小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第5讲神奇的九.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第五讲漫画释义六年级暑期数论中的计数六年级暑期数论中的规律六年级秋季神奇的九六年级秋季进位制六年级寒假 数论模块综合选讲（一）数论中弃九法的学习及弃九法的应用知识站牌第五讲神奇的九2第 11 级下超常体系教师版大家一定非常喜欢数字谜吧，你能在一分钟内回答下面的数字谜吗？首先不同的汉字代表不同的数字熊猫上树树树上猫熊中国的大熊猫上树树中中中中中中中中中第一个为10899=9801，第二个为123456799111111111，其中这两个数字谜中的“树”都是 9，看来 9 的威力很大呀，今天我们就来学习这神奇的 9，看看它还有什么神奇的规律和奥妙！1、掌握加减法数字和

2、与 9 的关系2、掌握多位数的计算中数字和与 9 的关系3、了解 9 在余数与数字谜中的应用1.说出下列各数被 9 除的余数314,31415,31415926，142857【分析】314(mod9=8），31415(mod9=5），31415926(mod9=4），142857(mod9=0）2.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确.【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 3 2 是 9 的倍数，而 4 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 3

3、 2 6 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数.3.计算3(3143141531415926142857)除以 9 的余数是【分析】3(8 540)5(mod9)4.检验下面的算式是否正确：（1）468729537=447156404（2）383831253=1517【分析】（1）46872 是 9 的倍数，4471564049 余 8，即左边是 9 的倍数，而右边不是，因此算式错误.（2）化除为乘，即判断 2531517=383831 是否正确.2539 余 1，15179 余 5，最终左边除以 9 的余数为 15=5.右边 3838319 的余数为 8，因此算式错误.知识

4、点回顾教学目标课堂引入3第 11 级下超常体系教师版第五讲注：弃九法仅能判断出错误，若左右两边余数相等，等式不一定成立.如：18365=6480.左右两边均是 9 的倍数，但算式却是错误的.一、整除中的 9判断整除：一个数能否被 9 整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是 9 的倍数即可。判断余数：一个数被 9 除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被 9 除的余数。二、进位借位中的 9相加进位时：把 10 写成 1，因此每进位一次和的数字和少 9，相减借位时：借 1 当 10，因此每借位一次差的数字和加 9三、弃九法：“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘、除、乘

5、方计算的结果是否错误。把一个数的各位数字相加得 9 的数去掉，直到和是一个一位数，这个数就叫做原来数的弃九数例如，3217：2+7=9去掉 2 和 7，1+3=4（我们就称最后的 4 为 3217 弃九数）模块一：进位、借位中的 9例 1：求和的数字和例 2：求加数的数字和例 3：乘多个 9 的数字和模块二：数论中的 9例 4：多位数除以 9 的余数例 5：因数倍数中的 9例 6：多位数与数字和中的 9模块三：数字谜中的弃九法应用例 7、例 8通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A 的数字之和为 5,B 的数字之和为 3,则 A+B 的数字之和为_.(2)A 的数字之和为 15,B 的数字之和

6、为 13,A+B 进位 1 次,则 A+B 的数字之和为_.(3)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 没有借位,则 A-B 的差的数字之和为_.(4)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 借了 1 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：超常 1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,可发现结果为 5+3=8;例 1例题思路经典精讲4第 11 级下超常体系教师版(2)591+58=649,555+904=1459,可发现结果为 15+13-9=19(3)555-

7、535=20,5127-4126=11,可发现结果为 15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,可发现结果为 15-13+9=11结论:(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 K 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 K 次,则差的数字之和为 x-y+9k原因:求和时,会将低位的 10当成高位的 1 用,因此数字和会减少 9;求差时,会将高位的 1 当成低位的 10 用,因此差的数字之和会增加 9.如下式,从 1-9 中选出 6 个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中

8、的六个数字之和为_1 2 0 9 （学案对应：超常 2，带号 1）【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位 2 次，由例1 的结论可知：原来六个数字之和为 1+2+9+92=30.（1）111111 999999 乘积的各位数字之和为_.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_.（3）1993123999999 乘积的各位数字之和为_.（4）k9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为_（5）1989119891111.11 111.11个个乘积的各位数字之和为_.【分析】（1）法 1：观察可以发现，

