小学数学讲义暑假六年级超常第11讲从整体考虑.pdf

1、1第 11 级上超常体系教师版第 十 一五年级春季类比与猜想六年级暑假归纳与递推六年级暑假从整体考虑六年级秋季数形结合六年级秋季从极端考虑探讨整体思想在换元法、捆绑法、旋转轮换式方程、平均速度、几何割补、位值展开中的应用漫画释义知识站牌第十一讲从整体考虑第 11 级上超常体系教师版21.理解从整体考虑的内涵，尝试着用整体考虑思想去思考问题2.运用整体考虑思想解决相关问题现实生活中，我们经常会听到“整体考虑”这个词，而且也会时不时的用“整体考虑”这个词来说明问题例如你的父母给你买衣服时，先买了一件上衣，发现你的裤子和上衣不搭配，于是又给你买了一件和上衣搭配的裤子为什么你的父母会发现不搭配呢？原因

2、是你父母整体考虑了你的身材现在又有一个现实问题摆在你面前，大家可以看看我们的例题，个别题目你看完后就有解题思路，有的题目根本没有思路不过纵观所有例题，从整体考虑我们的多数题目还得和老师一起思考才会有思路，因此为了解决这个问题，我们就来认真听讲，看看老师是怎么思考的吧！整体思想解题在解数学题时，有时候从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之，会导致解题过程繁杂、运算量大有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整

3、体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理其主要表现形式有：整体设元、整体代换、整体补形整体设元（换元）：用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的一般在题目条件中数字较大、式子较复杂，而重复度高的情况下使用整体代换：根据问题的条件和结论，选择一个或几个式子，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的一般在某个式子里的各个分量具体值是无法求解的，而题目却必须要求某个式子的值时使用例如：一个圆柱体底面积是 5 平方厘米展开后是一个正方形，求

4、这个圆柱体的表面积整体补形：根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法 一 般 在 几 何 问 题，通 过 割 补 法 解 题 时 使 用 例 如：45,90,7,3ABDADBC oo，求ABCDS四 边形课堂引入经典精讲教学目标3第 11 级上超常体系教师版第 十 一计算方面的换元法：例 1、例 2计数方面的捆绑法：例 3几何方面的整体代换：例 4数论方面的整体考虑：例 5应用题方面的整体考虑：例 6、例 7行程问题方面的整体考虑：例 8计算：111111111111(1)()(1)()23201323201

5、4232014232013【分析】本题数据较多，直接计算过于复杂，观察到题中出现的相同算式，考虑整体设元设：11112342013a ，1111123420132014b，则原式1(1)(1)2014a bb aba【铺垫】计算：(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)【分析】设0.120.23,0.120.230.34ab，则原式=(1)(1)0.34a bb aba计算：11112111311143114120132013（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】观察到11131412013这个式子出现两次，从整体考虑，记为 x,则

6、：原式111111111xxxxx例 2例题思路例 1第 11 级上超常体系教师版44 名男生和 4 名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？【分析】先把女生排好共有4424A 种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55120A 种排法，所以共有45452880AA种【巩固】4 名男生和 4 名女生排成一队，要求女生必须排在一起，且女生中的小雪和小珂必须相邻，则共有多少种排法？【分析】先把小雪和小珂排好，相邻总共有两种情况；再把雪珂当一个整体与另外两名女生排好共有33212A种排法；最后排好的女生队伍当一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55

7、120A 种排法；所以共有353521440AA种图中阴影部分的面积是225cm，求圆环的面积（取 3.14）（学案对应：超常 2，带号 2）【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有222522Rr，即2250Rr则圆环面积为：22222()50157(cm)RrRr苏步青和他的行程题我国著名数学家苏步青教授去法国做学术访问时，一位陪同他的数学家在电车里给苏教授出了这道题：甲和乙分别从东西两地同时出发，相对而行，两地相距100 里，甲每小时走6 里，乙每小时走 4 里如果甲带一只狗，和甲同时出发，狗以每小时10 里的速度向乙奔去，遇到乙后即回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人

