小学数学讲义秋季四年级第13讲超常体系.pdf

1、第 13 讲1第 7 级下超常体系教师版三年级春季页码问题四年级暑假整除性质四年级秋季整除特征进阶四年级寒假质数与合数初步四年级春季进位制初步涉及数论中的整除特征，及整除特征的综合运用漫画释义知识站牌第十三讲 整除特征进阶第 7 级下超常体系教师版2公元前 6 世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道 6 和 28 是完全数.毕达哥拉斯曾说：“6 象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.”有些圣经注释家认为 6 和 28 是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数.圣奥古斯丁说：6 这个数本身就是完全的，并

2、不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了.1.掌握常见数的整除特征；2.体会位值原理在整除中的运用；3.培养数感以及分析、综合、抽象、概括等思维能力一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被 2，5 所整除的数的特征：看个位如果一个数的个位数能被 2 或 5 整除，则这个数就能被 2 或 5 整除(2)能被 4，25 所整除的数的特征：看末两位如果一个数的末两位能被 4 或 25 整除，则这个数就能被 4 或 25 整除(3)能被 8，125 所整除的数的特征：看末三位如果一个数的末三位能被 8 或 125 整除，则这个数就能被 8 或

3、125 整除.2.求和判断法:能被 3 和 9 整除的数如果一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数就能被 3（或 9）整除3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数就能被 11 整除，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以 11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13 的倍数，则这个数能被 7、11、13 整除，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被 7,11,13除余几就代表这个数除以 7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：课堂引入经典精讲教学

4、目标第 13 讲3第 7 级下超常体系教师版(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.一

5、、判断(1)一个自然数不是奇数就是偶数（）(2)能被 2 除尽的数都是偶数（）(3)能同时被 2 5、整除的数个位上的数字一定是 0（）(4)两个奇数的和一定能被 2 整除()(5)奇数一定不能被2 整除()(6)个位上是1 3 5 7 9、的自然数，都是奇数()(7)在相邻的两个自然数中，偶数一定比奇数小()【分析】、二、下面 6 个自然数：152、660、414、4375、9064、24125这些自然数中，(1)哪些能被 2 整除？哪些能被 5 整除？(2)哪些能被 4 整除？哪些能被 25 整除？(3)哪些能被 8 整除？哪些能被 125 整除？(4)哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整

6、除？【分析】（1）能被 2 整除的数有 152，660，414，9064能被 5 整除的数有 660，4375，24125（2）能被 4 整除的数有 152，660，9064能被 25 整除的数有 4375，24125（3）能被 8 整除的数有 152，9064能被 125 整除的数有 4375，24125（4）能被 3 整除的数有 660,414能被 9 整除的数有 414三、28，3 2 既能被2 整除，又能被3 整除15，22 既能被3整除，又能被5 整除【分析】这些数要能被 2 整除，则个位上可以填02468、，但是同时又要能被 3整除，因 此 各 个 数 位 上 的 数 字 的 和

7、能 被 3 整 除，则 答 案 有 282288、；312342372、.这些数要能被 5 整除，则个位上可以填05、，但是同时又要能被3 整除，因此各个数位上的数字的和能被3 整除，则答案有315、615、915；225知识点回顾第 7 级下超常体系教师版4模块一：数的整除特征应用（例 1、例 2、例 3）；模块二：试除法的运用（例 4）；模块三：整除综合运用（例 5、例 6、例 7、例 8）；在方框中分别填上两个数字，可以相同也可以不同，使4 32 是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填得是否正确.一共有多少种满足条件的填法？【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9

8、的倍数，即 4 3 2 是 9 的倍数，而4 3 2 9,所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数依次填入 3、6，因为4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数；经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9 的倍数，如果和是 9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有 12 种不同的填法下面五个自然数：128114、94146、64152、6139、491678 中，哪些能被 7 整除？哪些能被 11 整除？哪些能被

9、 13 整除？【分析】能被 7 整除的数：128114、6139能被 11 整除的数：64152、491678能被 13 整除的数：94146例 2例 1例题思路第 13 讲5第 7 级下超常体系教师版(1)已知九位数 2007212 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那么，这个九位数是多少？(2)六位数 2008能被 99 整除，是多少？(3)如果六位数 2003能被 99 整除，它的最后两位数是多少？【分析】（1）设原数2007 12 2ab，9|2007 12 2ab4ab或者13ab，11|2007 12 2ab 20a 22(071b)0或者(071b)(2202)a112ab或

