小学数学讲义秋季五年级超常第3讲鸟头模型超常体系.pdf

1、1第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲四年级春季一半模型五年级暑假比例模型五年级秋季鸟头模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季燕尾模型简单鸟头模型漫画释义知识站牌第三讲 鸟头模型2第 9 级下超常体系 教师版大家都知道下围棋有“定式”，“定式”都是高手们长期实践的经验结果，一个围棋高手能够灵活运用各种定式，只需寥寥几子就知道对方的路数，就能推测以后的各种演化。一个数学解题的高手也可以灵活运用数学中的各种思维模式，从而快速解题。在数学中，将一类不断重复出现的、类似的问题以及该类问题的解决方法总结出来，并抽象成一定的描述及规范，即模型，这样在遇到此类问题时无需再作过多的考虑，直接使用总结好的方法。迅速

2、解决问题，这种方法相当于数学中的“定式”。今天我们将学习的鸟头模型就是小学直线型几何面积计算中提炼出来的一个行之有效的“定式”。1、能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法2、能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题3、能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(1)，或D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上如图(2），或 D 在 BA 的延长线上，E 在 CA 延长线上如图（3），或两个角相加为 180 如图（

3、4），则:():()ABCADEABACSSABACADAEADAEEDCBAEDCBAEDCBAEDBCA图图图图经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲1.（1）等底等高的两个三角形面积。（2）两个三角形高相等，面积比等于之比。（3）两个三角形底相等，面积比等于之比。【分析】（1）相等（2）底（3）高2.（1）如图 1，D 为 BC 的中点，212ABCScm，则_:_ABDACDSS：，2_ABDScm（2）如图 2，BC=4BD，212ABCScm，则_:_ABDACDSS：，2_ABDScm图 1图 2【分析】（1）1:1，6（2）1:3,33.如图，已知在三

4、角形 ABC 中，BD：CD=2：3，且220ABCScm，则2_ABDScm，_:_ABDACDSS：，_ACDABCSS【分析】8，2：3，35例 1:鸟头的证明例 2:特殊鸟头例 3:模型拆分(三角形)例 4:模型拆分(三角形)例 5:模型拆分(四边形)例 6:相似证明知识点回顾例题思路4第 9 级下超常体系 教师版例 7:相似应用例 8:相似应用.（1）如图,在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，试说明:():()ADEABCSSADAEABAC.已知:3:7AD AB,:4:7AE AC,且6ADES平方厘米，求ABC的面积。EDCBAEDCBA（2）如图，,D E 分别

5、是 BA,CA 延长线上的点，试说明：:():()ADEABCSSADAEABACAECBDAECBDED（3）如图,在ABC中，D在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，你能否说明:():()ADEABCSSADAEABAC.已知:5:2AB AD，:3:2AE EC,12ADES平方厘米，求ABC的面积.EDCBAEDCBA（4）如图，ADES与ABCS的比和 AD、AE、AB、AC 之间有什么样的关系？试着证明你的结论.EDBCA【分析】（1）连接 BE,:ADEABESSAD AB,:ABEABCSSAE AC，两个等式相乘得：:():()ADEABCSSADAEABAC:(43):(

6、77)12:49ABEABCSS，所以:12:49ADEABCSS,设12ADES份，则49ABCS份,6ADES平方厘米,所以 1 份是 0.5 平方厘米，49 份就是例 15第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲24.5 平方厘米，ABC的面积是 24.5 平方厘米(2)将三角形 ADE 旋转 180 度，得到三角形 ADE,然后证明同上。(3)连接 BE,:ADEABESSAD AB,:ABEABCSSAE AC,两个等式相乘得：:():()ADEABCSSADAEABAC所以:(3 2):5(32)6:25ADEABCSS,设6ADES份，则25ABCS份,12ADES平方厘米,所以

7、1 份是 2 平方厘米，25 份就是 50 平方厘米，ABC的面积是 50 平方厘米（4）:():()ADEABCSSADAEABAC，将三角形 ADE 顺时针旋转 90 度，得到鸟头模型的第 2 个图形，然后证明同(3)小题园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.(学案对应:超常 1)IHGFACB【分析】图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典精讲中的第 4 类鸟头。以右图为例，:():()1:1ABCHAGSSABACAHAG。因此，图中每一个红色三角形和对

8、应的青色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。已知DEF的面积为 7 平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求ABC的面积FEDCBA(学案对应:带号 1)【分析】:():()(1 1):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC，:():()(1 3):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA:():()(2 1):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC设24ABCS份，则4BDES份，4ADFS份，9CEFS份，244497DEFS份，恰好是 7 平方厘米，所以24ABCS平方厘米例 3例 26第 9 级下超常体系 教师版如