8、相遇时狗才停住这只狗共跑了多少里路？本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同由此便能求出答案：狗一共跑了1006410（小时），所以狗跑的距离为10 10100（千米）有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试着像上面的题从整体思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪明！例 4例 35第 11 级上超常体系教师版第 十 一老王去银行兑现一张支票，结果银行职员疏忽在支付款项时把百元和千元的数字弄反了而老王也没注意到在回家

9、的途中，老王花费152 元买了一本杂志，回到家才发现口袋里的钱恰好是要兑领支票之金额的两倍若老王原来口袋里没有钱，请问原来这张支票的金额是多少？（学案对应：超常 3）【分析】设原支票的面额是 Aabcd 元，其中 a、b、c、d 均为0 9 的数字，A 是整数于是根据题意得：1522AbacdAabcd，展开变形得到：152AabcdAbacdAabcd即152100()Aabcdbaab因为上式右边是100 的倍数，要使上式成立，必定有48cd，于是29()Aabba，因为此式右边大小不会超过100，所以0A，从而0ab，化简得1982ab 于是 a 是偶数，并且1989270a，于是2a，

10、于是5b 于是原支票的面额是2548 元已知 36177413xyxy，求 xy已知238356xyzxyz，求xyz购买 3 斤苹果，2 斤桔子需要 6.90 元；购买 8 斤苹果，9 斤桔子需要 22.80元，那么苹果、桔子各买 1 斤需要元购买 1 斤香蕉，2 斤桔子需 3 元；购 5 斤香蕉，8 斤桔子需 17 元，那么购买 1 斤香蕉、1 斤桔子共需_元有甲、乙、丙三种货物，若购甲3 件、乙7 件、丙1件，共需 20元；若购甲 4 件、乙10 件、丙1件，共需 27元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要元某人买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹅蛋共用去9.25元；买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹅蛋

11、共用去3.20元试问买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元？（学案对应：带号 3）【分析】两个方程相加得1010171330 xy，即3xy23813562xyzxyz（）（）(1)2(1)得，82610 xyz 假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要 x 元、y 元，则：326.98922.8xyxy，两式相加得111129.7xy，即2.7xy所以各买 1 斤需要2.7 元假设购买 1 斤香蕉、桔子分别需要 x 元、y 元，则：23158172xyxy（）（）例 6例 5第 11 级上超常体系教师版62（）-(1)3 得 22173 38xy ，4xy即购买 1 斤香蕉、1 斤桔子共需 4 元设甲

12、、乙、丙的单价分别为x，y，z，则 3720(1)41027(2)xyzxyz，由(1)3(2)2 得3202276xyz ，即各买一件需要6 元设鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各买一个分别需 x,y,z 元，则：13599.25(1)2433.2(2)xyzxyz（1）+（2）4，得2121219.253.24xyz，1.05xyz即买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需 1.05 元五个人去吃饭，实行 AA 制，就是平均分担费用，餐馆每消费 1 元现金就给0.5 元的代价券甲向朋友借了 100 元代价券，乙自己有 60 元代价券，共花 360 元代价券，交了 160 元代价券和 200 元现金，得到 100 元代

13、价券将此代价券还给甲的朋友，然后按 AA 制付费，那么甲、丙、丁、戊每人应付现金元，乙应付现金元（在该餐馆内，100 元现金和 150 元代价券是等值的）（学案对应：超常 4）【分析】总花费：160 元券+200 元现金-100 元券=160 元券+300 元券-100 元券=360 元券所以每个人出 360 元券5=72 元券，折合 721.5=48 元现金，因此甲、丙、丁、戊每人应付现金 48元；乙应付现金(7260)1.58 元三轮摩托车（前面一个轮，后面并排两个轮）的三个相同轮胎从安装到报废所行驶的千米数不一样安装在前轮上的轮胎行驶 24000 千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的分别

