小学数学讲义暑假六年级超常第9讲弦图.pdf

1、1第 11 级上超常体系教师版第九讲漫画释义五年级春季圆与扇形进阶五年级春季特殊图形六年级暑期弦图六年级暑期切片与染色六年级秋季圆柱与圆锥复习勾股定理；由弦图求解较复杂的几何问题知识站牌第九讲 弦图2第 11 级上超常体系教师版准备四个完全相同直角三角形纸片（没有等腰直角三角形），用这四个直角三角形能否拼出两个正方形呢？同学们不妨试一试.如果大家没有拼出来，可以给大家一个图纸，就是我们的“数海拾贝”中的图.有的同学会问，两个正方形在哪里呢？答案是外面一个和里面一个（很像脑筋急转弯）.大家看着图纸能拼出来吗？当然还有其他类似的拼法，同学们可以在我们的例题中去寻找.今天我们就重点来学习“数海拾贝”

2、中的那个图形，它有一个很好听的名字叫“弦图”.1.复习并掌握勾股定理极其应用2.掌握在复杂图形中构造弦图的技巧，并能用弦图解决相关面积问题一、勾股定理如图，在直角三角形中，有222abc二、勾股定理的证明自从发现勾股定理以后，世界上许多数学家和数学爱好者已经发现了 300 多种不同的证明，下面就说说两种最简洁、最有趣的证明.在证明勾股定理“222abc”这个公式时，最关键的一步是怎样理解公式中的“2a、2b、2c”的几何意义，聪明的古人想到了把它们理解成边长为 a、b、c 的正方形的面积！通过把抽象的东西形象化.勾股定理实际上是说“以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面

3、积”.1、赵爽的“弦图”对比观察右边两幅图可以看出：从两个相等的大正方形(边长都为 a+b)中减去 4 块一样的直角三角形后，剩下的面积是相等的，所以222cab.赵爽的证明中只用到了人所共知的数学规律：等量减等量差相等.cba经典精讲教学目标课堂引入3第 11 级上超常体系教师版第九讲2、刘徽的“出入相补”原理在刘徽的证明中用到了两个平面图形如果“出入相补”，则其面积相等，这就是“出入相补”原理.利用“出入相补”原理，将一个图形进行割补，重新组成一个新图形，从而得到数学公式或命题的证明这是一种很重要的数学方法，它是中国古代数学方法的特色之一.模块一：勾股定理与弦图例 1：复习勾股定理例 2：

4、弦图的认识模块二：弦图的应用例 3：利用弦图画正方形例 4：利用弦图解决正方形面积间的关系模块三：弦图的构造例 5、6、7、8：适当添加辅助线解决面积问题下图中有三个直角三角形请问 x=厘米（学案对应：超常 1）【分析】两个直角三角形完全一样，所以两直角三角形的两直角边分别为 9cm 和 12cm，由勾股定理得，222291215x，所以15x 由四个完全相同的长方形拼出下图（1），大正方形的面积是小正方形面积的倍将图（1）中每个长方形沿对角线剪开，形成图（2）的虚线正方形 ABCD的面积是将图（2）沿虚线剪开后形成图（3），大正方形的面积与小正方形的面积差是小亮同学随机地在图（3）的大正方形

5、及其内部区域投针，则针扎到小正方形（阴影）区域的可能性是_例 2例 1例题思路4第 11 级上超常体系教师版照图中的样子，在一正方形纸板上割去两个直角三角形.求图中阴影部分的面积.从四角的 5 厘米处，用剪刀剪出45 的角度，中间便会形成一个小正方形（见下图）这个小正方形的面积是多少平方厘米？【分析】22(23)(32)25222313，或2 32 41 13 13 1 12 或2 32 412 113 方 法 一：连 接 如 右 图 所 示 的 线 段 得 到 四 个 全 等 的 三 角 形，则 阴 影 面 积 为4 6(64)(64)28方法二：利用勾股定理得正方形面积为224652，则阴

6、影面积为524 628 如图所示右上角阴影三角形斜边的平方为小正方形的面积，可求得小正方形面积为：225550（cm2）图3图2图132ABCDDCBA23646446465第 11 级上超常体系教师版第九讲请只用刻度尺画出一个面积为 5 平方厘米的正方形.【分析】由于22512，利用勾股定理，如图如下图，连接顶点和正方形边上的三等分点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.（学案对应：带号 1）【分析】按照右图分割正方形，中心小正方形占 4 格，周围三角形每两个可以对接成 3 格，所以总共有 10 格，小正方形占 25.BCDABCDA例 4例 36第 11 级上超常

7、体系教师版如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 12 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？（学案对应：超常 2，带号 2）【分析】如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形 MNPQ 的面积为 428平方厘米从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH、BFME、CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形MNPQ 的面积，为12 128152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152276平方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为1447668平

