福建省福州第八中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司福州八中 2022-2023 学年第二学期期末试卷 高二数学 命题：欧阳师章 审核：陈达辉 校对：揭连英 考试时间：120 分钟 总分：150 分 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为实数集 R，集合3,2,1,0,1,2,3A=，2Bx x=，则()RAB=A.2,3 B.2,1,0,1 C.3,2,1,0,1 D.3,2,1,0 2.已知1(23i)iz=（i 是虚数单位），那么复数 z 在复平面内对应的点所在的象限为 A.四 B.一 C.二 D.三 3.已知点()1,3M在圆2

2、2:C xym+=上，过 M 作圆C 的切线l，则l 的倾斜角为 A.30 B.60 C.120 D.150 4.“1a=”是“函数()()22lgf xxax=+是奇函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知,都是锐角，()35sin,cos513=+=，则cos =A.5665 B.1665 C.1665 D.5665 6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己 6 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 4 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个

3、舱内做实验，则不同的安排方案共有 A.14 种 B.16 种 C.18 种 D.20 种 7设nS 为正项等差数列 na的前n 项和若20232023S=，则4202014aa+的最小值为 A 52 B5 C9 D 92 8.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为 211，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为 14；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 13记第 n 次推送时不购买此商品的概率为nP，

4、当2n 时，nPM恒成立，则 M 的最小值为 学科网（北京）股份有限公司A.97132 B.93132 C.97120 D.73120二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知向量()1,1a=，(),1bmm=，()2,2cm=，若 ab，则 A.12m=B.13,22ab=C.5c=D.32b c=10.若0a，0b，且221111loglogabba，则下列不等式中正确的是（）A.11ab B.1133ab C.11aabb+D.loglogabba 11.如

5、图所示，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形，PC平面 ABCD，AB=BC=PC=2，O 为 AP 的中点，则下列说法正确的是（）A.平面 PDB平面 PAC B.若平面 PAB平面 PCD=l，则lAB C.过点 O 且与 PC 平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形 D.平面 PBD 截该四棱锥外接球所得的截面面积为 8312已知抛物线 E：24yx=的焦点为()1,0F，圆 F：222(1)(01)xyrr+=的左、右焦点，过左焦点1F 的直线l 与C 在第一象限相交于一点 P，若112F PF F=，且直线l 倾斜角的余弦值为 78，则C 的离心率为 学科网（北京）股份有限公司16

6、.设定义在()0,+上的函数()f x 满足()e1xfx，则函数()exf x 在定义域内是_（填“增”或“减”）函数；若()lnefxx+，12 e2f =，则 x 的最小值为_ 四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17（10 分）已知 na为等差数列，nb为单调递增的等比数列，111ab=，246aa+=，3 312a b=.（1）求 na与 nb的通项公式；（2）求数列nnab+的前n 项和nS 18（12 分）在 ABC中，角 A，B，C 的对边分别为,a b c 已知1a=，2 3b=，6BA=（1）求sin A 的值；（2）求c 的值

7、19.（12 分）牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T 骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取 100 盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T 骨牛排数量/盒20302030(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 盒牛排中抽取 10 盒，再从抽取的 10 盒牛排中随机抽取 4 盒，求恰好有 2 盒牛排是 T 骨牛排的概率；(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取 3 盒，若 X 表示抽到的菲力牛排的数量，求 X 的分布列和数学期望 学科网（北京）股份有限公司20.（12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，/AB C

8、D，222ABCDAD=，将ADC沿着 AC翻折，使得点 D 到点 P 处，且APBC.（1）求证：平面 APC 平面 ABC；（2）求二面角CPAB的平面角的正弦值.21（12 分）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点分别是1F、2F，其离心率12e=，点 P是椭圆C 上一动点，12PF F内切圆面积的最大值为 3 （）求椭圆C 的标准方程；（）直线1PF，2PF 与椭圆C 分别相交于点,A B，求证：1212PFPFF AF B+为定值 22（12 分）设函数()lnf xxx=，()()xg xae aR=（1）若曲线()yf x=在1x=处的切线也与曲线()yg

9、x=相切，求a 的值（2）若函数()()()G xf xg x=存在两个极值点 求a 的取值范围；当22ae 时，证明：()0G x，故2q，所以1112nnnbb q；5 分（2）由（1）可知12nnnabn+=+，数列 na的前n 项和为()1122n nn+=，7 分 数列 nb的前n 项和为11 2122211 2nnn+=，9 分 故()1212nnn nS+=+.10 分 18（12 分）【解】（1）在 ABC中，因为1a=，2 3b=，6BA=，由正弦定理得，12 3sinAsin6A=+，学科网（北京）股份有限公司于是2 3sinsin coscos sin66AAA=+，即3

10、 3sincosAA=，4 分 又22sincos1AA+=，所以7sin14A=6 分（2）由题 ab,AB,故由（1）知，3 21cos14A=，则3 3sin22sin cos14AAA=，213cos21 214Asin A=，在 ABC中，因为 ABC+=，6BA=，所以526CA=则5sinsin26CA=55sincos2cossin266AA=11333 31121421414=+=由正弦定理得，sin11 7sin7aCcA=12 分（另解：可以通过求2 7cos7B=，用余弦定理求11 77c=，满分；如果通过求3 21cos14A=，用余弦定理求11 77c=或7c=（舍

