第25讲 平面向量的概念及线性运算（解析版）.pdf

1、微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538第 25 讲 平面向量的概念及线性运算一向量的基础概念1.向量：既有大小又有方向的量新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ b c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 奎屯 王新敞 新疆向量的大小即向量的模（长度），记作|AB或|a 奎屯 王新敞 新疆向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小2.零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 0|0a 奎屯 王新敞 新疆由于0的方向是任意的，且规定0平行于

2、任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件3.单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量0a为单位向量0|a1 奎屯 王新敞 新疆4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ a b 奎屯 王新敞 新疆由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎屯 王新敞 新疆数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的两个向量共线的证明方法

3、：向量b与非零向量 a 共线 有且只有一个实数，使得b=a新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 些 向 量 的 和；差 向 量 是 从 减 向 量 的 终 点 指 向 被 减 向 量 的 终 点新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 设,ABa BCb，则a+b=ABBC=AC新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538向量减法：向量 a

4、加上b的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(baba新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ 可以表示为从b的终点指向 a 的终点的向量（a、b有共同起点）新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:/ ABCDA B C D 的棱中，与向量 AA 模相等的向量有（）A0 个B3 个C7 个D9 个【答案】C【详解】由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：与向量 AA 模相等的向量是：A A，BB，B B，CC，C C，DD，D D 共 7 个故选：C2（北京东城）若,a b 都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A abB1a b C/abD abrr【答案】D【详解】方向

5、相同大小相等的向量是相等向量，但是,a b 不一定方向相同，故 A 错误；cos1a bab，为,a b 的夹角，因为0,，所以cos1,1 ，所以 a b 不一定等于 1，故 B错误；方向相同或者相反的向量是平行向量，但是,a b 不一定方向相同或相反，故 C 错误；因为,a b 都是单位向量，所以1,1ab，所以 abrr，故 D 正确，故选：D.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125383（全国）已知向量a与b的夹角为60，且3a，3b r，则 ab等于（）A33B3C32D2 3【答案】A【详解】两边平方222292 3 3

6、cos60927abaa bb ，所以3 3ab，故选：A.4（全国）如图所示，点O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点,A B C D E F O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线且模相等的向量共有（）A2 个B3 个C6 个D7 个【答案】D【详解】因为点O 是正六边形 ABCDEF 的中心，所以OAOBOCODOEOF，且/OA EF BC，,O A D 三点共线；所以除向量OA 外，与向量OA 共线且模相等的向量有：AO，BC，CB，DO，ODuuur，EF，FE，共 7 个故选：D.5（全国高一课时练习）已知向量a，

7、b 满足1a，3b，且 a 在b 方向上的投影与b 在 a 方向上的投影相等，则 ab等于（）A 10B5C 4D5【答案】A【详解】设两个向量的夹角为，则coscosab，从而cos0，因为0,，故2，所以2210abab故选：A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125386（湖南张家界高一期末）已知正方形 ABCD的边长为 1,则 ABAD=A2B3C2D 2 2【答案】C【详解】由题正方形 ABCD的边长为 1,根据向量加法法则，2ABADAC.故选：C题型二：相等向量1（全国高一单元测试）设 mR，向量(1,2)a，(,1)bm

8、 n.若2aba，则,m n 的值分别是（）A1，-1B1，-3C1，-2D1，2【答案】A【详解】因为1,3,22,4abmna，所以12,34mn ，解得,11mn 故选：A2（全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）任一向量与它的相反向量都不相等；长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；平行且模相等的两个向量是相等向量；若 ab，则|ab；两个向量相等，则它们的起点与终点相同.A0B1C2D3【答案】B【详解】解：零向量与它的相反向量相等，错；由相等向量的定义知，正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，错；ab，可能两个向量模相等而方向不同

9、，错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，错.所以正确的命题的个数为 1，故选：B.3（全国高一课时练习）如图，在四边形 ABCD 中，若 ABDC，则图中相等的向量是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538A AC与CBBOB与ODuuurC AC与 BDD AO与OC【答案】D【详解】因为 ABDC，所以四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AC，BD 互相平分。对于 A：AC 与CB不平行，不可能相等，故 A 错误；对于 B：OB与ODuuur大小相同，方向相反，故 B

