小学数学讲义秋季五年级A版第12讲燕尾模型优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲五年级秋季鸟头模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季燕尾模型五年级寒假长方体与正方体五年级寒假圆与扇形初步简单的燕尾模型；会利用辅助线构造燕尾.漫画释义知识站牌第十二讲 燕尾模型2第 9 级下优秀 A 版 教师版燕尾模型是共边模型中的一个模型.由于它形状像燕子的尾巴，为了便于记忆，就起名为燕尾模型.我们看下图，像不像一只在天空飞翔的燕子？1.认识燕尾模型，会从不同角度看出燕尾；2.会利用燕尾的特征构造出燕尾；3.能够将复合的燕尾分拆.既然燕尾模型是共边模型的一种，那么它也符合面积比例模型：3412123412132412:SSllSSSSllSSSSll

2、 后面这个式子，就是我们燕尾模型中的常用公式.l2l1S4S3S2S1GFEDCBA在三角形 ABC 中，有SABG:SAGC SBGE:SEGC BE:EC；SBGA:SBGC SAGF:SFGC AF:FC；经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲SAGC:SBCG SADG:SDGB AD:DB.燕尾模型为三角形中的面积与对应底边之间提供了相互联系的途径，可以帮助我们解决很多几何问题.1.已知:36510,求 36_5 10,63_105.答案:35,352.已知:3926,求 39_26,93_62答案:32,323.已知:(0,1)bkb kkaka,求

3、_bkbaka,_bkbaka.答案:ba,ba4.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:131242SSlSSl,且3142SlSl,利用上面题的结论可知:12_SS l2l1S4S3S2S1答案:12ll5.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:12SAOSOC,且34SAOSOC,所以1324_SSSS知识点回顾4第 9 级下优秀 A 版 教师版ODCBAS4S3S2S1答案:AOOC模块 1：例 1，2：燕尾的直接应用模块 2：例 3，4：燕尾的两次应用模块 3：例 5：燕尾的拆分如图，1S，2S 代表所在小三角形的面积，其他数代表所对应线段

4、的长度，分别求出每个图中12SS 的值.（学案对应：学案 1）S2S163S2S132S2S1106【分析】燕尾模型的直接应用.分别为 12，32，53想想练练：右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是4321【分析】法 1：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三例题思路例 15第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲角形中存在一个比例关系：2:13:4S阴影，解得2S阴影.法 2：回顾下燕尾模型，有 2:41:3S阴影（）

5、，解得2S阴影.【拓展】如图，已知ABD的面积是 15，ACD的面积是 20，BCD的面积是 14.求CDE的面积是多少？142015DECBA【分析】1533444820443477CDEABDBDECDEBCDACDCDEBCDSSSBESSSCESS（1）如图（1），则_AOBAOCSS，_BOCAOBSS，将上两式两边分别相乘，即可得到_BOCAOCSS（2）如图（2），则_AOBAOCSS，_BOCAOBSS，_AOCBOCSS.（3）如图（3），则_acebdfOEDCBA5253OEDCBAF423234fedcbaOEDCBAF图（1）图（2）图（3）【分析】（1）35，52，

6、32（2）43，32，12（3）AOBAOCSabS，BOCAOBScdS，AOCBOCSefS，三式相乘，得1acebdf。这也叫塞瓦定理。想想练练：如图，ABC中，:2:3BD DC,:5:3AE EC,则:AF FB.【分析】根据燕尾模型有:2:310:15ABGACGSSBD DC,例 26第 9 级下优秀 A 版 教师版:5:310:6ABGBCGSSAE EC,（都有AGB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:65:2ACGBCGAF FBSS.GFEDCBA【拓展】如图，已知:2:3BD DC,:5:3AE EC,BDG的面积是12.求ABC的面积.【分析】25:2:330

7、32BDGBCGBDGCDGSBD DCSSS555:5:33050333ABGABGBGCBGCSAE CESSS23:2:37532ABGACGABGACGSBD DCSSS503075155ABGACGBCGSSSGFEDCBA在ABC中，:2:1BD DC，:1:3AE EC，则:_OB OE.（学案对应：学案 2）ABCDEOABCDEO【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾模型，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接

8、 OC 连接 OC 因为:2:1BD DC，根据燕尾模型，:2:1AOBAOCSSBD BC，即2AOBAOCSS；又:1:3AE EC，所以4AOCAOESS则2248AOBAOCAOEAOESSSS，所以:8:1AOBAOEOB OESS例 37第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲如图，三角形 ABC 的面积是1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且:1:2BD DC，AD 与 BE 交于点 F 则四边形 DFEC 的面积等于（学案对应：学案 3）FEDCBA33321FEDCBAABCDEF【分析】法 1：连接 CF，根据燕尾模型，12ABFACFSBDSDC，1ABF