10、者9ba根据两数和差同奇偶，得：42abab 31ab 或者139abba 211ab 不成立.所以，2007 12 2ab200731212.（2）方法一：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以0028能被 99 整除，商 72 时，99727128，末两位是 28，所以 为 71；方法二：利用 99 的整除性，20+08=99，=99-20-8=71.（3）方法一：试除法 20039999=202423，所以最后两位是 99-23=76.方法二：利用 99 的整除性，20+03+=99，=99-20-3=76.某个七位数1993能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整

11、除，那么它的最后三位数字依次是多少？【分析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐.采用试除法比较方便，若使得 7位数能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，只要让七位数是 2，3，4，5，6，7，8，9 最小公倍数的倍数即可.【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用 1993000 试除，数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支.素有“数学王子”之称的 19 世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后.由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科.美国芝加哥大学著名数学家迪克森(L.E.

12、Dickson)就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污.20 世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科.哈代本人则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”.当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实.事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用.例 4例 3第 7 级下超常体系教师版619930002520=7902200，余 2200 可以看成不足 2520

13、-2200=320，所以在末三位的方格内填入 320 即可1、20092009 能否被 11 整除？2、3200920092009200909个能否被 11 整除？3、200920092009200909n个能被 11 整除，那么，n 的最小值为多少？4、2009200920092009736n个，能被 11 整除，n 最小值为多少？（学案对应，超常班学案 4，超常 123 班学案 3）【分析】1、奇数位数字之和为 9+9=92=18，偶数位数字之和为 2+2=22=4，奇数位减偶数位的差为 92-22=（9-2）2=14，不是 11 的倍数，所以 20092009 不能被 11 整除.2、奇

14、数位数字之和为 9+9+9+9=94=36，偶数位数字之和为 2+2+2=23=6，奇数位减偶数位的差为 93-23+9=（9-2）3+9=30，不是 11 的倍数，所以3200920092009200909个不能被 11整除.3、200920092009200909n个中奇位数减偶位数的差为(92)979nn，当5n 时，(79)n 是 11 的倍数，所以n 的最小值是 5.4、奇数位数字之和为 672n，偶数位数字之和为 39n，这个多位数整除 11，即(39)(672)710nnn能整除 11，n 最小取 3一个三位数的百位、十位和个位的数字分别是 5，a 和b，将它连续重复写 2008

15、次成为：20095555abab abab个.如果此数能被 91 整除，那么这个三位数5ab是多少？【分析】因为 917 13，所以20095555abab abab个也是 7 和 13 的倍数，因为能被 7 和 13 整除的特点是末 三 位 和 前 面 数 字 的 差 是7和13的 倍 数，由 此 可 知20085200755555555000ababab abababab abab个个也是 7 和 13 的倍数，即20075555abab abab个也是 7和13 的 倍 数，依 次 类 推 可 知20075555abab abab个末 三 位 和 前 面 数 字 的 差 即 为：动物医院

16、里的狗医生和猫护士共重 27 千克如果狗医生的重量是奇数，而且他的重量是她的 2 倍，那狗医生和猫护士各重多少千克？【答案】狗小姐重 9 千克；猫先生重 18 千克例 6例 5第 13 讲7第 7 级下超常体系教师版20065200555555555000ababab abababab abab个个也是 7 和 13 的倍数，即20055555abab abab个也是 7和 13 的倍数，由此可知5ab也是 7 和 13 的倍数，百位是 5 能被 7 和 13 即 91 整除的数字是：91 6546，所以46ab.将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数

17、，那么，这个 6 位数除以 667的结果是多少？【分析】本题考察对数字 667 的特殊认识，即 6673=2001.本题要求用 4，5，6，7，8，9 组成一个 667 的倍数，其实发现 4，5，6，7，8，9 组合出的数一定是 3 的倍数，那么只要考虑组成一个 2001 的倍数即可，而 2001 的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 900 多的数字，后三位是 400 多，很容易得到 956478.那么 956478667=1434.一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称它为“十全数”，例如，3785942160 就是一个十全数现已知一个十