9、图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至D，使 BDAB；延长 BC 至 E，使2CEBC；延长CA至 F，使3AFAC，求三角形 DEF 的面积FEDCBA(学案对应:超常 2)【分析】用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，1 11428ABCFCESAC BCSFC CE又1ABCS，所以8FCES同理可得6ADFS，3BDES所以186318 DEFABCFCEADFBDESSSSS如图，平行四边形 ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形 ABCD 的面积是 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比HGABCDEFHGAB

10、CDEF(学案对应:超常 3,带号 2)【分析】连接 AC、BD 根据共角定理几何中的思维方法在几何中有两种思维方法：一种分析法，从结论出发，考虑满足结论成立所必须具备的条件，逐步追溯到题目所给的已知条件，从而打通条件与结论之间的联系。另一种方法叫综合法，其思维方向与分析方法相反，是由条件推倒出新的结论，然后把新的结论当作已知条件进行推导，逐步推导出题目中的结论。例 4例 57第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲在ABC和BFE中，ABC与FBE互补，1 111 33ABCFBESAB BCSBE BF又1ABCS，所以3FBES同理可得8GCFS，15DHGS，8AEHS所以8815+3+

11、236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS.所以213618ABCDEFGHSS.【巩固】如图，四边形 EFGH 的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形 ABCD 的面积HGFEDCBAABCDEFGH【分析】连接 BD 由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF，即2CGFCDBSS同理:1:2ABDAHESS，即2AHEABDSS所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS四 边形连接 AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS四边形四边形四

12、边形所以66513.2ABCDS四边形平方米.【拓展】平行四边形 ABCD，BEaAB，CFbCB，DGcDC，AHdAD，求四边形 EFGH 的面积与平行四边形 ABCD 面积间的关系HGABCDEF【分析】采用例题的方法，可得四边形 EFGH 的面积.最后得到公式11()2SSabbccddaabcd新原(1)如图(1),已知:ABCD,求证:AEBEABaEDECCDb,22ABECDESaSb例 68第 9 级下超常体系 教师版(2)如图(2),已知:BCDE,求证:ABACBCaADAEDEb.22ABCADESaSb(3)如图(3)，已知在平行四边形 ABCD 中，16AB，10A

13、D，4BE，那么 FC 的长度是多少？(4)如图(4)，DE BC，且2AD，5AB，4AE，求 AC 的长baEDCBAEDCBAba图(1)图(2)FEDCBAAEDCB图(3)图(4)(学案对应:带号 3)【分析】(1)这是相似三角形中的沙漏模型.证 明:如 图(5),设BE=x,CE=y.由 比 例 模 型 可 知ABEBDEACECDESSxSSy,进 而 可 得ABDABEBDEACDACECDESSSmxnxxSSSmynyy.换一个角度,1212ABDACDahSaSbbh.即xayb.同理可得:AEaEDb.综上,可得 AEBEABaEDECCDb.再由鸟头模型可得:22AB

14、ECDESaSb(2)这是相似三角形中的金字塔模型.证明:将三角形 ABC 绕 A 点旋转 180 度,如图(6).即成沙漏模型.结论均得证.(3)图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于CD，所以:4:161:4BF FCBE CD，所以410814FC(4)由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC 9第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲yxbaABCDEBCEDAba图(5)图(6)【巩固】如图，ABC中，DE FG BC，ADDFFB，则:ADEDEGFFGCBSSS四边形四 边形EGFADCB【分析】设1ADES份，根据

15、面积比等于相似比的平方，所以22:1:4ADEAFGSSADAF，22:1:9ADEABCSSADAB，因此4AFGS份，9ABCS份，进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以:1:3:5ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形【巩固】如图，已知 DE 平行 BC，:3:2BO EO，那么:AD AB _OEDCBA【分析】由沙漏模型得:3:2BO EOBC DE，再由金字塔模型得:2:3AD ABDE BC【拓展】如图，ABC中，14AEAB，14ADAC，ED 与BC 平行，EOD的面积是 1 平方厘米那么AED的面积是平方厘米ABCDEO10第 9 级下超常体系 教师版【分

16、析】因为14AEAB，14ADAC，ED 与BC 平行，根据相似模型可知:1:4ED BC，:1:4EO OC，44CODEODSS平方厘米，则415CDES 平方厘米，又因为:1:3AEDCDESSAD DC，所以15533AEDS(平方厘米)如图，在ABC中，有长方形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC 上，AH 是ABC边BC 的高，交 DE 于 M，:1:2DG DE，12BC 厘米，8AH 厘米，求长方形的长和宽EHGMFADCB(学案对应:超常 4)【分析】观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以 DEADBCAB，DGBDAHA