9、CBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，3ABFS份，3AEFEFCSS份，如图所标所以551212DCEFABCSS法 2：连接 DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS，11212233ADEADCABCSSS，所以11ABDADESBFFES，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS，而211323CDEABCSS所以四边形DFEC 的面积等于 512 例 4塞瓦定理塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的直线论，塞瓦定理是塞瓦的重大发现。8第 9 级下优秀 A 版 教师版

10、想想练练：如图，已知 BDDC，2ECAE，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积.DEFCBADEFCBADEFCBA【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，法 1：连接 CF，因为 BDDC，2ECAE，三角形 ABC 的面积是 30，所以1103ABEABCSS，1152ABDABCSS根据燕尾模型，12ABFCBFSAESEC，1ABFACFSBDSCD,所以17.54ABFABCSS，157.57.5B

11、FDS，所以阴影部分面积是30107.512.5法 2：连接 DE，由题目条件可得到1103ABEABCSS，11210223BDEBECABCSSS，所以11ABEBDESAFFDS，1111112.5223232DEFDEAADCABCSSSS，而211032CDEABCSS所以阴影部分的面积为12.5 如右图，三角形 ABC 中，:3:2AF FBBD DCCE AE，且三角形 ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为_，三角形 AGE 的面积为_，三角形 GHI 的面积为_（学案对应：学案 4）IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 AH、BI、CG 由于:3:2CE A

12、E，所以25AEAC，故2255ABEABCSS；根据燕尾模型，:2:3ACGABGSSCD BD，:3:2BCGABGSSCE EA，所以例 59第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲:4:6:9ACGABGBCGSSS，则419ACGS，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样分析可得919ACHS，则:4:9ACGACHEG EHSS，:4:19ACGACBEG EBSS，所以:4:5:10EG GH HB，同样分析可得:10:5:4AG GI ID，所以5521101055BIEBAESS，55111919519GHIBIESS想想练练：如图，ABC中2BD

13、DA，2CEEB，2AFFC，那么 ABC的面积是阴影三角形面积的倍ADCFEBGIHADCFEB【分析】如图，连接 AI 根据燕尾模型，:2:1BCIACISSBD AD，:1:2BCIABISSCF AF，所以，:1:2:4ACIBCIABISSS，那么，221247BCIABCABCSSS同理可知ACG和 ABH的面积也都等于 ABC面积的 27，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的211377，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的 7 倍【巩固】如右图，三角形 ABC 中，:4:3AF FBBD DCCE AE，且三角形 ABC 的面积是 74，求三角形GHI 的面积IHGFEDCBA

14、IHGFEDCBA【分析】连接 BG，AGCS 12 份根据燕尾模型，:4:312:9AGCBGCSSAF FB，:4:316:12ABGAGCSSBD DC得9BGCS(份)，16ABGS(份)，则9121637ABCS(份)，因此1237AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得1237ABHABCSS,1237BICABCSS,所以3712121213737GHIABCSS10第 9 级下优秀 A 版 教师版三角形 ABC 的面积是 74,所以三角形 GHI 的面积是174237如图，ABC中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若ABC的面积为 1，那么四边

15、形 CDMF 的面积是_FABCDEMNFABCDEMN【分析】由于点 D 是边 AC 的中点，点E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求出BN、NM、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积连接 CM、CN 根 据 燕 尾 模 型，:2:1ABMACMSSBF CF，而2ACMADMSS，所 以24ABMACMADMSSS，那么4BMDM，即45BMBD那么421453215BMFBCDBMBFSSBDBC，14721530CDMFS四边形另解：得出24ABMACMADMSSS后，可得111155210ADMABDSS，则11731030AC

16、FADMCDMFSSS四边形杯赛提高只移动 3 根火柴棒，你能使小燕子向相反的方向飞行吗？答案：11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲1.如图，E在 AC 上，D在 BC 上，且:2:3AE EC,:1:2BD DC，AD 与BE 交于点 F四边形 DFEC的面积等于222 cm，则三角形 ABC 的面积ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【分析】连接 CF,根据燕尾模型，12ABFACFSBDSDC，23ABFCBFSAESEC,设1BDFS份，则2DCFS份，2ABFS份，4AFCS份，241.623AEFS份,342.423EFCS 份,如图所标,所以22.4

17、4.4EFDCS份,2349ABCS 份所以2224.4945(cm)ABCS2.如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米，2ECDE，F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?GFEDCBA33GFEDCBA213【分析】设1DEFS份，则根据燕尾模型其他面积如图所示551212BCDSS阴影平方厘米.3.ABCD 是边长为12 厘米的正方形，E、F 分别是 AB、BC 边的中点，AF 与CE 交于G，则四边形 AGCD的面积是_平方厘米GFEDCBAGFEDCBA【分析】连接 AC、GB，设1AGCS份，根据燕尾模型得1AGBS份，1BGCS份，则附加题12第 9 级下优秀