14、只能行驶 15000 千米和10000 千米为了使某摩托车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后就换轮胎的方法，最多换两次（每次可以换多个），那么该摩托车用三个新轮胎最多可以行驶多少千米？（学案对应：带号 4）【分析】方法一：从整体考虑，1113()14400240001500010000（千米）方法二：假设开始时前轮、左后轮、右后轮分别是,A B C；开了 x 米后，把 A 换到右后，B 换到前，C 换到左后；再开 y 米后，把 A 换到左后，B 换到右后，C 换到前；最后再开 z米后轮胎全部报废则：1240001500010000114400240001500010000124000150

15、0010000 xzyyxzxyzzyx例 7例 87第 11 级上超常体系教师版第 十 一【铺垫】自行车的前轮和后轮从安装到报废所行驶的千米数不一样安装在前轮上的轮胎行驶6000千米后报废；安装在后轮上的行驶3000千米后报废为了使某自行车行驶尽可能多的路程，行驶一定路程后将两个轮胎对调，那么该自行车用两个新轮胎最多可以骑多少千米？【分析】方法一：从整体考虑，112()400060003000（千米）方法二：设骑了x 千米后，前后轮对调，再骑 y 千米后，两轮胎一起报废，则：1600030004000130006000 xyxyxy1.2111111111112389(1)2(1)()234

16、910234910234910212389()234910【分析】设111111234910a ，12389234910b 原式222aabb2()ab21111112389(1)234910234910100旅馆房价 30 元，小雪、小珂、小戴三人一起入住，每人付 10 元后来老板又打折了，只要25 元，让服务员退给他们 5 元，服务员偷偷拿了 2 元，退给他们每人一元，这样等于他们三个一人掏了 9 元，3 927(元)，再加上服务员的 2 元，是 29 元问：那一元去哪了？答案：问题本身就是严重的逻辑混乱，没分清整体和部分的关系可以分为两个整体：1小雪、小珂、小戴付的 30 元钱，这 30

17、 元钱最终归属是：老板 25，小雪、小珂、小戴每人 1，服务员 2251 1 1230 2小雪、小珂、小戴付的 27 元钱，这 27 元钱的最终归属是：老板 25，服务员 225227也就是说服务员的 2 元是包含在三人掏的那 27 元里面的，不能乱加起来！附加题第 11 级上超常体系教师版82.如图，ABCD 是正方形阴影部分的面积为（取3.14）35DCBA【分析】设内部的正方形边长为 a，由勾股定理，可以求得内部的正方形的面积为2225334a，（或者22(35)3 5234a ），所以其内切圆的面积是217()22a，阴影部分面积为17347.3123.某商场对顾客实行优惠，规定：如果

18、一次购物不超过 200 元，则不给予折扣 如果一次购物超过 200 元，但不超过 500 元的按标价给予九折优惠 如果一次购物超过 500 元的，其中 500 元按（2）给予优惠，超过 500 元的部分则给予八折优惠某人两次去该商场购物，分别付款 168 元和 423 元，如果他只去一次购买同样的商品，则他应付款的钱数是多少?【分析】第一次付款 168 元，而 2000.9=180（元），168180,所以这次没有折扣;第二次付款 423 元，而 5000.9=450（元）,423450,所以这次的原价是小于 500 元的，全部打九折买的，那么原价为 4230.9=470（元）那么两次合买这些

19、商品的定价为 168+470=638（元），应付 5000.9+1380.8=560.4（元）4.赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？【分析】上山下山的平均速度为241136（千米/时），所以整个过程的平均速度也是 4 千米/时，故共走 12 千米5.小雪走下坡的速度是12/km h，上坡的速度是 6/km h，平路的速度是 8/km h，从他家到学校要先走一段上坡路，再走一段下坡路，最后是一段平路，小雪从家去学校花了1个小时，从学校回家花了1.5小时，