11、），用两边之和大于第三边判断，否则扣 2 分）19（12 分）【解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这 100 盒牛排中抽取 10 盒，其中 T 骨牛排有 3 盒，非 T 骨牛排有 7 盒，再从中随机抽取 4 盒，设恰好有 2 盒牛排是 T 骨牛排为事件 A，则2237410C C3 213()C21010P A=；5 分（2）这 100 盒牛排中菲力牛排有 20 盒，所以菲力牛排的频率为 2011005=，6 分 设从这批牛排中随机抽取 1 盒，抽到菲力牛排的事件为 B，将频率视为概率，用样本估计总体可得1()5P B=，从这批牛排中随机抽取 3 盒，抽到的菲力牛排的数量 X 满足13,

12、5XB，032013314641448(0)C,(1)C5512555125P XP X=，学科网（北京）股份有限公司23023331412141(2)C,(3)C5512555125P XP X =10 分 所以 X 的分布列为 X0123P 6412548125121251125 11 分 所以13()3 55E X=12 分 20（12 分）【解】（1）由等腰梯形 ABCD 中，222ABCDAD=，过 C 做CEAB，交 AB 于 E，连接 AC，如图所示 根据对称性可得，1=2BE，所以1cos2EBABCBC=，可得60ABC=，又由2ABBC=，所以2222cos3ACBCABB

13、C ABABC=+=，即3AC=，所以222ACBCAB+=，即 ACBC，2 分 又因为 BCAP，且 ACAPA=，所以 BC 平面 APC，又由 BC 平面 ABC，所以平面 APC 平面 ABC.5 分（2）取 AC 的中点 E，AB 的中点 F，以 E 为坐标原点，EA 为 x 轴，EF 为 y 轴，EP 为 z 轴正方向建立空间坐标系，则3,0,02A，3,1,02B，3,0,02C，1()0,0,2P D，所以31,0,22AP=，()3,0,0AC=，31,1,22PB=，31,0,22PA=，设平面 APC 的法向量为()1111,xny z=，平面 BPA 的法向量为()2

14、222,nxyz=，则1113102230 xzx+=，令11y=，得一个法向量1(0,1,0)n=，8 分 学科网（北京）股份有限公司又222223102231022xyzxz+=，令21x=，则223yz=，得一个法向量()21,3,3n=，10 分 所以121212321cos,711 33n nn nnn=+，所以12n7si2 7,n n=所以二面角CPAB的平面角的正弦值为 2 77.12 分 21（12 分）【解】（）设12PF F内切圆的半径为 r，则()12121212PF FPFPFF FrS+=，1212222PF FPF FSSracac=+，当12PF F的面积最大时

15、，12PF F内切圆的半径 r 最大，则当点 P 为椭圆的上顶点或下顶点时，12PF F的面积最大，最大值为 122cbbc=，r的最大值为 bcac+，又12PF F内切圆面积的最大值为 3，33bcac=+，4 分 由2223312bcaccaabc=+=+得：231abc=，椭圆C 的标准方程为：22143xy+=5 分（）设()00,P xy，()11,A x y，()22,B xy，当00y 时，设直线1PF，2PF 的直线方程分别为11xm y=，21xm y=+，由1221143xm yxy=+=得：()221134690mym y+=，0121934y ym=+，学科网（北京）

16、股份有限公司0101xm y=，0101xmy+=，001523yxy+=，7 分 同理由2221143xm yxy=+=可得：002523yxy=，8 分 1200001212525210333PFPFyyxxF AF Byy+=+=；10 分 当00y=时，直线1PF，2PF 与 x 轴重合，则 则12121103 33PFPFF AF B+=+=；11 分 综上所述：1212PFPFF AF B+为定值103 12 分 22（12 分）【解】（1）()ln1fxx=+，()11f=，()10f=，则切线方程为1yx=设切线与()yg x=相切于点()00,Pxy，则0000011xxae

17、yaeyx=，解得：02x=，01y=，21ae=；3 分（2）()lnxG xxxae=，0 x，()ln1xGxxae=+，当()0Gx=时，ln1exxa+=，若函数()G x 有两个极值点，即 ya=与ln1xxye+=有两个交点，4 分 设()()ln10 xxh xxe+=，()1ln1xxxh xe=，设()1ln1t xxx=，()2110txxx=，在区间()1,+()0h x，()h x在区间()0,1 上单调递增，在区间()1,+上单调递减，6 分 学科网（北京）股份有限公司并且()11he=，当 x +时，()0h x ，当0 x 时，()h x ，若 ya=与()yh

18、 x=有两个交点时，10ae；7 分()()()lnxG xf xg xxxae=，当2222aeae，()22lnlnxxG xxxaexxee=，8 分 令()222ln2lnxxxxeeeF xxxxe=，()()222211212xxxexx eeFxxxexxe=，显然01x,()F x在()0,1 上单调递增，当()0,1x时，()()210F xFe=时，()()()2222111221xxexxexFxxxexex=，令()221xexH xex=，1x，()()222101xeHxex=+，()H x在()1,+上单调递增，又()20H=,10 分()1,2x时，()0H x,当()1,2x时，()0Fx，当()2,x+时，()0Fx时，()()2ln 2 10F xF=，综上所述，()()0G xF x，所以()0G x.12 分 学科网（北京）股份有限公司