小学数学讲义暑假六年级优秀第2讲韩信点兵.pdf

1、1第 11 级上优秀 A 版教师版第二讲漫画释义五年级春季同余五年级春季位值原理六年级暑期韩信点兵六年级暑期数论中的最值六年级暑期数论中的计数理解“物不知数”的问题，并总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧知识站牌第二讲 韩信点兵2第 11 级上优秀 A 版教师版物不知数，意思为有一些物品，不知道有多少个这是依据孙子算经上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？”通俗的说就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个这

2、些物品的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中给出了利用中国剩余定理解此题的方法，同样韩信也给了这题的另一个答案，就在我们的“”版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理那就进入我们今天要学的课程吧1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以 3 余2，除以 5 余3，除以 7 余2，求这个数这样的问题，有人称为“韩信点兵”它

3、形成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”我们在解决类似“物不知其数”题，也就是找出一个数 N，满足除以 A 余a,除以 B 余b,除以C 余c 在解决这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余例如 AaBbd,则有,NdA B n，而 N 的最小值是,NA Bd;绝招二：加同补例如：AaBbe;则有,NeA B n，而 N 的最小值是,NA Be;绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法经典精讲教学目标课堂引入3第 11 级上优秀 A 版教师版第二讲1计算，结果是：商为 10，余数为如果的值是 6，那么的最小值是_【分

4、析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 的最小值为 72除法算式208=中，被除数最小等于【分析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是 819，所以本题答案为：20（8+1）+8=188.31013除以一个两位数，余数是12 求出符合条件的所有的两位数【分析】1013121001，10017 11 13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,914求4782569352除以 9 的余数【分析】47819291，2561394，3521091，4782569351除以 9的余数等于1

5、 4 14 5三个数：23，51，72，各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是【分析】5123=28，7251=21，（28，21）=7，所以这个除数是 76学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【分析】所 求班 级数 是除以 118,67,33 余 数相 同的 数那么可 知该数 应该 为 1186751和673334的公约数，所求答案为 17模块一：除数为两个的韩信点兵问题例 1：余数相同例 2：除数与余数和或差相同模块二：除数为三个的韩信点兵问题例 3：其中

6、有两个条件中除数与余数的差相同例 4：其中有两个条件中除数与余数的和相同例 5：没有两个条件的除数与余数的和或差相同例题思路知识回顾4第 11 级上优秀 A 版教师版一个自然数除以 4 余 3，除以 7 余 3，问满足条件的两位数分别是多少？(学案对应：学案 1)【分析】4,7331，4,72359，4,7 3387【想想练练】一个小于 100 的自然数除以 4 余 3，除以 7 余 3，问满足条件的自然数有哪些？【分析】3，4,7331，4,72359，4,7 3387 一个自然数，它除以 5 余 2，除以 4 余 1，这个数最小是多少？【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于5

7、2413，可知这个数加上 3 后就能同时被 5 和 4 整除，而5,420，这个数最小是20317一个自然数除以 5 余 2，除以 4 余 1，除以 7 余 6，这个数最小是多少？(学案对应：学案 2)【分析】根据例 2 只满足前两个条件的自然数是 17，只需要(1720)76ma，即1(36)76ma，经尝试4m，所以满足条件的最小自然数是1720497【想想练练】(第六届“希望杯”2 试试题)某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人该年级的人数是_(学案对应：基础 2，提高 2，尖子 2)【分析】符合第一、第三条条

8、件的人数最少为 37122 人，经检验，22 也符合第二个条件，所以 22 也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为 22 3 5 7 127例 3例 2例 15第 11 级上优秀 A 版教师版第二讲一个大于 10的自然数，除以 5 余3，除以 7 余 1，除以 9 余 4，那么满足条件的自然数最小为（学案对应：学案 3）【分析】我们观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是 53718，这样我们可以把余数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8，所以满足前两个条件的自然数为835am，下一步只需要 a