20、则从家到学校的距离是多少？【分析】假设从家到学校的上坡路是x 千米，下坡路是 y 千米，平路是 z 千米，则有：142324612810243361.51268xyzxyzxyzxyzxyz6.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差是多少？【分析】两个过程相加看成一个整体，则甲乙走的时间相同，10 小时相遇，路程差为 2674100（千米），所以速度差为1001010（千米/时）9第 11 级上超常体系教师版第 十 一整体思想考虑问题常见于以下题

21、型：1.有很多相同部分的计算题，通过换元，达到简便计算的效果2.计数问题，排列组合里的捆绑法3.无法单独求出每个未知数，但是可以求出某几个未知数的和的方程及相关应用题4.几何面积计算中出现求不出来的半径时，通常用整体考虑5.数论里位值原理展开时，如果有较多字母，通常可以整体考虑6.行程难题，可以试着把整个运动过程与各段行程结合起来，从整体考虑1.计算 1111111111111111()()()()5791179111357911137911【分析】设1111111,7911791113ab，则原式=1111()()()55565a bb aba2.计算：3141592631415927314

22、1592531415926314159271【分析】设31415926a 原式(1)(1)(1)1aaaa a22111aaaa3.4名男生和5名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？【分析】先把女生排好共有55120A 种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与 4 名男生去排队有55120A 种排法，所以共有555514400AA种4.如图，圆的周长是16.4 厘米，且圆的面积与长方形的面积正好相等图中阴影部分的周长是厘米（取3.14）图8Aa-RDRCaBRRO【分析】如图，设 BCODa，OBOACDR，由已知 R Ra R，于是有aR阴影家庭作业知识点总结第

23、11 级上超常体系教师版1部分的周长为 1+24.124.1 16.420.54ABBCCDDAaR圆周长（厘米）说明：这里=3.14 不必使用5.小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是多少?【分析】假设原先的电话号码是 abcdef，则经过两次升位后的号码是2 8a bcdef，则有：2 8812 8 1000008110000081()a bcdefabcdefaxa

24、xxabcdef其中1250(2 881)1250(228162)82500282500 xaaabcdef6.某商店有 A、B、C 三种袜子，若买 A 种4双，B 种7双，C 种1双需要26元；买 A 种5双，B种9双，C 种1双需要32元问 A、B、C 三种袜子各买一双要元【分析】假设买 A、B、C 三种袜子各一双分别要 x 元、y 元、z 元，则：4726159322xyzxyz（）（）(1)4(2)3 得8xyz即各买一双要 8 元7.甲杯中装有浓度为10%的糖水溶液40克，乙杯中装有浓度为19%的糖水溶液60克现在分别从甲和乙中取出相同重量的糖水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出

25、的倒入甲中，这样甲、乙容器中糖水浓度相同则从甲中取出的糖水是多少克？【分析】从整体来看，最后甲乙中的浓度等于 40 克 10%糖水和 60 克 19%糖水混合后浓度，所以甲中 10%糖水和 19%糖水的比例为 2:3，所以从甲中取出的糖水是340245克8.假设一辆汽车的四个相同轮胎从安装到报废所行驶的千米数不一样安装在前轮上的两个轮胎都是行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的分别只能行驶15000千米和10000千米为了使这辆汽车行驶尽可能多的路程，采用行驶一定路程后就换轮胎的方法，最多换三次（每次可以换多个），那么这辆汽车用四个新轮胎最多可以行驶多少千米？【分析】方法一：从整体

26、考虑，2114()16000240001500010000（千米）方法二：假设开始时左前轮、右前轮、左后轮、右后轮分别是,A B C D；开了 a 米后，把A 换到右前，B 换到左后，C 换到右后，D换到左前；再开 b 米后，把 A 换到左后，B 换到右后，C 换到左前，D 换到右前；再开 c 米后，把 A 换到右后，B 换到左前，C 换到右前，D换到左后；最后再开 d 米后轮胎全部报废则：12400024000150001000012400024000150001000016000124000240001500010000124000240001500010000abcdbcdaabcdcd