9、两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999999 很接近 1000000,于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=111111000000-111111=111110888889数字之和为 9654法 2：原式=111111(1000000-1)=1111111000000-1111111=111111000000-111111两式相减，借位 6 次，所以差的数字之和为 6-6+96=54（2）法 1：本题可用找规律方法：36=18；33 66=2178；333 666=221778；3333 6666=22217

10、778；例 3例 25第 11 级下超常体系教师版第五讲所以：3633.366.6n个n个 2722.2177.78(n-1)个(n-1)个，则原式数字之和26176863法 2：原式99999992222222(100000001)222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法 3：原式99999992222222(100000001)2222222222222200000002222222两式相减，借位 7 次，所以差的数字之和为 6-6+97=63（3）我们可以先求出 1993123 的乘积，再计算与(1000000 1

11、)的乘积，但是 1993123 还是有点繁琐设 1993123=M，则(1000123=)123000M(2000123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不是 0；令 M=abcdef则 M999999=M（1000000-1）=1000000M-M=000000abcdef-abcdef相减时借位 6 次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+69=54（4）k90999.91000kMMM个个相减时借位 k 次，因此差的数字之和为 M 的数字之和-M的数字之和+9k=9k（5）198911989119891989119891111.11

12、111.11999.99 111.11999.999N个个个9个个9，其中 N1989999.99个9所以1989119891111.11 111.11个个的各个位数字之和为：91989=17901123456789101112131420082009 除以 9，商的个位数字是_.（学案对应：超常 3，带号 2）【分析】首先看这个多位数是否能被 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少.由于任意连续的 9个自然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么把这 9 个数连起来写，所得到的数也能被 9 整除.由于200992232，所以1234567891011121314

13、20082009 这个数除以 9 的余数等于 20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 123456789101112131420082009 除以 9 的商，等于这个数减去 3 后除以9 的商，即 123456789101112131420082006 除以 9 的商，那么很容易判断商的个位数字为 4.例 46第 11 级下超常体系教师版（2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题）将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公因数是【分析】一个数与

14、其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其内部的数 从 小 到 大 排 成 一 个 等 差 数 列，公 差 为 9 首 项 为 6，末 项 为 2004，其 个 数 为2004691223 其最大公因数为 3已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 2008，则所有这样的四位数之和为【分析】法一（位值原理）：设这样的四位数为 abcd，则2008abcdabcd，即10011011122008abcd，则1a 或 2若2a，则1011126bcd，得0bc，3d，2003abcd；若1a，则1011121007bcd，由于11211 92 9117cd ，所以1

15、011007 117890b，所以8b，故b 为 9，112100790998cd，则c为偶数，且11982 980c ，故7c，由c为偶数知8c，5d，1985abcd；所以，这样的四位数有 2003 和 1985 两个，其和为：2003 19853988法二（同余）：设这样的四位数为 abcd，则2008abcdabcd弃九法在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，里面介绍了一个检验加法是否正确的方法弃九法。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是 9，要减去 9 得 0），这个数就叫做原来数的弃九数若等号两边的弃九数不相同，则结果一定不正确。例如 8

16、51+346=1297，851 的弃九数是 5，346 的弃九数是 4，1297 的弃九数是 1两个加数的弃九数相加得 4+5=9，弃掉 9 后是 0，而和的弃九数是 1，01，故这个结果一定错误。后来人们总结出了弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果是否正确同样适用。注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定满足弃九法的规律

17、。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。例 6例 57第 11 级下超常体系教师版第五讲由于(mod9)abcdabcd，所以2()20081(mod9)abcdabcdabcd，那么5(mod9)abcd，即 abcd除以 9 的余数是 5，又不超过299929，所以 abcd可以为 5、14、23.如果是 5，则2008()200852003abcdabcd，满足；如果是 14，则2008()2008141994abcdabcd，但 1994 数字和是 23，不是 14，不满足；如果是 23，则2008()2008231985abcdabcd，满足。所以，这样的四位数有 20

18、03 和 1985 两个，其和为：200319853988（1）从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中，选出九个不同数字填入下面的方框中，使等式成立，则其中未被选中的数字是_.+=2010（2）将 0-9 放入下面的十个方框中，使等式成立，则减数处的数字是_.+=2010（3）下面算式由 19 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是_.最大值是_.（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍由于 2010 的各位数字之和为 3，而