18、全数能被 1，2，3，18 整除，并且它的前四位数是 4876，那么这个十全数是多少？【分析】这个十全数能被 10 整除，个位数字必为 0；能被 4 整除，十位数字必为偶数，末两位只能是 20设这个十全数为487620abcd由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被 11 整除，860(472)1()bdacbdac 被 11 整除，可能是111bdac 、1bdac、1 11bdac 由于 a、b、c、d 四个数分别为 1、3、5、9 中的一个，只能是111bdac，即10bdac所以b、d 是 9 和 5；a、c 是 3 和 1，这个十全数只能是 4876

19、391520，4876351920，4876193520，4876153920 中的一个由于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有 4876391520 符合条件一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被 2，5 所整除的数的特征：看个位如果一个数的个位数能被 2 或 5 整除，则这个数就能被 2 或 5 整除(2)能被 4，25 所整除的数的特征：看末两位如果一个数的末两位能被 4 或 25 整除，则这个数就能被 4 或 25 整除(3)能被 8，125 所整除的数的特征：看末三位如果一个数的末三位能被 8 或 125 整除，则这个数就能被 8 或 125 整除.2.求和判断法:能被

20、 3 和 9 整除的数如果一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数就能被 3（或 9）整除3.数段差判断法：例 7例 8知识点总结第 7 级下超常体系教师版8(1)11：如果一个数从右边开始数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数能被 11 整除；如果算出的差不是 11 的倍数，那么这个差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13 的倍数，则这个数能被 7、11、13 整除；如果算出的差不是 7、11、13 的倍数，那么这个差被 7,11,13除余几就代表这个数除以

21、7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.1

22、、修改四位数 5679 中的一个数字，使新的四位数能被 8 整除，求修改后的四位数是多少？【分析】关键看这个数的末三位，如果末三位能被 8 整除，则这个四位数就能被 8 整除，6798847，所 以原 数减 去 7 就 是 一个 满 足条 件的 四 位 数，这 个 四位数是5679756722、两个四位数275A和 275B 相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求 A 和 B.【分析】考虑到7289，而275A是奇数，所以275B 必为 8 的倍数，因此可得2B；四位数 2752各位数字之和为275216不是 3 的倍数也不是 9 的倍数，因此275A必须是 9 的倍数，其各位数字之和275

23、14AA能被 9 整除，所以4A.3、从 0 3 5 7、四个数字中选三个组成一个三位数，使组成的数能同时被2 3、和5 整除这样的三位数有几个？【分析】根据能被 2 3 5、整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被 2 3 5、整除，这个三位数的个位数字必须是 0 现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从7 5 3、三个数字选取，且每位上的数字的和要能被 3整除，一共有两个：570 或7504、在 234 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被 3、4、5 整除，那么这样的六位数中最小的是哪个？【分析】要能被 4、5 整除，则这个数的末两位是 00、20、40、

24、60、80为了使这个六位数尽可能小，我们从 234000 开始逐个检验能否也被 3 整除，则得到 234000 是所求的数5、七位数 3 6829AB 是 88 的倍数，求 A 和 B.【分析】88=118.个位只能为 6,3+8+2+6=9+6+A=19,A=4.所以 A=4，B=6.6、四位偶数 6 4 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数【分析】令该数为 6 4a b，根据题意，能被 11 整除的数应为从末位开始，奇数位数字之和与偶数位家庭作业第 13 讲9第 7 级下超常体系教师版数字之和的差为 11 的倍数所以10ab，并且 b 为偶数，则共有 4 个满足条件的四位数分别为：6

25、248,6446,6644,68427、有四个非零自然数,a b c d，其中 cab，dbc.如果 a 能被 2 整除，b 能被 3 整除，c 能被 5 整除，d 能被 7 整除，那么 d 最小是.【分析】因为 cab，dbc，可知2dab，因为 a 能被 2 整除，可知 d 一定能被 14 整除，题目要求最小，所以从 14 逐级往下试可知，当d 是 28 时，c=25,b=3,a=22,正好满足题意，所以 d 最小是 288、在六位数 ABCDEF 中，不同的字母表示不同的数字，且满足 A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF 依次能被 2，3，5，7，11，13 整除则 AB