8、方厘米4cm2cmQPNMHGFEABCD例 5中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅勾股圆方图，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.2002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标就取材于赵爽的勾股圆方图.赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且另有发展.例如稍后一点的刘徽

9、在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义.7第 11 级上超常体系教师版第九讲（第 7 届日本算术奥林匹克决赛试题）在直角边为 3 与 4 的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如左下图所示的六边形 ABCDEF 求这个六边形的面积是多少？（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】根据图中三个正方形的特点，我们以直角三角形的斜边上的正方形为基础来构造弦图(如右上图)这样，弦图中的 4 个直角三角

10、形都与原直角三角形相同，中间阴影小正方形的面积为4312，且图中阴影三角形的面积都等于弦图中直角三角形的面积所以，六边形 ABCDEF 的面积6个直角三角形面积 2 个阴影三角形面积 3 个正方形面积8个直角三角形面积 3 个正方形面积222834234174（）如图，长方形中被嵌入了 8 个相同的正方形.已知长 20 厘米，宽 16 厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米.（学案对应：带号 4）【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：42203216abab，解得42ab，所以每个小正方形的面积为2

11、22422 4 22420平方厘米ABCDEF34ABCDEF34例 7例 68第 11 级上超常体系教师版如图，在多边形 ABCFDE 中，8AB，12BC，16EDDF，AECF，求多边形 ABCFDE 的面积.（学案对应：超常 4）【分析】如图，把 4 个相同的多边形按照右图的方式拼接起来，得到一个大正方形，面积为2(128)400，中间小正方形的面积为216256，所以每个图形的面积为(400256)436【分析】这个梯形的面积为222()()22aabbSab ab，也可以用左右 2 个三角形和中间大三角形的和来表示2222ababcS 所以有22222222aabbababc，即2

12、22abcEFDCBA关于勾股定理的证明方法已有 500 余种.其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.具体证法如下图.同学们你们能看图说明总统是怎样证明勾股定理的吗？例 89第 11 级上超常体系教师版第九讲1.如图，以三角形的三边分别向外作正方形，其面积分别为 13,25,26，求中心三角形的面积【分析】构造一个边长分别为 4 和 5 的长方形，把中心三角形包含在里面，所以三角形的面积为 8.52.如图是由 5 个小正方形组成的一个“十字架”.请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形.

13、【分析】方法如下：252613432351附加题10第 11 级上超常体系教师版3.如图，阴影正方形的面积是 8，那么图中的扇形面积是.（3）【分析】1354.如图，圆内有两个正方形 ABCD，EFGH，AB 与 GH 部分重合，并且 C、D、E、F 在圆周上.圆心到 AB 的距离是 15 厘米，则两个正方形的边的长度相差厘米.【分析】根据题意，设 ABCD，EFGH 边长分别是 a、b 厘米.过 O 作垂线交 CD 于 M，交 EF 于 N,连接 OD，OE在直角三角形 ODM 中，BDCAOHGFEDCBANMOHGFEDCBA11第 11 级上超常体系教师版第九讲222()(15)2aO

14、Da在直角三角形 OEN 中，222()(15)2bOEb因为 OD=OE,所以22()(15)2aa22()(15)2bb，225()30()4abab,a-b=24.所以两个正方形的边的长度相差 24 厘米5.（第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛小学组二试）自ABC 内一点 P，分别向BC，CA，AB 边引垂线，垂足依次为 D，E，F.以 BD，CD，CE，AE，AF，BF 为直径分别向形外作半圆如图所示这六个半圆面积分别记为 S1，S2，S3，S4，S5，S6若5612432,1,.ssssss那么【分析】连接 AP，BP，CP则222AFBDCE222222()()()APPF

15、BPPDCPPE；222BFCDAE222222()()()BPPFCPPDAPPE所以，222AFBDCE=222BFCDAE两边同乘 2 4得：222222222AFBDCE222BF+222CD+222AE 也就是135246.SSSSSS431256123.SSSSSS 12第 11 级上超常体系教师版一、如图，在直角三角形中，有222abc二、如图，通过分割，图中有三个正方形，这三个正方形的面积从大到小依次是2()ab，22ab，2()ba1.如图的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于4这个等腰梯形的周长等于【分析】两边的直角三角形的较短直角边为9323，腰长的平方为2

16、22345，所以周长为359522cbababababa家庭作业知识点总结13第 11 级上超常体系教师版第九讲2.2002 年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如下图所示它是由四个相同的直角三角形拼成的(直角边长为 2 和 3)问：大正方形的面积是多少?【分析】由勾股定理得，大正方形的面积为2223133.小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为 3cm 和 4cm，拼砌成两个中空但大小不相同的正方形已知砌得的大正方形的中空部份刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正方形的中空部份的面积相差是 y2cm，求 y 的值【分析】本题考查考生对弦图的认识拼成的大小正方形分别如下左图和右图：所以面积