17、B，所以有1DEDGADBDBCAHABAB，设 DGx，则2DEx，所以有 21128xx，解得247x，4827x，因此长方形的长和宽分别是 487厘米，247厘米【巩固】图中 ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？ABCDEFGNMABCDEFG【分析】根据题中条件，可以直接判断出EF 与DC 平行，从而三角形GEF 与三角形 GDC 相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题做 GM 垂直 DC 于M，交 AB 于 N 因为 EF DC，所以三角形GE

18、F 与三角形GDC 相似，且相似比为:4:121:3EF DC，所以:1:3GN GM，又因为12MNGMGN，所以18GMcm，所以三角形 GDC 的面积为2112 181082cm例 711第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲如图，长方形 ABCD 中，E、F 分别为CD、AB 边上的点，DEEC，2FBAF，求:PM MN NQ PMNQFEDCBAGPMNQFEDCBA(学案对应:带号 4)【分析】如图，过E 作 AD 的平行线交 PQ 于G 由于 E 是DC 的中点，所以 G 是 PQ 的中点由于 DEEC，2FBAF，所以:2:3AF DE，:4:3BF CE 根据相似性，:2:

19、3PMMGAMMEAF DE，:3:4GN NQEN NBEC BF，于是25PMPG，33365735MNPGGQPG，4477NQGQPG，所以2 36 4:7:18:105 35 7PMMN NQ 有一块如图的蛋糕，DE 分别是 AB 的三等分点，小明按图切成 3 块，求空白部分是阴影部分的几倍？答：2 倍，将两个一模一样的蛋糕拼成如图所示，可以看出空白部分是阴影部分面积的 2倍。例 812第 9 级下超常体系 教师版鸟头模型:EDCBAEDCBAEDCBAEDBCA结论:():()ABCADEABACSSABACADAEADAE1.如图，三角形 ABC 中，:2:3AD DB，:3:2

20、AE EC，如果三角形 ADE 的面积等于 12，那么三角形 ABC 的面积是多少？ABCDE【分析】直接用共角定理：:(23):(55)6:25ADEABCSS，设6ADES份，则25ABCS份,6ADES平方厘米,所以 1 份是 2 平方厘米，25 份就是 50平方厘米，ABC的面积是 50 平方厘米2.如图,以直角三角形的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、BCED,连接 HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知3AB 厘米，4AC 厘米，求六边形 DEFGHI 的面积.家庭作业知识点总结13第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲IHGFEDCBA【分析】因为180BACHAG

21、 ,所以:():()1:1ABCHAGSSABACAHAG,3426ABCS(平方厘米)，所以图中四个三角形的面积和是 6424（平方厘米），再根据勾股定理有两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以三个正方形的面积和是222(34)50平方厘米，因此六边形的面积是 502474（平方厘米）3.如图,在ABC中，,D E F 分别是,AB AC BC 边上的点，且:5:2,:3:5,:2:3BD ADBF FCCE AE，DEF的面积为 43.5 平方厘米，则ABC的面积是平方厘米.FEDCBA【分析】根据鸟头定理分别求BDF,CEF,ADF的面积与ABC的面积的关系，:(53):(78)1

22、5:5675:280BDFABCSS,:(25):(5 8)1:470:280CEFABCSS,:(23):(75)6:3548:280ADEABCSS,设280ABCS份，则28075704887DEFS份，恰是 43.5 平方厘米，所以ABC的面积是 140 平方厘米4.如图所示，三角形 ABC 中，点 X，Y，Z 分别在线段 AZ，BX，CY 上，且2,3,.YZZC ZXXA4XYYB,三角形 XYZ 的面积等于 24，求三角形 ABC 的面积.ZYXCBA【分析】根据鸟头模型，1115341 112ABXXYZSAX BXSXY XZ，5241012ABXS；1113421 18BY

23、ZXYZSBY YCSXY YZ，32498BYZS；14第 9 级下超常体系 教师版1112231 13ACZXYZSCZ AZSYZ XZ，224163ACZS。109162459ABCS5.把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新的四边形 EFGH。如果 ABCD 的面积是 5 平方厘米，则 EFGH 的面积是多少？HGFEDCBA【分析】多次运用共角定理进行求解。连接 AC，BD。由共角定理1112366111236ABDAEHAEHCFGABCDBCDCFGSABADSAEAHSSSSBCCDSCFCG 同理可得，6BEFDGHABCDSSS，2(661)13 565EF