27、abdabc 1第 11 级上超常体系教师版第 十 一【超常班学案1】计算：2010200920102009(201320122011)2013(201220122011)2012201120102011201020102009(20132012)(20122011)20112010【分析】设2013a，201020092012201120112010b，2012c 原式()()()ab acb cac b22aabcbcabbc22ac22201320124025【超常班学案2】大圆半径为 R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形以圆心 O为顶点，半径 R 为边长作一个正方形；再以O 为顶点

28、，以r 为边长作一个小正方形图中阴影部分的面积为 50平方厘米，求圆环的面积(取3.14)O【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能题中已 知阴影部分的面积，也就是2250Rr平方厘米，那么环形的面积为：2222()50157RrRr(平方厘米)【超常班学案3】一个六位数 abcdef，如果满足 4abcdeffabcde，则称 abcdef 为“迎春数”，求出所有“迎春数”的总和【分析】方法一：设 abcdeA，“迎春数”是 10Af，并满足关系式：410100000AffA即3999996Af所以：A=2564ff 是一位数，要使 A 是五位数，f

29、可以为 4，5，6，7，8，9而“迎春数”abcdef=10A+f=102564f+f=25641f，那么，所有“迎春数”的总和是：25641(4+5+6+7+8+9)=2564139=999999方法二：用数字谜思路来解题显然，f 不小于 4，若 f=4，e 为 4f 的末尾数字，所以 e=6；超常班学案第 11 级上超常体系教师版1de 为4 ef的末 2 位，所以 d=5；cde 为4def的末 3 位，所以 c=2；bcde 为4cdef的末 4 位，所以 b=0；abcdef 为4 bcdef的末 5 位，所以 a=1；于是 abcdef 为 102564同理 f 5，6，7，8，9

30、，可以得到 abcdef 为 128205，153846，179487，205128，230769所有的和是 999999【超常班学案4】小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题职位会计与出纳出纳与秘书秘书与主管主管与主任主任与会计月薪和3000 元3200 元4000 元5200 元4400 元【分析】观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所以将全部工资和相加后除以 2 后得到五人的工资和为：（3000+3200+4000+5200+4400）2=9900（元）由于要求主任的月薪，所以将会计和出纳的 3200 元，秘书和主管的 4000 元减去即得

31、主任 的月薪为：9900-3000-4000=2900（元）【超常123班学案1】计算：2222235702235 1404567117234567937450【分析】根据公式2222()aabbab，得原式=22(235702)(567117)937450=22937450937450=937450=487【超常123班学案2】如图，在3 3方格表中，分别以 A、E、F 为圆心，半径为 3、2、1，圆心角都是 90的三段圆弧与正方形 ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比12:?SS S2S 1FEDCBAD 1D 2B 1B 2ABCDEFS 1【分析】如右图，仔细观察图

32、形不难发现带形1S 的面积等于曲边三角形 BCD 的面积减去曲边三角形11B CD的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出123 班学案1第 11 级上超常体系教师版第 十 一所以，1S 的面积222211332251444；同理可求得带形2S 的面积：带形2S 的面积 曲边三角形11B CD 的面积 曲边三角形22B CD 的面积314；所以，12:5:3SS【超常123班学案3】甲乙丙丁四人每三个人的平均年龄加余下一人的年龄分别为 29、23、21、17，则这 4 人中最大年龄和最小年龄差是多少岁？【分析】设甲、乙、丙、丁4 个人的年龄分别为 abcd、，那么有：29

33、3233213173abcdbcdaacdbabdc把四个式子加起来得到：45(1)abcd再将上面方程组里面的每个式子 3 后与 1（）式相减分别得到：12a，9b，3c，21d，所以年龄最大与最小的差值为21318岁【超常123班学案4】从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路，C 村至 B 村为下坡路，A 村至 B 村的总路程为 20 千米某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A村又用了 1 小时 45 分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍求自行车上坡的速度【分析】整体考虑，来回是上坡下坡 20 千米，共用 33 4 h，上下坡的速度比是1:2，所以上坡时间为2.5h，上坡速度为8/km h