小学数学讲义暑假四年级超常第7讲破译乘除法竖式.pdf

1、第 7 讲1第 7 级上超常体系教师版漫画释义三年级暑假破译加减法竖式三年级春季巧填算符四年级暑假破译乘除法竖式四年级春季破译横式五年级秋季数字谜中的最值掌握乘除法竖式的解题方法，并会运用所学知识解决含有字母的乘除法竖式谜问题知识站牌第七讲 破译乘除法竖式2第 7 级上超常体系教师版1、重点掌握通过认真观察、分析、找准竖式数字谜的突破口2、综合运用首位分析、个位分析、数位分析、奇偶分析、枚举试算等技巧破译乘除法竖式3、培养学生的观察、分析、归纳、推理等思维能力数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（

2、和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确的推理、判断解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口推理时应注意：（1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 09 中的某个数字；（2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；（3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；（4）数字谜解出之后，最好验算一遍数字谜的十大分析法：既包括填空格，又包括字母数字谜(1)尾数分析法：通常就是个位分析法；(2)高位分析法：即首位分析法；(3)进位分析法(4)特殊结构分析法(5)极端分析法：常用于估计某个数的范围(6)整体换元法：如果

3、某个数字串在算式中重复出现，有时可以将其视为一个整体来处理；(7)方程分析法：其实从本质上来说，每一个数字谜都是不定方程问题，因此有时可借助解不定方程解某些数字谜；(8)特殊数分析法：某些特殊数在速算中有重要应用，在数字谜中同样也是常用的线索；(9)数论分析法：又包括（1）奇偶分析法；（2）整除分析法；（3）因数分析法；（4）同余分析法等；(10)枚举假设分析法：这也是最重要的分析法，因为前面的 9 种分析法往往只能给出所填之数的候选范围，因此有必要对范围内的数进行假设试算，方能避免漏解.算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关

4、系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和课堂引入经典精讲教学目标第 7 讲3第 7 级上超常体系教师版竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。模块一：末位、首位、位数分析（例1例3）模块二：除法中的乘积位置、余数及位数分析（例4例6）模块三：除法竖式综合分析（例7、例8）1.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.7448817【分析】从末位开始，乘数应为 3，则乘数的十位应为 5，递推依次可知，式

5、子应为：1428573=428571.2.如图是一个残缺的乘法算式，请补充完整并求出这个算式的结果.88【分析】根据题意，由于运算结果的千位为 1，百位为 8，则乘数的个位与被乘数的运算结果的百位至少要为 8，容易知道98 9882，则有：98 198.所以运算为98 191862，依次填写即可.3.在如图所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了.请问：算式的结果是多少例 1例题思路4第 7 级上超常体系教师版825【分析】根据题意，被乘数与 2 的乘积后的运算结果的十位数字为 7，则被乘数的十位为 8，所以乘数的个位为 8，则被乘数的十位为 1，则运算为：8812=1056在下面的算式中

6、，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是（）.【分析】观察竖式可知：乘数个位数字：习争的个位数字是 1，则习与争取值有两种情况：习=3，争=7习=7，争=3先看第种情况：习=3，争=7 时第二个部分积末位与千位对齐，可知“力=0”“数学学习”7，积仍为四为数，则“数”只能为 1，“学”只能是 2，又由于：学72（进位）=学，不能成立所以：习=3，争=7 时，不能成立，无解。再看第种情况：由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2 或 1，“学”=9当“数”=2 时，积千位为 8，则“努”7 末位数应为“1”，不符合条件。所以“数”=1

7、，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003综上所述“努力力争”四个汉字所代表数字和为 5。在下面的乘法算式中，数、字、谜各代表一个互不相同的数字，求这个算式.例 3例 2第 7 讲5第 7 级上超常体系教师版【分析】由数字谜谜=谜，可知谜1，因此谜=5 或 6。（1）若谜=5，从整个乘法竖式中可以看出，数字谜数=的乘积的百位数字，必须大于等于 3 且小于等于 5，所以数=2。由于数字谜字=5，可知字是奇数，且小于 5，故字=1 或 3，当字=1 时，2152 15=46225，不符合条件，所以只能字=3，乘法算式为：（2）若谜=6，同理，从整个乘法竖式中可以看出