24、GHABCDSScm 6.如图,MNBC，:4:9MPNBCPSS，4 cmAM，求 BM 的长度.NMPACB【分析】在沙漏模型中，因为:4:9MPNBCPSS，所以:2:3MN BC，在金字塔模型中有：:2:3AMABMN BC，因为4 cmAM，4236AB cm，所以642 cmBM 7.梯形 ABCD 的面积为 12，2ABCD，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F，四边形CDFE 的面积是ABCDEFGFEDCBA【分析】延长 BF、CD相交于G 由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，2CGABCD，1122GDGCAB，再根据相似三角形性质，:2:1A

25、F FDAB DG，:1:3GF GB，而15第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲:2:1ABDBCDSSAB CD，所以1112433BCDABCDSS，28GBCBCDSS又111236GDFGBCSS，12EBCGBCSS，所以111812633CDFEGBCGBCSSS8.正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是平方厘米HGFEDCBAMHGFEDCBA【分析】欲求四边形 BGHF 的面积须求出 EBG和CHF的面积由题意可得到：:1:2EG GCEB CD，所以可得：13EBGBCESS将 AB、DF 延长

26、交于 M 点，可得：:1:1BMDCMF FDBF FC，而1:():3:22EH HCEM CDABABCD，得25CHCE，而12CFBC，所以121255CHFBCEBCESSS11112030224BCESABBC11773014351515EBCEBCEBCEBCBGHFSSSSS四 边形【超常班学案 1】如图,以ABC的三边分别向外做三个正方形 ABIH、ACFG、BCED,连接 HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知ABC的面积是 10 平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？IHGFEDCBA超常班学案16第 9 级下超常体系 教师版【分析】因为180BACHAG ,所以:

27、():()1:1ABCHAGSSABACAHAG,所以10HAGS(平方厘米)，同理另外两个三角形的面积也是 10 平方厘米，所以另外三个三角形的面积和是 30 平方厘米【超常班学案 2】已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D，使 BDaAB；延长 BC 至 E，使CEbBC；延长 CA至 F，使 AFcAC，求三角形 DEF 的面积FEDCBA【分析】根据共角定理(1)ADFABCSSca,同理(1)BDEABCSSab,(1)CEFABCSSbc,所以(1)1DEFABCSabbccaabcSabbccaabc【超常班学案 3】如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB、CB、C

28、D、AD 分别延长两倍至点 E、F、G、H，若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是ABCDEFGHABCDEFGH【分析】连接 AC、BD 由于2BEAB，2BFBC，于是4BEFABCSS，同理4HDGADCSS于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS再由于3AEAB，3AHAD，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS【超常班学案 4】如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC

29、 毫米，高80AD 毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？HGNPADCB【分析】观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有 PNAPBCAB，PHBPADAB，设正方形的边长为 x 毫米，PNPHBCAD1APBPABAB，即112080 xx，解得48x，即正方形的边长为 48 毫米17第 9 级下 超常体系教师版第 3 讲【超常 123 班学案 1】如图，在ABC中，延长 AB 至 D,使 BDAB，延长 BC 至 E,使12CEBC，F 是 AC 的中点，若ABC的面积是 2

30、，则DEF的面积是多少？ABCDEF【分析】利用共角定理在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，2241 11ABCFCESAC BCSFC CE又2ABCS，所以0.5FCES同理可得2ADFS，3BDES所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS【超常班 123 学案 2】如图，四边形 EFGH 中，EAaAB，HDbDA，CGaDC，BFbCB，求四边形 ABCD 的面积与四边形 EFGH 面积间的关系ABCDEFGH【分析】由共角定理得(1)AHECGFABCDSSab S四边形,(1)HDGBEFABCDSSba S四边形，所以(1)(1)1(21)EFGHABC

31、DABCDSabbaSababS四边形四边形四边形【超常班 123 学案 3】如图，长方形 ABCD 中，16EF，9FG，求 AG 的长DABCEFG【分析】因为 DA BE，根据相似三角形性质知 DGAGGBGE，123 班学案18第 9 级下超常体系 教师版又因为 DF AB，DGFGGBGA，所以 AGFGGEGA，即2225922515AGGE FG，所以15AG【超常 123 班学案 4】在下图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2cm2、11cm2，且 E是 BC 的中点，O 是AE 的中点；那么长方形 ABCD 的面积是cm2112GOFEDCBA【分析】如图，延长 AE、DC 交于点 H由于 E 是 BC 中点，由 ABCH，有 AE:EH=BE:EC=1:1，由于 O 是 AE 中点，那么 AO:OH=1:3由 AFGH，有22:1:31:9AOFGOHSS所以，2 918GOHS，那么18 117CEHS所以，444728ABCDABECEHSSS OGFEDCBA211H