9、除以 9 余 4，35938 ，只需88m除以 9 余 4，只需8m 除以 9 余5，最小的4m，因此满足所有条件的最小自然数为8354148一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数为.（学案对应：学案 4）【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7 的倍数加 4，当4 被加上两个7 时得到18，恰好除以 5 余 3，此时符合后两个条件；只需(1835)32ma，即(02)32ma ，因此1m，所以所求的最小自然数就是 53.法二：通过观察没有发现除数与余数有和或差的关系，所以可以使用普遍适用的“中国剩例

10、5例 4物不知数在中国古代著名数学著作孙子算经卷下第 28 题，叫做“物不知数”，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数宋朝数学家秦九韶于 1247 年数书九章卷一、二 大衍类做出了完整的解答明朝数学家程大位有孙子歌如下三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知秦九韶解法，首先利用他发明的大衍求一术求出 5 和 7 的最小公倍数 35 的倍数中除以 3 余数为 1 的最小一个 70（这个称为 35 相对于 3 的数论倒数），3 和 7 的最小公倍数 21 相对于 5 的数论倒数 2

11、1，3 和 5 的最小公倍数 15 相对于 7 的数论倒数 15然后 70221 3152233便是可能的解之一它加减 3、5、7 的最小公倍数 105 的若干倍仍然是解，因此最小的解为 233 除以 105的余数 236第 11 级上优秀 A 版教师版余定理”，步骤如下：3、5 的公倍数3、7 的公倍数5、7 的公倍数15213530427045631056084140分别找出除以 7 余 1 的 3、5 的公倍数，除以 5 余 1 的 3、7 的公倍数，除以 3 余 1 的 5、7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是15421 3702263但是要求的是满足条件的最小的自

12、然数，263 不是最小的，对此的处理方法就是减去 3、5、7 的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数所以答案为：263105253【想想练练】三个连续自然数依次可以被 5 整除、被 7 整除、被 11 整除，那么这三个自然数最小为多少？【分析】设这三个自然数分别为1,1xx x 则1x 是5 的倍数，x是7 的倍数，1x 是11的倍数，因此有151xc，270 xc，31110 xc，利用逐步满足法求出满足前两个条件的2135xm，只需让4(2135)1110mc，求得 m 的最小值为0，因此 x的最小值为 21，那么这三个自然数最小为 20,21,22（2008 年“奥数网杯”六年级试题

13、）三个连续的自然数，从小到大依次是 4、7、9 的倍数，这三个自然数的和最小是【分析】如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减 1 和这个数加 1，那么题目变为：一个数除以 4 余 1，除以 9 余 8，且能被 7 整除，且求这个数的最小可能值这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，杯赛提高秦朝末年，楚汉相争一次，韩信率领 1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗

14、韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”于是士气大振一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团交战不久，楚军大败而逃同学们你们知道韩信怎么算出 1073 的吗7第 11 级上优秀 A 版教师版第二讲也可以采用中国剩余定理来解方法一：逐步满足法除以 4 余 1 的数有：1，5，9，1

15、3，17，21，；除以 9 余 8 的数有：8，17，26，可见同时满足这两条的数最小为 17，（备注：满足前两个条件的也可以用逐步满足法如下：满足除以4 余1 的数是41n 再满足除以 9 余 8：只需(41)98na 经尝试4n 可见同时满足这两条的数最小为 17）由于 4,936，那么满足除以 4 余 1 且除以 9 余 8 的数为1736n，要求1736n能被 7 整除的最小4n，所以所求的 3 个连续自然数的中间的那个数最小为 161，那么它们的和最小为161 3483方法二：代数表示法根据题意，设这三个数分别为 71k 、7k、71k （k 是整数），那么 71k 是 4的倍数，7