19、 0+1+2+9=45，所以应该从中去掉 6（2）设减数为 x，则左边等于+x-2x，除以 9 的余数与 45-2x 除以 9 的余数相同.右边的余数是 3，当 x=3 时，左右余数会相等.所以减数处的数字是 3.（3）9 个数字选 8 个，即有一个数字未选.设未选的数字为 x，则 45-x 除以 9 的余数与 2010除以 9 的余数相同.当 x=6 时成立，即未选中的数字为 6.这样加数的数字之和为 45-6=39，而和的数字之和为 3，差为 36，即进位 4 次.为了“数学解题”与“能力”的差最小，则“数学解题”越小越好.由进位可知，当十位向百位进2 时，“数学”最小.其他的个位向十位进

20、 1，百位向千位进 1.之后构造出一种答案.184295732010于是差最小为 1842-95=1757.最大值时，十位向百位进 1，其他的个位向十位进 2，百位向千位进 1.之后构造出一种答案.例 78第 11 级下超常体系教师版194825372010差最大为 1948-25=1923(第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛)右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9，不同的汉字代表不同的数字如果“北”和“京”分别代表 1 和 9请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数，并且说明理由北奥运会=京梦想成真【分析】设奥运会对应的字母分别为,A B C;梦想成

21、真对应的字母为,D E F G，因为 9奥运会=梦想成真，“梦想成真”为 9 的倍数于是：“D”“E”“F”“G”为 9 的倍数而：“D”“E”“F”“G”最大为：8765=26最小为：2345=14所以：“D”“E”“F”“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分别代表 2-8所以：“A”“B”“C”=238-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四组中的一组：8、7、28、6、38、5、47、6、4ABC9DEFG即A B C+D E F GA B C 0根据数字和分析，加数的数字之和为 A+B+C+D+E+F+G=35，和的数字和为A+B+C+0=1

22、7，35-17=18，说明进了两次位，个位一定向十位进一位，百位一定向千位进一位，所以十位没有向百位进位。所以有10CG,1BFC,进而有9234BFG 所以有2,3,4G 当2G 时，8C,3,4BF,17836A ,有63857426380当3G 时，7C,4,2BF,17476A,有64758236470当4G 时，6C,3,2BF,17638A ,有83675248360所以奥运会有 836，647，638 共 3 种取值例 89第 11 级下超常体系教师版第五讲结论 1：(1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k(2)若

23、 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k结论 2：k9999.9M 个(其中 M 为自然数，且 Mk9999.9个)乘积的各位数字之和为 9k.1.将12345678910111213依次写到第1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以9的余数是 _【分析】本题第一步是要求出第1997 个数字是什么，再对数字求和19 共有9 个数字，1099共有 90 个两位数，共有数字：902180(个),100999共009个三位数，共有数字：90032700(个),所以数连续写，不会写到 999,从100开始是3 位数，每三个数字表示

24、一个数，(19979180)36022，即有 602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位从100开始的第 602个三位数是701，第603个三位附加题知识点总结自己动手尝试用弃九法验算乘除法运算是否正确413212=875564276482056=20810第 11 级下超常体系教师版数是 702，其中 2 未写出来因为连续9 个自然数之和能被9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除，702个数能分成的组数是：702978(组)，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但702中 2 未写出来，所以余数为7292.(第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛)在图中的加法竖式中

25、，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么满足要求的不同算式共有多少种？兔 年十 六 届+华 杯 初 赛2011【分析】显然华=1和的数字之和除以 9 的余数应该与加数上的数字之和除以 9 的余数相等，根据弃九法，加数上的数字之和除以 9 应余 4，所以 5 不能出现则 0+1+2+3+4+6+7+8+9=40，2+0+1+1=4，减少了 36=49，所以共进 4 位百位肯定向千位进 1 位，下面就十位和个位的进位情况讨论：如果十位向百位进 2，个位向十位进 1，则百位数字之和为 8，十位数字之和为 20，个位数字之和为 11剩余的数字 0，2，3，4，6，7，8，9 可能的分组方法如

