【八年级下册】18.57 平行四边形（全章复习与巩固）（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题 18.57 平行四边形（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.【要点梳理】要点一、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3.面积：4.判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四

2、边形是平行四边形角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.特别说明：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：4.判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三

3、个角是直角的四边形是矩形.特别说明：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜 边的一半要点三、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：4.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平

4、行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：边长边长对角线对角线4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】【类型一】平行四边形性质判定综合运用1 、如图，在中，分别是和的角平分线，已知(1) 求线段的长；(2) 延长 ，交的延长线于点

5、请在答卷上补全图形；若，求的周长【答案】(1) (2) 见分析；36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，进而得出的长；（2）根据题意直接补全图形即可；依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到，再根据平分，即可得出，依据勾股定理得出的长，进而得到（1）解：在中，平分，同理可得，；（2）解：如图所示： ，又，又平分，中，的周长为：【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等举一反三：【变式1】如图，在中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，连接(1) 求证：平分；(2) 若点为中点，求的面积【答案】(1) 证明见分析

6、(2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，可得，根据等边对等角可知，等量代换可得，即可证明平分；（2）过点作，垂足为点，证明，可得，再根据直角三角形中角所对直角边是斜边的一半，求出边的高为的长度，即可求出的面积（1）解：证明：四边形是平行四边形，平分（2）解：过点作，垂足为点，四边形是平行四边形，点为中点，在和中，边的高为，【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键【变式2】已知：如图在平行四边形中，点M在边上，且，、的延长线相交于点E，平分求证：【答案】见分析【分析】由在平行四边形中，证得（AAS），

7、可得，平分，证得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论解：证明：四边形是平行四边形，在和中，（AAS），平分，四边形是平行四边形，点是的中点，是等腰三角形平分，【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键2、如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的一点，且与相交于点N，与相交于点M(1) 求证：；(2) 判断四边形的形状，并证明【答案】(1)见分析(2)四边形是平行四边形，证明见分析【分析】（1）根据平行四边形的性质，运用SAS证明全等即可（2）根据平行四边形的判定证明即可解：（1）证明：四边形是平行四

8、边形，（SAS）（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：四边形是平行四边形， ，四边形、四边形是平行四边形，四边形是平行四边形【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G(1) 求证：(2) 若，求的长度【答案】(1) 见分析(2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则；（2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，则，同理证明，

9、得到，求出，则解：（1）证明：在平行四边形中，分别是的平分线，四边形是平行四边形，又，同理可得，；（2）解：过点C作交于K，交于点I，四边形是平行四边形，D，【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键【变式2】如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程【答案】添加的条件为：；证明见分析【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证解：添加的条件为：证明：四边形为平行四边形，又四边形为平行四边形【点拨】本题考查平行四边形的判定熟练

10、掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键【类型二】三角形的中位线性质判定综合运用3 、如图，在中，M、N分别是的中点，延长至点D，使连接若，则的长为（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，可得，根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可解答解：如图：连接M，N分别是的中点，是的中位线，四边形为平行四边形，M是的中点，故选：C【点拨】本题主要考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在中，分别为，的中点，延长至点，使，连接和（1）

11、求证：四边形是平行四边形（2）若四边形的面积为，求的面积 【答案】（1）见分析； （2）8【分析】（1）先说明为的中位线，可得、，又，则根据一组对边平行且相等则为平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再说明的面积的面积，进而说明的面积的面积，最后根据图形即可解答解：证明：，分别为，的中点，为的中位线，四边形是平行四边形；解：四边形是平行四边形，的面积的面积是的中点，的面积的面积是的中点，的面积的面积，的面积【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线以及三角形的面积计算，掌握平行四边形的判定与性质成为解答本题的关键【变式2】如图，在中，若，求证：【答案】

12、见分析【分析】取线段中点E，连接，根据点E为中点，可得，且为的中位线，即有，在中，即有，可得，结合，问题得证解：取线段中点E，连接，如图，点D为中点，点E为中点，且为的中位线， ，在中，有，【点拨】本题主要考查三角形的中位线的判定与性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，作出合理的辅助线，是解答本题的关键【类型三】矩形性质判定综合运用4、如图，在矩形中，对角线相交于点O，交于F，垂足为E，求的度数【答案】【分析】根据矩形性质可得，再结合可得;再说明，进而得到，最后根据角的和差即可解答解：四边形是矩形，【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，求得是解答本题的关键举一