16、1k 是 9 的倍数，由于7181kkk，71921kkk，所以1k 是 4 的倍数，21k 是 9 的倍数，由1k 是 4 的倍数知 22k 是 8 的倍数，设 219kn，那么 229383knnn，所以3n 是 8 的倍数，n 最小为 5，相应地 k 最小为 23，那么这三个自然数的和最小为 7233483方法三：用不定方程来解设这三个数分别为 4a，7b，9c，那么 741971bacb 由得713144bbab，所以 314b 是整数，b 为 3，7，11，15，19，23，；由得712199bbcb，所以 219b 是整数，b 为 5，14，23，32，可见 b 最小为 23，那么

17、所求的三个自然数的和最小为 7233483方法四：中国剩余定理一个数除以 4 余 1，除以 9 余 8，除以 7 余 0，由于能被 4、9 整除且除以 7 余 1的数最小为 36，能被 4、7 整除且除以 9 余 1 的数最小为 28，能被 7、9 整除且除以4余1的 数 最 小 为 7,9 3189，根 据 中 国 剩 余 定 理，36028 8189 1413 满足除以 4余1，除以9 余8，除以7 余0，而4,7,9252，所以 413252161是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为161 34831.有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1问这个数除以 12

18、余数是几？【分析】满足条件的最小值是5，那么所有满足条件的数肯定具有3,45125kk的形式，除以 12一定是余 5 的附加题8第 11 级上优秀 A 版教师版2.布袋里装有玻璃球若干个，如果每次取 2 个，最后剩下1个；如果每次取3 个，最后剩下1个；如果每次取7 个，最后剩下 3个这个布袋中至少有个玻璃球【分析】不妨设黑布袋中至少有x 个玻璃球，那么 x 要满足的条件是：除以2 余1，除以 3余1，除以7 余3我们先找到满足条件、的数 76m，只需让 76m满足条件，即6m除以 7 余3，最小的4m，那么这个黑布袋中至少有31 个玻璃球3.一个自然数在1000 和1200 之间，且被 3除

19、余1，被5 除余 2，被7 除余 3，求符合条件的数【分析】方法一：我们先找出被 3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，；被 5 除余 2 的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，；被 7 除余 3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，；三个条件都符合的最小的数是 52，其后的是依次加上3、5、7 的最小公倍数，直到加到1000和1200 之间结果是105 10521102方法二：设这个自然数为 a，被3除余1，被5 除余 2，可以理解为被 3除余 321，被5 除与5

20、2，所以满足前面两个条件的157am(m 为自然数)，只需157m 除以7 余3，即15m 除以 7 余3，而15721，只需 m 除以 7 余3，m 最小为 3，所以满足三个条件的最小自然数为 3 15752，那么这个数在1000 和1200 之间，应该是105 105211024.三个连续偶数，从小到大依次是1494、的倍数，这三个连续偶数的和最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x则有：40(2)90(4)140 xaxbxc，即4091714110 xaxbxc ，满足前两个条件的所有数是1636n，只需1(1636)1410nc，即2(28)1410nc，因此1n，所以最小的偶数是52

21、，那么三个连续偶数的和最小为 1625.三个连续偶数依次可以被 5 整除、被 7 整除、被 11 整除，那么这三个偶数最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x则有：50(2)70(4)110 xaxbxc，即507151117xaxbxc ，满足前两个条件的所有数是 535n，只需(535)114nc，即(52)114nc，因此1n，所以最小的偶数是40，因此这三个偶数最小为40,42,446.某数除以11余8，除以13 余10，除以17 余12，那么这个数的最小可能值是【分析】观察到11813103，因此除以11余8，除以13 余10 的最小自然数为11 133140，140加上11 13的倍

22、数依然满足除以11余8，除以13 余10，设某数为 a，则1433am(m为非零自然数)，只需1433m 除以17 余12，而1431787，只需(73)1712mn，即71715mn(n为自然数)从最小的n 开始找，得到2,7nm，所以14373998a 7.五班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 行多 5人问上体育课的同学最少有多少名?【分析】如果五班学生人数增加 1，那么五班学生人数能被3、4、5、6 整除，即是 3、4、5、6的公倍数由于3,4,5,660，所以上体育课的学生最少有60159 人9第 11 级上优秀 A 版教师