26、下：(0+8)，(4+7+9)，(2+3+6)；(2+6)，(3+8+9)，(0+4+7)；(2+6)，(4+7+9)，(0+3+8)注意 0 不能放在首位，所以共有 166+266+266=180 种如果十位向百位进 1，个位向十位进 2，则百位数字之和为 9，十位数字之和为 9，个位数字之和为 21剩余的数字 0，2，3，4，6，7，8，9 可能的分组方法如下：(0+9)，(2+3+4)，(6+7+8)；(2+7)，(0+3+6)，(4+8+9)；(3+6)，(0+2+7)，(4+8+9)注意 0 不能放在首位，所以共有 166+246+246=132 种综上所述，共 180+132=31

27、2 种3.用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数，要求这 5 个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最小是【分析】由于一个数除以 9 的余数等于这个数的各位数字之和除以 9 的余数，那么这五个四位数的和除以 9 的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以 9 的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以 9 的余数为 0，所以这五个四位数的和除以9 的余数也是 0，也就是说这五个四位数的和是 9 的倍数最高的前 2 位和最小为 10+10+23+24+34=101，而和的数字均是奇数.因此前三位最小为111，要使

28、结果为 9 的倍数，最后 2 位最小可以为 15.即和最小为 11115.构造如下：1099+1088+2547+2646+3735=111154.在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于_11第 11 级下超常体系教师版第五讲赛第 十 一0华 杯20届6+【分析】法 1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那

29、么“届”和“赛”一个是 2另一个是 4，那么“一”“杯”中有一个小于 5 的数必然是 3，另一个是 7，这样的话就不存在不重复的“十”和“华”使它们的和是 9，所以“届”“赛”必定出现进位由于“届”“赛”出现进位，那么“一”“杯”9，“届”“赛”16，所以 7 个汉字代表的 7 个数字之和等于1991635经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是 3、6、4、5、7、9 时可满足条件(答案不止一种)法 2：本题也可采用弃九法由于2006第十一届 华杯赛，所以 第 十 一 届 华 杯 赛+除以 9 的余数等于 2006 除以 9 的余数，为 8由于“第、十、一、届、华、杯、赛

30、”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设 19 中的另外两个数为 a 和b，那么45ab第 十 一 届 华 杯 赛+，故45ab除以 9 的余数为 8，则ab除以 9 的余数为 1由题意可以看出“第”1，所以 a、b 不能为 1，则 2028917ab，其中满足除以 9 余 1 的只有 10，所以10ab，45451035ab第 十 一 届 华 杯 赛+5.如果20103333333333A 个，那么 A 的各位数字之和等于.【分析】20103103033033303330A 个，所以20103320109333033333327300A

31、 个2006个次，3668370333273009370370370369700A 2006个个，数字和为 668 10256705.1.A 的数字之和为 100,B 的数字之和为 50,A-B 借了 5 次位,则 A-B 的差的数字之和为_.【分析】100-50+59=952.右边的加法算式中，每个“”内有一个数字，所有“”内的数字之和最大可达到家庭作业12第 11 级下超常体系教师版【分析】法 1：末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60法 2：三个数字相加，最高可进 2 位.上式中均可进 2 位，因此方框内的数字之和最大为2+4+96=603.2007

32、20073555333 个5个乘积的各位数字之和为_.【分析】200720072007320079200795555553339999993N 个 5个5个个个，N 为整数，由结论可知乘积的各位数字之和为 20079=18063.4.将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以 9 的余数.【分析】以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于 19992000 被 9 除的余数，但是由于 1999 与1999被 9 除的余数相同，2000 与2000被 9 除的余数相

33、同，所以 19992000 就与 19992000被 9 除的余数相同由此可得，从 1 开始的自然数 1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同根据等差数列求和公式，这个和为：12008200820170362，它被 9 除的余数为 1另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同因此，此数被

34、 9 除的余数为 15.把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数依不同的次序排列，可以得到362880 个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公因数为_【分析】本题的范围很大，必须缩小入手点涉及因数倍数问题，首先思考这类数本身具有的特点因为1 23945 ，所以无论次序如何，它们的数字之和总可以被9 整除，因而 9为所有这些九位数的公因数另外两个数的最大公因数是它们的差的因数，而在这些数中取两个数，它们的差最小为9，如 123456789 和 123456798 这两个数只差 9，所以这个最大公因数是 9 的因数，从而 9 是这 362880 个数的最大公因数6.有一类四位数，它们恰好

