只摘了草莓.草莓李子山莓GFEDCBA【分析】如图，根据题意有2AC3GC4BE50ADC11D 60CDFG40ABE代入求解：26A，9B，13C，11D，5E，20F，16G 所以有261151658ADEG(人)摘了山莓；有16 人同时摘了三种水果；有26 人只摘了山莓；有20 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；有9 人只摘了草莓.4.五

30、一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数的 5 倍，并且知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【分析】参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与题意矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2

31、仅参加语文与自然小组的人数为 10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和参加 3 个小组的人数一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有 5 人1.在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 5 整除也不能被 9 整除的数共有_个【分析】能被 5 或 9 整除的数共有 10010010020112295945个不能被 5 或 9 整除的数共 100-29=71 个2.甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水已知甲浇了 78 盆，乙浇了 68 盆，丙浇了 58 盆，那么 3 人都浇过的花最少有多少盆?家庭作业12第

32、 9 级上超常体系 教师版【分析】78+68+58-1002=4 盆3.参加语文竞赛的有 5 人，参加数学竞赛的有 9 人，参加英语竞赛的有 21 人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛【分析】由于每人最多参加两科，也就是说有参加 2 科的，有参加 1 科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(5921)217.5人参加竞赛，但参加英语竞赛的有 21 人，因此至少应该有 21 人参加竞赛。4.一根 101 厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔 2 厘米画一个刻度，第二次每隔 3 厘米画一个刻度，第三次每隔 5 厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以

33、截出_段【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于 1、2、3、100、101 这 101 个自然数中 2 或 3 或 5 的倍数的个数，为：1011011011011011011017423523253 523 5，故木棒上共有 74 个刻度，可以截出 75 段5.体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，60，然后，老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转，最后让所报的数是 6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有_人GFEDCBA【分析】面向老师的学生就是向后转 2 次或

34、转 0 次的学生，如图 A 圆圈表示 4 的倍数的个数，B 圆圈表示 5 的倍数的个数，C 圆圈表示 6 的倍数的个数，D、E、F 部分表示向后转两次的学生个数，G 部分表示向后转 3 次学生的个数，4,520，4,612，5,630，4,5,660，60415，60512，60610，60203，60125，60302，60601，所以向后转两次学生的个数为3521 37（人），根据容斥原理求得向后转 1 次，2 次，3 次学生共有151210352128（人），所以向后转 0 次的学生有602832（人），所以最后面向老师的学生有 32739(人)6.学而思的一场竞赛选拔考试，试卷一共有

35、5 道题，规定答对 3 道及 3 道以上的人能通过考试。发卷子时，张老师说：“这次考试一共有 5 个班的 100 位同学参加，答对第 1 题到第 5 题的依次有 80、92、86、78、74 人。在公布每位同学的成绩之前，我想问大家一个问题：这次考试最少有多少位同学能通过呢？最多有多少位同学通过呢？”【分析】因为要算至少有多少人能通过考试，所以应该让答对 2 题的尽量多，且答对 5 题的尽量多，然后是答对 4 题的也尽量多。因为80+92+86+78+74=410（道），去掉每人 2 道，还有410-1002=210（道），而2105-2=7074，所以至少有 70 人能通过考试。因 为 要

36、算 至 多 有 多 少 人 能 通 过 考 试，所 以 应 该 让 答 对 3 题 的 尽 量 多，因 为80+92+86+78+74=410（道），显然可以做到每人对 3 道题，因此最多有 100 人能通过考试。7.新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合13第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参

37、加跳舞的有_人【分析】设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为3x，由 50人没有参加演奏、10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人，即340 xx，得10 x，所以只参加合唱的有10 人，那么只参加跳舞的人数为30 人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人”，得到同时参加三项的有 3人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人8.某校五年级二班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 6 人参加，英语有 20人参加，语文小组有 34 人.老师告诉同学既参加

38、数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？【分析】既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数之和为(3420631)499 人，而由于均为质数，所以一个为 2 一个为 7，数学只有 6 人，那么参加英语又参加数学小组的人为 2 个。【超常班学案 1】一根1.8 米长的木棍，从左端开始每隔 2 厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔 3 厘米画一个刻度，再从左端每隔 5 厘米画一个刻度，再从左端每隔 7 厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木

39、棍？【分析】1.8 米长的木棍，按 2 厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即 2、4、6、8、10、180 共 90 个点，那么再画 3 的时候所有的偶数点都已经划过，那么会多出 30 个点，即 3、9、15、59，再画 5 的时候会多出来的点是 5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175，共 12 个，最后画间隔 7 厘米的时候，会多出 7、49、77、91、119、133、161 共 7 个点，那么所有的刻度总和应该是9030127139个(包含了 180 厘米的点)，那么截断之后应该会有 139 段小木棍【超常班学案 2】50 名