23、版第二讲8.有 5000 多根牙签，可按六种规格分成小包如果 10 根一包，那么最后还剩 9 根；如果 9根一包，那么最后还剩 8 根第三、四、五、六种的规格是，分别以 8、7、6、5 根为一包，那么最后也分别剩 7、6、5、4 根原来一共有牙签根【分析】设原有牙签 x 根，如果添加 1 根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(1)x 是 5、6、7、8、9、10 的公倍数于是(1)x 是 5、6、7、8、9、10 的最小公倍数的倍数容易得到 5、6、7、8、9、10 的最小公倍数是5,6,7,8,9,102223 3 572520 又已知 x 大于 5000 且小于 60

24、00，即50006000 x，因此1252025040 x 所以5039x 我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数 N 除以 A 余 a,除以 B 余b,除以 C 余c 这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余绝招二：加同补绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法1.一个小于 100 的自然数，除以 3 余 2，除以 7 余 2，则满足条件的自然数分别是多少？【分析】2，3,7223，3,72345，3,7 3366，3,743872.赵老师有 30 多张积分卡，如果平均分给 5 个同学，最后剩余 3 张；如果平均分给 6 个同学，最后剩余 2

25、张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为 5362，所以赵老师共有85,638张积分卡3.200 以内除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 5 余 3 的自然数有多少个？分别是多少？【分析】通过观察我们发现除数和余数的差都为 2，设要求的最小自然数为 a，那么2a 就是 3、4、5 的公倍数，所以3,4,5258a，其他的数只要在 a 的基础上加3,4,560的倍数即可，所以还有 5860118，11860178，因此满足条件的自然数有三个，分别是58,118,178.4.有一堆水果糖，如果按 8 块一份来分，最后剩下 2 块；如果按 9 块一份来分，最后剩下 3块；如果按 10 块一份

26、来分，最后剩下 4 块这堆糖至少有块【分析】这堆水果糖的总数被 8 除余 2，被 9 除余 3，被 10 除余 4如果增加 6 块就刚好是 8，9，10 的公倍数，又 8，9，10 的最小公倍数是 360所以这堆水果糖至少有 360-6=354（块）家庭作业知识点总结10第 11 级上优秀 A 版教师版5.布袋里装有若干个乒乓球，如果每次取 4 个，最后剩下 3个；如果每次取7 个，最后剩下1个；如果每次取5 个，最后剩下 2 个这个布袋中至少有个乒乓球【分析】因为 43527，所以满足第一、第三个条件的所有乒乓球个数为 720m，只需(720)71ma，即(06)71mb ，经过尝试6m，所

27、以这个黑布袋中至少有 7206127个乒乓球6.一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求满足条件的最小的自然数【分析】方法一：53642，可见这个数加上 2 后是 5、6 的公倍数，那么至少为5,6228，即 28 适合前两个条件 再用 28 依次加上 30 的倍数，由于 28 是 7 的倍数，30 除以 7 的余数为2，可知 28304满足除以 7余 1，所以，满足条件的最小的自然数是 28304148方法二 53718，所以只需835m除以 6 余 4，因为8612,35655，即让25m除以 6 余 4，即5m 除以 6 余 2，求得最小的4m，所以满足条件的最小的

28、自然数是8354148【学案1】一个自然数除以 4 余 3，除以 7 余 3，问满足条件的最小两位数是多少？【分析】4,7331【学案2】某些自然数除以 11 余 1，除以 13 余 3，除以 15 余 13，那么这些自然数中最小的是【分析】因为11 113310，所以满足前两个条件的自然数是11,13 10133，结果 133 恰好除以 15 余 13，所以这些自然数中最小的是 133【学案3】一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把

29、余数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余8，所以可以看成这个数除以 5、7、9 的余数都是 8，那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315，所以这个数最小为 3158323【学案4】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现 321527，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，3,5,11165，所以这个数最小是1657172法二：事实上，如果没有“大于 10”这个条件，7 即可符合条件，在7 的基础上加上 3，5，11 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数A版学案