8、，数字谜数=的乘积的百位数字，必须大于等于 4 且小于等于 6，所以数=2。由于26字 字=6，可知字=1。但 216216=46656，不符合条件。所以满足条件的算式为：补全下列除法算式.12 3 43 5 10【分析】本题考查因数分析法.以除数为中心进行分析，易知 234 是除数的倍数，351 也是除数的倍例 46第 7 级上超常体系教师版数,于是除数只能是 117，其余空格依次填出.原式27027117231.图中是个残缺的除法竖式，这个算式中的被除数是多少？98【分析】由于除数一定要比余数大，所以除数为 99，所以商的每一位都是 1，则被除数是99 1119811087.如图，在图中的

9、空格内填入合适的数字，使除法竖式成立807【分析】根据题意，商的千位与除数的运算为三位数，而 8 与除数的运算结果却为两位数，所以除数为 12，则商为 9807，被除数为：117684例 6例 5第 7 讲7第 7 级上超常体系教师版在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立已知商为奇数，那么除数为09002ef22d22dedcba990109002【分析】先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为 1、0，这个两位数的十位数字为 9，个位不能为 0除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是 9，那么可得商的百位和个位相同

10、先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示由于商为奇数，所以 e是奇数，可能为 1、3、7、9(不可能为 5)若为 1，则9 2abcd，而9 2abcfdf为三位数，于是1f ，又这个乘积的十位数字为 0，而d 不能为 0，矛盾所以 e不为 1；若为 3，则9 23abcd，d 可能为 1、4、7，abc 相应的为 304、314、324当abc 为 314和 324 时 abcf所的结果的十位数字不可能为 0，不合题意；若abc 为 304，则 f 可能为 1或 2，经检验 f 为 1 和 2 时都与竖式不符，所以e 也不能为 3；若为 7，则9 27abcd，只

11、有5d 时满足，此时136abc，那么3f 经检验满足题意；若为 9，则9 29abcd，d 只能为 7，此时108abc，f 则只能为 1经检验也不合题意所以只有除数为 136 时竖式成立，所以所求的除数即为 136例 8例 7词2首下面含有数字一到十及十到一的两首词，传说是古代一考生向主考官申诉未能按时到达考场的原因及表示应试决心的，独具匠心，极具情趣。一叶孤舟，坐了二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了八九家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今日一定要中。8第 7 级上超常体系教师版请在图中的每个方框内填入恰当的数字，使得除法竖式

12、成立.【分析】商的十位数字 7 乘以除数得到一个三位数，说明除数的百位为 1；商的首位数字乘以除数得到一个四位数，说明商的首位数字至少是 8，又因为商的百位数字乘以除数得到一个三位数且该乘积大于商的千位数字 7 乘以除数得到的三位数，所以商的百位数字为 8，商的首位数字为 9.易知商的十位为 0，个位为 1，所以商是 97809.容易估计出除数的范围在 112至 124 之间，枚举可得除数为 124，其余空格依次可填出.1.下面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，ABBC=（）。附加题找相同点善于寻找事物的异同点和内在的联系，善于发现事物的发展规律，是做好任何研究工

13、作应具备的基本素质和条件。请你找找看，下面的两个数有多少相同点？2468 3579答案：乍一看好像只有不同点，没有相同点。其实只要你善于寻找，相同之处还是不少的，这是一种很有用的能力的培养。现举数例：都是阿拉伯数字都是 4 位数都是正数都是整数相邻两个数字的差相等。第 7 讲9第 7 级上超常体系教师版【分析】这道题我们用逐步推导的方法，可以得到答案，但是比较麻烦。我们观察算式可以知道积是：999991，是一个整百万的数减 9，如果整百万的数是一个平方数，那么我们根据平方差公式就可以求出两个因数。在整百万的数中：1000000、4000000 和 9000000 是平方数，经实验只有 4000

14、000 符合要求，即：40000009=2000232=（20003）（20003）=20031997，所以 ABBC=2003。2.3.在里填上适当的数字，使下面的算式成立。116116abcefghm【分析】这里先用字母表示方格里的数字，以方便叙述。（1）观察整个式子，立刻可以发现，f=6，g=1，1ghabab（2）要使 f=6，cb 可能是 23，28，49，66，78（3）因为efcab是两位数，所以 78 不合题意（4）分支讨论，注意当 cb=23 时，e+h 不能向前进位13122613156或12133612156当 cb=28，49 或 66时，发现 e+h 都向前进位了，所