26、CDEF 的最小值是.【分析】求最小值，先看 A,最小偶数为 2，然后 AB 被 3 整除，B 最小为1，然后依次推出0C.7D,6E,9F.【超常班学案 1】试证明任意一个两位数均满足：将它的个位数字和十位数字对调后得到的新数与原数的差一定能被 9 整除.【分析】设原来的两位数为 ab，则新的两位数为 ba.ba ab(10)(10)9()baabba.因为9()ba能被 9 整除，所以它们的差能被 9 整除.【超常班学案 2】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数字，才能使得所得的整数5050666?555 个6个5可被 7 整除？【分析】由于111111111 1001可被 7 整除

27、，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“66 55？”从中减去 63035，并除以 100，即得“3 2？”可被 7 整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除所以？处应填 2 或 9.【超常班学案 3】在865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时被3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的小.【分析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc，因为这个六位数能分别被 3、4、5 整除，所以它应满足以下三个条件：第一：数字和(865)abc 是 3 的倍数；第二：末两位数字组成的两位数bc 是 4

28、 的倍数；第三：末位数字c 是 0 或 5.由以上条件，4|bc，且c 只能取 0 或 5，又能被 4 整除的数的个位数不可能是 5，c 只能取 0，因而 b 只能取 0，2，4，6，8 中之一.又 3|8650ab，且（8+6+5）除以 3 余 1，ab 除以 3 余 2.为满足题意“数值尽可能小”，只需取0a，2b.要求的六位数是 865020.方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000 进行试除分别被 3、4、5 整除，就是被60 整除，865000601441640，所以 86500020865020能被 60 整除.要求的六位数是 865020.【超常班学案 4】用数字 6，

29、7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除.这个六位数是多少？【分析】因为 168=837，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除超常班学案第 7 级下超常体系教师版10能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的倍数，末位为偶数在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是688 或 768，而又要求是 7 的倍数，由例 8 知abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，688 的不管怎么填都得不到 7 的倍数至于能否被 3 整除可以不验证，因为整除 3 的

30、数的规律是数字和为 3 的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值.所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数【超常 123 班学案 1】试证明任意一个 5 位数均满足：其原序数与反序数的差一定是 99 的倍数(如：12367 为原序数，那么它对应的反序数为 76321，它们的差 6395499646是99 的倍数【分析】设原序数为abcde，则反序数为edcba，则abcde edcba1000010001001010000100010010abcdeedcba()()99999909909999abde99 1011010101abde()因为等式的右

31、边能被 99 整除，所以 abcde edcba 能被 99 整除【超常 123 班学案 2】301302303304305306307308309310 能否被 11 整除？如果不能，那么余数是多少？【分析】共有 10 个数，从末位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差为：(302304306308310)(301303305307309)5，511=05所以不能，余数为 5【超常 123 班学案 3】1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是193426857 和7

32、58624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?987654321【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除而396994，所以我们只用考察它能否能被 4 整除于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能注意图中的具体数字，有(3，4)处、（8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为 43 1924，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪

33、开的末两位数字之差为 62328864244，582632，851768，915734，713932所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，123 班学案第 13 讲11第 7 级下超常体系教师版(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的倍数(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，9【超常 123 班学案 4】用数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 拼成一个十位数.要求前 1 位数能被2 整除，前 2 位数能被 3 整除，前 9 位数能被 10 整除已知最高位

34、数为 8这个十位数是【分析】由前 9 位数能被 10 整除，可知第九位数字为 0，前四位能被 5 整除，可知第四位数字为 5，前 8 位数能被 9 整除，即前八位数字和为 9 的倍数，而所有数字本身就是 9 的倍数，所以第十位数字只能是 9，前两位数能被 3 整除，故第二位数字只能是 1、4 或 7，如果第二位数字是 4，则找不到前三位数能被 4 整除，故第二位数字只能是 1 或 7，则第三位数字只能是 2 或 6，结合前五位能被 6 整除知只能是前五位 87654 或 81654，前七位数字能被 8 整除，知第七位数字是 2由前 6 位数字能被 7 整除，经试验唯一可能是 816543，故 7 必在第八位上，故这个数应为 8165432709