18、A 版 教师版1 1 126S正方 形（）份，3 14ADCGS 份，所以22126496(cm)ADCGS4.如右图，ABC中，G 是 AC 的中点，D、E、F 是BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M，AF 与BG 交于 N，已知ABM的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？NMGABCDEFNMGABCDEF【分析】连接 CM、CN 根据燕尾模型，:1:1ABMCBMSSAG GC，:1:3ABMACMSSBD CD，所以15ABMABCSS；再根据燕尾模型，:1:1ABNCBNSSAG GC，所以:4:3ABNFBNCBNFBNSSS

19、S，所以:4:3AN NF，那么1422437ANGAFCSS，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS根据题意，有 157.2528ABCABCSS，可得336ABCS(平方厘米)燕尾模型：l2l1S4S3S2S1 3412123412132412:SSllSSSSllSSSSll 塞瓦定理：知识点总结13第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲fedcbaOEDCBAF结论：1acebdf1.已知三角形 ABC 中，BD=10，BC=14，则_ABEACESSEDCBA【分析】10514102ABEACESBDSCD2.如图，ABC中，:3:4BD DC,:5:4AE

20、 EC,则:AF FB.【分析】由塞瓦定理1BDCEAFDCAEFB 得：34145AFFB，所以53AFFB GFEDCBA3.如图所示，在ABC中，:3:1BE EC，D 是 AE 的中点，那么:AF FC 家庭作业14第 9 级下优秀 A 版 教师版FEDCBAFEDCBA【分析】连接 CD由于:1:1ABDBEDSS，:3:4BEDBCDSS，所以:3:4ABDBCDSS，根据燕尾模型，:3:4ABDBCDAF FCSS4.如图，三角形 ABC 的面积是1，2BDDC，2CEAE，AD 与BE 相交于点 F，请写出这 4 部分的面积各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【分析】连

21、接 CF，设1AEFS份，则其他几部分面积可以有燕尾模型标出如图所示，所以121AEFS,62217ABFS,821BDFS,242217FDCES5.如右图，三角形 ABC 中，:3:2AF FBBD DCCE AE，且三角形GHI 的面积是1，求三角形 ABC 的面积IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 BG，AGCS 6 份根据燕尾模型，:3:26:4AGCBGCSSAF FB，:3:29:6ABGAGCSSBD DC得4BGCS(份)，9ABGS(份)，则19ABCS(份)，因此619AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得619ABHABCSS,619BICABCSS,

22、所以1966611919GHIABCSS三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 196.如图，在ABC中，13DCEAFBDBECFA,求GHIABC的面积的面积 的值15第 9 级下 优秀 A 版教师版第 12 讲IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 BG,设BGCS 1 份，根据燕尾模型:3:1AGCBGCSSAF FB,:3:1ABGAGCSSBD DC,得3AGCS(份)，9ABGS(份),则13ABCS(份)，因此313AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得13ABHABCSS,313BICABCSS,所以1333341313GHIABCSS【学案

23、 1】如图，已知ABD的面积是 15，若:3:1AD DE.那么BDE的面积是多少？若:3:4BE EC，那么ACD的面积是多少？15DECBA【分析】315 1351ABDBDEBDESADSSDE 31543204ABDACDACDSBESSCE【学案 2】在ABC中，:3:2BD DC，:3:1AE EC，则:_OB OE.ABCDEOABCDEO【分析】连接 OC A 版学案16第 9 级下优秀 A 版 教师版因为:3:2BD DC，根据燕尾模型，:3:2AOBAOCSSBD BC，即32AOBAOCSS；又:3:1AE EC，所以43AOCAOESS则3342223AOBAOCAOE

24、AOESSSS，所以:2:1AOBAOEOB OESS【学案 3】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE 与CD相交于点 O,则ABC被分成的 4 部分面积各占ABC面积的几分之几？OEDCBA13.54.59211213OEDCBA【分析】连接 CO,设1AEOS份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS 份，所以四部分按从小到大各占ABC面积的 124.51393 13.59,303060 30103020【学案 4】如图在ABC中，12DCEAFBDBECFA,求GHIABC的面积的面积的值IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接 BG,设BGCS 1 份，根据燕尾模型:2:1AGCBGCSSAF FB,:2:1ABGAGCSSBD DC,得2AGCS(份)，4ABGS(份),则7ABCS(份)，因此27AGCABCSS,同理连接 AI、CH 得27ABHABCSS,27BICABCSS,所以7222177GHIABCSS【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们由对称法作辅助线.