17、差为 4 个直角三角形的面积：3 44=242y4.请只用直尺画出一个面积为 10 平方厘米的正方形.【分析】由于221013，利用勾股定理，如图5.如下图，连接顶点和正方形边上的中点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.【分析】把小三角形拼到小梯形上，得到右图，小正方形占整个面积的 15.3114第 11 级上超常体系教师版6.如图，如果长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【分析】如图，过M、N、P、Q 分别作长方形 ABCD的各边的平行线易知交成中间的阴影正方形的边长为3 厘米，面积等于 9 平方厘米设 MQD、N

18、AM、PBN、QCP的面积之和为 S，四边形 MNPQ的面积等于 x，则569xSxS，解得32.5x.7.如右图，长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形.已知 AB=22 厘米，BC=20 厘米，那么每一个正方形的面积为平方厘米.【分析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，那么根据大长方形的长宽可列出方程组：3222320abab，解得62ab，所以每个小正方形的面积为222622 6 22640平方厘8.从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积

19、等于多少？【分析】构造一个用 4 个 5 的长方形和一个边长为 0.5 的小正方形构成的大正方形弦图，有20.5()450.25abab，所以2.5a.所以锯下玻璃条面积为 2.50.51.25平方米6523NMQPDCBA336523NMQPDCBAADBCDCBA15第 11 级上超常体系教师版第九讲【超常班学案1】(2008 年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛试题)将矩形 ABCD 分成四个全等的矩形，如图所示若29AEcm41AFcm，请问 AC 的长度是多少厘米？【分析】设 ADa，DEEFb，所以22229841ab，2222411681ab，由此得2280b 于是222222(4)()

20、15ACababb841 152805041所以71AC（厘米）【超常班学案2】如下图，一块边长为 180 厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 40 厘米的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为平方厘米【分析】如下图，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中间部分的面积为210010000平方厘米，四个长方形每个的面积为40 1004000平方厘米，剪出的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为 18000 平方厘米【超常班学案3】(2013 年学而思杯五年级)如右图，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BC 的中点，MNP

21、Q 是正方形，N 在 AB 上，P 在 AC上如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米那么，正方形 MNPQ 的面积是_平方厘米【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图，；则 MD 为ABC 的中位线，42ACMDcm，62ABADcm；故弦图中外围正方形边长为 6cm，4ANMDcm，642DNcm；故所求面积为222464202cm.超常班学案16第 11 级上超常体系教师版【超常班学案4】（第一届华杯赛决赛第一试）从一块正方形木板锯下宽为 12 米的一个长方形木条之后，剩下的面积是 651

22、8 平方米.问锯下的木条面积是多少平方米？【分析】如图，构造一个用 4 个6518的长方形和一个边长为 12的小正方形构成的大正方形弦图，有212651()4184abab，所以136a.所以锯下木条面积为131136212【123班学案1】如下图，连接顶点和正方形边上的四等分点，得到一个小正方形，那么这个小正方形的面积占整个大正方形面积的.【分析】如图，中心正方形占 9 格，周围三角形总共占 8 格，所以小正方形占大正方形的 917FEDNMQPADQPNMCBAba126518123 班学案17第 11 级上超常体系教师版第九讲【123班学案2】（2006 年第 15 届日本算术奥林匹克决

23、赛试题）如图，点 E 是正方形 ABCD 的 CD 边上的一点，以 BE 为一条直角边作等腰直角三角形 BEF，斜边BF 交 AD 于 G，已知 AG=5 厘米，GD=15 厘米.求三角形 BEF 的面积.【分析】如下图作辅助线，由于 AG=5，而 AB=20.令 SF=a，而 SB=4a.而 MN=20+20-a=4a解之得 a=8.所以 FN=12.则三角形 BEF 的面积为222122027222EF.（平方厘米）.【123班学案3】(第十四届日本算数奥林匹克)下图中的三个四边形 ABHG，CDIH 和 EFGI 都是正方形，当其面积分别是 10 平方厘米、13 平方厘米、29 平方厘米

24、时，求三角形 GHI 的面积.【分析】如图，因为221310，222529，222313，所以构造一个边长为 3 和 5 的长方形，正好把中心三角形包含在里面，所以三角形面积为 351 322522325.5.GFEDCBANSPQMGFEDCBAIHGFEDCBA18第 11 级上超常体系教师版【123班学案4】如图，长方形 ABCD 的周长是 20，八边形 EFGHIJKL 的面积是 578，八块阴影区域都是正方形.那么长方形 ABCD 的面积是多少？【分析】2223223266116600578Sabababababababab22abLKJIHGFEDCBAQPNMbaABCDEFGHIJKL