15、以不合题意淘汰掉。原式为：10第 7 级上超常体系教师版13122613156或121336121563.在右边的乘法算式中，字母 A、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个数字求A、B 和C 分别代表什么数字？941ABCABC【分析】第一个部分积中的9 是CC的个位数字，所以C 要么是3，要么是7 如果3C ，第二个部分积中的 4 是积3B的个位数字，所以8B 同理，第三个部分积中的1是积3B的个位数字，因此7A 检验可知7A，8B，3C 满足题意如果7C，类似地可知2B，3A ，但这时第二个部分积3272不是四位数，不合题意所以 A、B 和C 代表的数字分别是 7、8、3.解

16、有关数字谜的问题时，一定要注意以下几点：1、要注意算式中各汉字、字母或其他符号都只能取 0 至 9 中的某一个数字。2、要认真分析已给算式的特征以及题目给出的各种数量关系，并能根据这些特征、数量关系去正确选择解决问题的突破口。3、突破口的选择，往往是从确定的一个数（比如加数、和、乘数、被乘数、积、某一部分积、商或某一个余数）的个位、首位或其他数位上的数字入手。4、试验法在数字谜题的分析解答过程中是必不可少的一种方法。在试验过程中，应先进行估算和分析，以缩小所求数字的取值范围，从而减少试验次数，加快解题的速度，并在其中积累一些经验，逐步养成良好的分析思考的习惯。1.如图，在图中的空格内填入合适的

17、数字，使乘法竖式成立.家庭作业知识点总结第 7 讲11第 7 级上超常体系教师版038121322335【分析】根据题意，由被乘数的个位只能为 5，由于运算结果的十万位上为 1，则乘数与 3 的乘积后的结果的千位应为 1，所以乘数为 415，根据 415 与被乘数未知项的运算结果可知，被乘数的未知项为 8.所以运算式子应为：415382158530.2.下图是一个乘法竖式，请在其中的 10 个方框内分别填入 0 至 9 这 10 个数字，使得竖式成立.842275400383【分析】37624893248提示：本题可以采用因数分析法3.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.158

18、【分析】根据题意，被乘数与乘数的个位的乘积的十位上的数字是 5，则应为 179=153，或者198=152.当为 179=153 时，没有符合条件的数；当为 198=152 时，乘数的十位上为 9.所以运算结果为 1998=1862.12第 7 级上超常体系教师版4.在中填入适当的数字，使算式成立。16321【分析】为了方便还象前面的算式那样，用字母表示中的数字。（1）观察算式特点，乘数为 3 位数，但相加的积只有两行，结合第二行的对位情况可知 c=0。（2）“看尾”，积个位为 1，所以 h=1，b3=1，b 只能为 7。（3）“抓头”，结合算式特点，a 可能为 3 或 4，当 a=3 时，3

19、173=951 不是四位数，所以 a 只能为 4，被乘数，乘数确定了，其它位置的数也就定了。原式为：417603125125022514515.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立5803【分析】根据题意，除数应为 7，则商的个位应为 5所以857595依次填写即可6.在下面两图的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.第 7 讲13第 7 级上超常体系教师版328O5279O638【分析】（1）除数 9783，那么除数是783987.原式即为60038769.（2）除数 8232，那么除数是232829.原式即为 24652985.7.如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除

20、法竖式成立.7691【分析】根据题意，可知商的百位必为 1，而运算结果后余数为 1，则 9 与除数的乘积的末位为 6，所以除数为 64，则商位 109，所以被除数为 6977，其他依次填写即可.8.在“口”里填上适当的数字，使算式成立，有_种填法【分析】在下式中，从最后的 9 看，=1，3，7，9从第一次的减法可知9=1,=9;或者=3,=3；或者=7，=7经验算，填法只有两种14第 7 级上超常体系教师版【超常班学案1】有一本书中，列有这样一个乘法算题，其中大部分数字被蛀虫吃掉，只剩下一个数字 8，但位数还可以分辨清楚，请你帮忙补出方格中的数字。【分析】（1）竖式第 1 行与第 4 行都是三