13、反三：【变式1】如图，在长方形中，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接(1) 线段BE ；(2) 判断AE与BC的位置关系，并说明理由 【答案】(1) 6(2) ，理由见分析【分析】【小问1分析】根据题意点E为的中点，即可得出答案【小问2分析】证明，即可证明解：（1），点E为的中点，（2）将沿直线折叠，点B落在点处，点E为的中点， ，又，【点拨】本题考查长方形中的翻折问题，涉及等腰三角形、平行线的判定等知识，解决问题的关键是掌握折叠的性质【变式2】如图，在中，点E是边上的点，过点E作于点F连接，点O是的中点，交于点D(1) 若，求的度数；(2) 若，求证：；求的值 【答案】(1) (

14、2) 见分析；【分析】（1）由直角三角形的性质得出，证出，则可得出答案；（2）由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可证出结论；由三角形中位线定理得出，设，则，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出，则可得出答案（1）解：，又O为的中点，同理，即；（2）证明：，又，；解：，为的中位线，设，则，【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质5 、如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且(1) 求证：四边形ABCD是矩形(2) 若，求的度

15、数 【答案】(1) 见分析(2) 10【分析】（1）证AEODFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形（2）由矩形的性质得出ABC=BAD=90，OA=OB，则OAB=OBA，求出BAE=40，则OBA=OAB=50，即可得出答案解：（1）四边形ABCD是平行四边形，于点E，于点F，又，四边形ABCD是矩形；（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键举一反三：【变式1】如图，的对角线交于点O，过点D作于E，延长

16、到点F，使，连接(1) 求证：四边形是矩形(2) 若，试求的长【答案】(1) 见分析(2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）先证得是等腰直角三角形，可得，在中，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质，可得结论解：（1）证明：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是矩形（2）解：由（1）得：，是等腰直角三角形，在中，由勾股定理得： ，四边形是平行四边形，【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键【变式2】如

17、图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ABO是等边三角形，求ABCD的面积 【答案】16【分析】根据等边三角形的性质以及平行四边形的性质求得，进而证明四边形是矩形，由勾股定理求得，再根据矩形的面积计算公式求解即可解：ABO是等边三角形，OAOBAB4，四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，OAOCOBOD，ACBD8，四边形ABCD是矩形，ABC90，由勾股定理得：BC4，矩形ABCD的面积4816【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键【类型四】菱形性质判定综合运用6、如图，在中，的垂直平分线交于，交于，

18、在上，并且(1) 求证：四边形是平行四边形；(2) 当的大小满足什么条件时，四边形是菱形？请回答并证明你的结论 【答案】(1) 见分析(2) ，见分析【分析】（1）利用中垂线的性质和等角的余角相等以及平行线的性质，证明，得到，即可得证；（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到：当时，四边形是菱形， 根据 所对的直角边是斜边的一半，即可得解解：（1）为的垂直平分线， ，又，四边形为平行四边形；（2）要使得平行四边形为菱形，则即可，又，又，即可，在中，当时，故时，四边形为菱形【点拨】本题考查平行四边形的判定，以及菱形的判定和性质熟练掌握中垂线的性质，平行四边形的判定方法，以及菱形的判定方法和性

19、质，是解题的关键举一反三：【变式1】如图，已知四边形是菱形，且于点，于点(1) 求证：；(2) 若，求菱形的面积【答案】(1) 证明见分析(2) 【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；（2）根据菱形的性质，得，根据，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积解：（1）证明，如下：四边形是菱形，于点，于点，（2）四边形是菱形，菱形的面积为：【点拨】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识【变式2】如图，荾形中，点，分别在边，上，求证：【答案】证明见分析【分析】解法一：由菱形的性质和已知可得，再证明即可；解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等

20、角得出，再证明即可解：证明：解法一：四边形是菱形， ，又，在和中，解法二：连接，四边形是菱形， ，在和中，【点拨】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键7、 如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，求的度数【答案】（1）证明见分析；（2）BDE=35【分析】（1）由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）先根据三角形的内角和定理得出，再由菱形的性质可求解解：（1）证明：，四边形是平行四边形， 平分，又四边形为平行四边形，四边形为菱