35、是自己的各位数字之和的 83 倍，那么这样的四位数有个【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的 83 倍，而一个数除以 9 的余数与它的数字和除以 9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是 9 的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的 82 倍)是 9 的倍数；而82,91，所以数字和是 9 的倍数，原数是839747的倍数，13第 11 级下超常体系教师版第五讲又因为原数是四位数，各位数字之和最多为 36，所以原数至多是 83 的 36 倍，也就是至多是 747 的 4 倍依次检验：74721494符合，而74732241和 74742988均不符合所以满足条件的四位数只有

36、 1 个7.在右边的加法算式中，若每个字母均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则 A 与 B 乘积的最大值是多少？910ECFDGAB【分析】因为910ECFDGAB，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以 9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9 的倍数，即 10 AB 是 9的倍数，由于78 15AB，所以8AB，再根据“和一定，差小积大”，所以 A、B 的取值为 3、5 时，A 与 B 乘积的最大值是 158.在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字使得算式成立，那么四位数华杯初

37、赛 的最大值是.2011兔年十六届华杯初赛【分析】显然华=1.总共有 9 个数字，也就是说 0 到 9 中有一个不能用，根据弃九法，5 不能用.每进一位数字和减少 9，0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36，所以共进 4 位.所以个位和十位之一需要进两位，有两种可能：(1)个位数字之和为 11，十位数字之和为 20，百位数字之和为 8；(2)个位数字之和为 21，十位数字之和为 9，百位数字之和为 9.为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小.“十”最少为 2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于 7.剩余数字 0，3，4，6，8，9，个位和为 21 的

38、显然是 4+8+9，十位和为 9 的剩下 0+3+6，所以最大为 1769.不必再考虑(1)了.超常班学案14第 11 级下超常体系教师版【超常班学案1】甲数各位数字之和是 9，乙数各位数字之和是 10，当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式做减法运算时，有两次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是_.【分析】9-10+29=17【超常班学案2】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031如果甲数的数字和为 10，乙数的数字和为 8，那么甲乙两数之和是_.【分析】根据弃九法可得知，乘积是3103131 7 11 13，适当组合可得知两数为 31 7217和11 13143

39、，和为 360.【超常班学案3】将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次排列写成一个多位数：a=135791113151719219799101103.则数 a 共有_位，数 a 除以 9 的余数是_.【分析】法 1：一位的奇数有 5 个，两位的奇数有 45 个，再加两个三位奇数，所以 a 是一个5+245+32=101（位）数.从 1 开始的连续奇数被 9 除的余数依次为 1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，从 1 开始，每周期为 9 个数 1，3，5，7，0，2，4，6，8 的循环.因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被 9 除余数为 0，从 1

40、-89 恰为 5 个周期，所以这个 101 位数 a 被 9 除的余数为 1+3+5+7+0+2+4 被 9 除的余数，等于 4.法 2：一个自然数被 9 除的余数和这个自然数所有数字之和被 9 除的余数相同，利用这条性质，a=135791113151719219799101103 中 13579 的数字和被 9 除的余数是 7，而1113151719219799 所有数字之和被 9 除的余数是 0，101103 的数字和被 9 除的余数是6.所以，a 被 9 除的余数是（7+6）被 9 除的余数，是 4.【超常班学案4】将数字 0-9 填入下面十个方框内，使等式成立，则共有_种不同的填法.【

41、分析】设加数的数字之和为 x，和的数字之和为 y，则 x+y=0+1+2+9=45，且 x,y 除以 9 的余数相同，只有 x,y 均为 9 的倍数时符合要求.再由数字谜的特点可知，1，0，9 的位置固定，如下图.910ECFDGAB1+0+A+B 是 9 的倍数，只能等于 9，即 A+B=8=2+6=3+5=5+3=6+2.A，B 共 4 种情况，每种情况下，E，F，G 可以互换，C，D 可以互换.当 A，B 为 2，6 时，C+D=11=3+8=4+7 有 2 种成立的情况.因此共有 53!2!60种不同的填法.【123班学案1】用数字 0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、