21、位数字。因为第 1 行的 8 倍变成第 4 行，所以第 1 行的首位一定是 1。第 4 行的首位不是 8 就是 9。又因为第 5 行是四位数，所以第 4 行首位数一定是 8，因而算式可以补成：（2）根据第 3、4、5 行，首位不进位的关系，可以推断出第 3 行首位为 1，第 5 行首位为9，补成：（3）因为第 1 行的 8 倍，变成第 4 行，所以第 1 行的第 2 位，不是 0 就是 1，它不能等于或大于 2。假如是 0，则第 3 行就不应该是 4 位数，所以应该是 1。再比较第 2 行与第 3 行的情况，就可以认定第 2 行的末位数是 9。补为：（4）以后的推算就比较容易了。首行推断第 1

22、 行的末位数。该数若大于或等于 3，则第 4 行的第 2 位就得进位，所以应该不是 2 就是 1。若为 1，则第 3 行就不能变成 4 位数，所以应该是 2。既然被乘数和乘数已明确，那么其余被蛀虫吃掉的数都可以很容易地补上了。【超常班学案2】如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表 09 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为_.超常班学案第 7 讲15第 7 级上超常体系教师版学而思杯学而思杯【分析】首先从式子中可以看出“思”0，另外第三个部分积的首位只能为 9，所以“学”只能为 3由于 3 个部分积都是四位数，而且第三个部分积的

23、首位为 9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为 1 和 2，这样“学而思杯”就可能为3102 或 3201分别进行检验，发现310231029622404，与算式不相符，而3201 320110246401符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为 3、2、0、1【超常班学案3】已知除法竖式：780那么商是【分析】由除法竖式可以推知，商的十位数字必是 1于是可得除法竖式如下：1787110 从而可以断定商的十位数字必是 2因此，商是 12【超常班学案4】请把图中的除法竖式补充完整.777716第 7 级上超常体系教师版【分析】为了方便表述，我们

24、把一些必要的方格标上字母，一些显而易见的方格，直接标上了数字.77fh的结果是一个一位数，那么必然有，6,67,1habc.接下来，6777ei g，其中i 只能为 3,4,5，我们依次尝试 e的取值，发现只有当7e 时满足条件.那么我们可以填出整个竖式.717667107.7077777ceabfghig 【超常 123 班学案 1】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立.888【分析】根据题意，运算结果的万位必然为 1，而被乘数与乘数的个位的乘积后的千位最多只能为 8，则被乘数与乘数的十位的乘积后的结果的千位上应为 8，根据预算结果的千位为 8 则可知，乘数的十位必然为 9，所

25、以有：乘数的个位为 9，则有被乘数的个位为 2，则应为：992 1918848，依次填写即可.【超常 123 班学案 2】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中2，那么乘积是【分析】如式(2)，由题意 a2，所以 b6，从而 d6由 22c60 和 c2 知 c=3，所以 22是 225超常班 123学案第 7 讲17第 7 级上超常体系教师版或 228，75de 或 76因为 7539930 000，所以76de 再由乘积不小于 30000 和所有的2，推出唯一的解 76396=30096【超常 123 班学案 3】请把如图所示的除法竖式中空缺的数字补上.其中的商是多少？167160【分析

26、】观察，商的十位乘以 67=，那么商的十位是 1，除数的个位是 7.接下来，商的个位乘以 6761=，因此商的个位是 3.6736168732061=，687 138931.因此，原式是893168713，商是 13【超常 123 班学案 4】在图所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不相同的数字.请问：被除数是多少？C OLAILS LYRICSSIURRIOCCRAICOAGYLSRYLYURGYR【分析】;AILSCSIUR AILSORAICOCO那么9RIOCCRAICOAGYLY.接下来我们看4LYRISIURRIOCI.再看442,4R OCCRA COAGYLAO.11AGYLSRYLYURGYRARR.现在把已知的数字带回竖式中：24914411412429199191COLLS LCSSUOCCCOGLSLUG3582487 8914377461145331243520987198961091现在我们看，24124LSOCO，那么5O.那么通过145124 52 9CCCG L我们可以判断：0G.前面我们已经判断了CO，而0,1,2,4 都已经有归属了，只能是3C ，那么7,8SL.因此除数是 891437.