21、形（2），四边形为菱形，【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键举一反三：【变式1】如图，在矩形纸片中，是边上一点，折叠纸片使点与点重合，其中为折痕，连结、若，求的长【答案】【分析】利用对称的性质得出，进而得出，证明四边形是菱形，再利用菱形的性质结合勾股定理得出答案解：B、E两点关于直线对称，在矩形中，四边形是菱形；设菱形的边长为x，在中，解得：【点拨】此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理，正确应用轴对称的性质是解题关键【变式2】如图，在中，为的中点，交于点，连结，(1) 求证：四边形是菱形；(2) 若，则四边形的面积是_【答案】(1)

22、见分析(2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得，证明四边形、是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质求得，再利用菱形的面积公式即可求解解：（1）证明：，为的中点，. ，四边形是平行四边形. 又，四边形是平行四边形. 又，平行四边形是菱形；（2）解：四边形是平行四边形，四边形是菱形，四边形的面积是故答案为：24【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键【类型四】菱形性质判定综合运用8、如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，则BEA为（） A15B30C45D55【答

23、案】A【分析】根据正方形的性质，可知ABAD，BAD90，再根据等边三角形的性质，可知ADAE，DAE60，再由等量代换可得ABAE，BAEBAD +DAE150，从而解出BEA15解：四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，故选：A【点拨】本题关键之处在于利用正方形四边相等，四个角都等于的性质，以及等边三角形三边相等，三个角都等于的性质，得到是个顶角为等腰三角形，从而解出【变式1】如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接(1) 求证：(2) 若正方形边长是，求的长 【答案】(1) 见分析(2) 【分析】（1）根据正方形的性质，根据等角的余角相等得出，进而证明，

24、根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）根据（1）的结论，以及正方形的性质得出，在中，勾股定理即可求解解：（1）证明：四边形是正方形，在和中，；（2）解：，由得：，四边形是正方形，由勾股定理得：【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及勾股定理是解题的关键【变式2】如图，在正方形中，E、F分别是、上的点，且求证：与垂直且相等【答案】见详解【分析】根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可解：在正方形中，即，在和中，即：与垂直且相等【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三

25、角形的判定定理9、 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DEAC，CEBD(1) 求证：四边形OCED是菱形；(2) 若AB=AD，求ADE的度数【答案】(1) 见分析(2) 135【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形；（2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得BDC=ACD=，再由平行线的性质得EDC=ACD=45，由此可解解：（1）证明：DEAC，CEBD， 四边形OCED是平行四边形矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，OD=OC四边形OCED是菱形（2）解：矩形ABCD中，AB=AD，矩形ABCD是

26、正方形，ADC=BCD=90，BDC=ACD=DEAC，EDC=ACD=45，ADE=90+45=135【点拨】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出BDC=ACD=是解题的关键如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DEAC，CEBD(1) 求证：四边形OCED是菱形；(2) 若AB=AD，求ADE的度数【答案】(1) 见分析(2) 135【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形；（2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得BDC=ACD=，再由平行线的性质得EDC=ACD=45，

27、由此可解解：（1）证明：DEAC，CEBD， 四边形OCED是平行四边形矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，OD=OC四边形OCED是菱形（2）解：矩形ABCD中，AB=AD，矩形ABCD是正方形，ADC=BCD=90，BDC=ACD=DEAC，EDC=ACD=45，ADE=90+45=135【点拨】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出BDC=ACD=是解题的关键举一反三：【变式1】一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，求这个矩形的各边长【答案】【分析】根据题意，可得是等腰直角三角形，进而可得四边形是正方形，勾股定理求得正方形的边长即可解决问题

28、解：如图， 四边形是矩形，是等腰直角三角形，在中，即，四边形是正方形，则这个矩形的各边长都是【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，掌握正方形的判定定理是解题的关键【变式2】如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且，(1) 求证：四边形是正方形；(2) 若，求四边形的周长 【答案】(1)见分析；(2)【分析】（1）结合题意易证，得到，由易证即，从而证明结论；（2）由（1）和题意求得，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长解：（1）证明：，四边形是菱形，四边形是正方形；（2）解：，正方形EFMN的周长为：【点拨】本题考查了全等三角形的证明和性质、正方形的证明、勾股定理的应用；解题的关键是证明三角形全等，并用全等的性质求解