40、同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按 1,2,3，49,50 依次报数；先让报数是 5 的倍数的同学向后转，再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转，这时面向老师的同学还有_名.【分析】50124；5086；50105；50412；50220；50130；50060；最后还面向老师的有两种：转且只转过两次的以及没有转过的转且只转过两次的有：4217个；转过的有：1281042123个；则没有转过的有：27 个；所以最后还面向老师的有：27734个；【超常班学案 3】有 100 人参加算术测验，从第 1 题到第 5 题共有 5 道题.答对每道题的人数分别

41、是：第 1 题 92 人，第 2 题 86 人，第 3 题 61 人，第 4 题 87 人，第 5 题 57 人.这次测验规定，5 道题只要做对 3 道题就及格.那么最少有多少人及格？超常班学案14第 9 级上超常体系 教师版【分析】答对题数的合计是：9286618757383道.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于 2 道，余下的答对题的数量不多于3832 100183道.把这 183 道题尽可能少分给一些人.从 5 道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对人数最少的第 5 题的 57 人都是满分的话，余下的答对题数的合计是183525712道.再从答对 4 道题尽可能多的人数来考虑，答对人

42、数第二少的第 3 题的 61 人中，有 57 人得满分，那么答对 4 道题的最多有 61-57=4 人.余下的答对题数是：12(42)44道.答对 3 道题的人数是4324人.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65 人.所以至少有 65 人及格.【超常班学案 4】图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33，44 和 55 本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?C丙B乙A甲【分析】设这批

43、图书中最少有 x 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过设有 y 本书同时有甲、乙、丙的签名.由三量重叠的公式可得：33+44+55-29-25-36+y=100-x要想使 x 最小，则 y 应该最大而 y 一定不能超过 25.因此当 y=25 时，可得到 x 的最小值33.【超常 123 班学案 1】长度为 L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为 8,12 和 18 段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【分析】8,12,18=72，假设 L=72m，那么相当于把木棍按照每 9m，6m 和 4m 三种方式分开，72727272727272279641

44、8123672，所以共有 27 个刻度(包含最右端的点)，分成 27 段，而最短的长度显然为 1m，其中 8m 和 9m 间就是 1m，即72L。【超常 123 班学案 2】2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1，2，3，2006。将编号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为_盏。【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的这道题实际上是求 1 到 2006 中不能被 2、3、5 整除的数和只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的总个数我

45、们可以求得被 2 整除的数有200621003(盏)，123 班学案15第 9 级上 超常体系教师版第 13 讲被 3 整除的数有200636682，共 668(盏)，被 5 整除的数有200654011，共 401(盏)其中，同时被 2、3 整除的数有2006(23)3342，共 334(盏)；同时被 3、5 整除的有 2006(3 5)13311，共 133(盏)；同时被 2、5 整除的数有 2006(25)2006，共 200(盏)；同时被 2、3、5 整除的数有2006(23 5)6626，共 66(盏)，所以，只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的个数为 3341332003

46、66469(盏)，不能被 2、3、5 整除的数的个数为 2006100366840133413320066535(盏)所以，最后亮着的灯一共为4695351004(盏)【超常 123 班学案 3】一次测验，共有 5 道试题，测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有85%的同学做对第 2 题，有 91%的同学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的学生做对第 5 题如果做对 3 道或 3 道以上试题的同学为考试合格问：这次考试的合格率最多可达百分之几？最少可达百分之几？【分析】假设有 100 人参加考试，那么做错 15 题的人数分别有 19，15，9，26，21 人

47、，共错了19159262190道显然可以做到每人最多只错 1 道题例如，1 19 号只错第一题，20 34 号只错第 2 题，35 43号只错第 3 题，44 69号只错第 4 题，70 90号只错第 5 题，这样所有同学都及格，及格率为 100%如果有错误的人都恰好错了3 道题，那么不及格的有90330（人），这种情况下不及格的人数最多，及格的人数最少，有 70 人，例如1 19 号错第 1 题，20 30 及1 4 号错第 2题，5 30 号错第 4 题，1 9 号错第 3 题，10 30 号错第 5 题这样，1 30 号每人错 3题，不及格，31 100 号都是满分，所以及格率最少为 7

48、0%【超常班 123 学案 4】某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为 10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？【分析】10，15，20 的 45 分别为 8，12，16，设未知数如图所示：那么有以下方程组：234xynxznzyn将 3 个等式相加则有 2（x+y+z+n）+n=9，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，且 nx+y+n=2 所 以 n=1，这 样 可 以 求 得 x+y+z+n=4.由 此 可 得 到 这 个 学 校一 共 派 出 了8+12+16+4=40 人.16128nzyx标枪20跳高15长跑10