42、6、7、7、8、8、9、9 组成五个四位数，要求这 5 个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是（学案对应：超常 4，带号 4）123 班学案15第 11 级下超常体系教师版第五讲【分析】由于一个数除以 9 的余数等于这个数的各位数字之和除以 9 的余数，那么这五个四位数的和除以 9 的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以 9 的余数，而这五个四位数的各位数字之和为0129290，除以 9 的余数为 0，所以这五个四位数的和除以9 的余数也是 0，也就是说这五个四位数的和是 9 的倍数由于每个四位数都小于 10000，所以这五个四位数的和小于 50000，那么这个和的首位不超过 4

43、，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为 3，千位和百位最大为 9当前三位分别为 3、9、9 时，要使这个和是 9 的倍数，后两位数字的和除以 9 应余 6，可能为 6 和 15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是 6，那么这两个数应分别为 5 和 1 才能使和最大，此时最大和为 39951而当这五个四位数分别为 9348，9247，8236，7115，6005 时，它们的和恰好为 39951，因此所求的最大值为 39951注：最值问题，需要证明出理论最值，之后构造成功后才行.【123班学案2】设20092009的各位数字之和为 A，A 的各位数字之和为 B，B 的各位数字之和为

44、C，C 的各位数字之和为 D，那么 D _.【分析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以20092009与 A、B、C、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则20092009除以 9 的余数与20092除以 9的余数相同，而6264除以 9 的余数为 1，所以33420096 334 5652222除以 9 的余数为52 除以 9 的余数，即为 5另一方面，由于20092009803620091000010，所以20092009的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过 9803672324，即72324A；那么 A 的各位

45、数字之和9545B，B 的各位数字之和9218C，C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么C 为 5 或 14，C 的各位数字之和为 5，即5D【123班学案3】(第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛)在如图所示的乘法算式中，汉字代表 1 至 9 这 9 个数字，不同汉字代表不同的数字若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数祝贺 华杯赛第十四届【分析】根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这 9 个汉字恰好代表 19 这 9 个数字，那么它们的和为 45由于“祝”、“贺”分别代表 4 和 8，那么“祝贺”=

46、48是 3 的倍数，则“第十四届”也是 3 的倍数，这样它的各位数字之和也是 3 的倍数，可知“祝”、“贺”与“第”、“十”、“四”、“届”这 6 个数的和也都是 3 的倍数，那么“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和也是 3 的倍数，“华杯赛”这个三位数也是 3 的倍数从而“第”、“十”、“四”、“届”这 4个数的和是 9 的倍数由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为 45-4-8=33，所以“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和可能为 27 或 18(它们的和显然大于 9)，对应的“华”、“杯”、“赛”这 3 个数的和是 6 或 15(1)如果“华”、“杯

47、”、“赛”这 3 个数和是 6，则“华”、“杯”、“赛”分别为 1、2、3，如果“华”为 2，则“华杯赛”至少为 213，则4821310224，不是四位数，所以“华”只能为 1，这样“华杯赛”可能为 123 和 132，分别有 48 1235904，16第 11 级下超常体系教师版48 1326336，都不符合；(2)如果“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 15，根据上面的分析可知“华”只能为 1，这样“杯”、“赛”之和为 14，可能为95或86，由于“贺”为 8，所以“杯”、“赛”分别为 5 和 9，显然“赛”不能为 5，则“华杯赛”为 15948159=7632，满足条件。【123班学案4】(2012 年第十七届华杯赛决赛 A 卷)在乘法算式 草绿花红了=春光明媚中,汉字代表非零数字,不同汉字代表不同的数字,那么春光明媚所代表的四位数最小是.（学案对应：带号 4）【分析】设两位数除以 9 余a，三位数除以 9 余b，四位数除以 9 余c，由被 9 整除的数的特性得到)(9)9(modcbacab，所以得到)(9abba，由此有19)1)(1(kba，而cba,均小于 9，此时有1436741637aaaaabbbbb五种情况，再由要求四位数的最小值，即希望两位数和三位数的首位数字为 1 或 2，四位数的首位数字为 3 或 4，经试验可以得到439615728为最小。