10、 错误；对于 C：AC 与 BD 不平行，不可能相等，故 C 错误；对于 D：AO=OC大小相等，方向相同即 AO与OC是相等的向量故选：D题型三：平面向量加减法1（全国高二专题练习）若 a，b，c 均为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（）A()()abcabcB()abca cb c C()m abmambD()()a b ca b c 【答案】D【详解】选项 A 是向量加法的结合律，正确；选项 B 是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项 C 是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项 D根据数量积和数乘定义，等式左边是与c 共线的向量，右边是与 a 共线的向量，两者一般不可能相等

11、，也即向量的数量积运算没有结合律存在D 错故选：D2（全国高一课时练习）如图，向量 ABa ，ACb，CDc ，则向量 BD 可以表示为（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538AabcBbacC abcD bac【答案】D【详解】如图，BDBCCDACAB CDbac.故选：D.3（全国高一课时练习）向量 PAMAAOACOM化简后等于（）A ACB PAC PCD PM【答案】C【详解】PAMAAOACOMPAAOOMMAACPOOAACPC故选：C.4（全国高一课时练习）如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACDFB等于（

12、）A0B BEC ADDCF【答案】A【详解】CDAF，0BACDFBBAAFFB.故选：A.5（全国高一课时练习）在ABC中，点 D 是边 BC 的中点，则 AD（）A ABBDB ABAC微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538C2ABACD2ABAC【答案】D【详解】111222ADABBDABBCABACABACAB,故选：D.6（全国高一课时练习）化简OPQPPSSP的结果等于（）AQPBOQC SPD SQ【答案】B【详解】OPQPPSSPOPQPOSSQ.故选：B7（山东高考真题）如下图，M 是线段OB 的中点，设向量

13、OAa，OBb，那么 AM 能够表示为（）A12abB12ab C12abD12ab【答案】B【详解】由题意，12AMOMOAba故选：B8（全国高二课时练习）已知 A，B，C，D 为空间中任意四个点，则 DA CD CB等于（）A DBB ACC ABD BA【答案】D【详解】由空间向量的基本运算法则知，DA CD CBCA CBBA故选：D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125389（福建厦门一中高二开学考试）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABa，ADb，3ANNC，则 BN（）（用 a，b 表示）A 1344abB 3144

14、abC 1344baD 3144barr【答案】D【详解】由题意，在平行四边形 ABCD中，ABa，ADb，3ANNC，根据平面向量的线性运算法则，可得33()44BNANABACABABADAB13134444ABADab .故选：D.10（北京市陈经纶中学）如图，D 是ABC的边 AB 中点，则向量CD=（）A12BCBAB 1122CACBC12BCBAD 1122CACB【答案】D【详解】12CDCBBDCBBA111222CBCACBCACB.故选：D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538题型四：平面向量共线定理1（全国

15、高一课时练习）已知向量2ABab，53BCab，3CDab，则（）A,A B D 三点共线B,A B C 三点共线C,A C D 三点共线D,B C D 三点共线【答案】A【详解】向量24BDBCCDab，2ABab，BD=2 AB，即点 A，B，D 三点共线.故选：A.2（全国高二课时练习）已知向量,a b，且 AB=a+2b，BC=5a+6b，CD=7a-2b，则一定共线的三点是（）A,A B DB,A B CC,B C DD,A C D【答案】A【详解】因为 BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2 AB，所以 A，B，D 三点共线.故选：A3（浙江省诸暨市第二高级中学高一期中）

16、已知向量(3,2)a，(1,)bx，且 a 与b 平行，则 x=（）A23B 0C1D 52【答案】A【详解】因为向量(3,2)a，(1,)bx，且 a 与b 平行，所以32x ，解得32x ，故选：A.4（江苏省苏州实验中学高一月考）已知向量(3,1)a，(21,3)bm，若 a 与b 共线，则实数 m=（）A132B5C 72D1【答案】B【详解】由题意3 3 1210m ，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538解得5m.故选：B5（银川三沙源上游学校高一期末（理）已知平面向量1,2amr，3,3b r，若/a br r，则实

17、数m 的值为（）A 0B 3C1D 1【答案】C【详解】因为/a br r，所以(1)3(3)(2)m ，解得1m .故选：C6（全国高三专题练习（文）已知向量1,2,3,abx共线，则实数 x 的值是（）A1B32C6D 6【答案】C【详解】向量1,2,3,abx共线，606xx，故选：C.7（南昌市八一中学（文）已知 a，b 是两个不共线的非零向量，若(23)(3)abab，则实数（）A 92B 2C 2D92【答案】A【详解】因为(23)/(3)abab，所以存在tR，使得 23(3)abtab，所以(23)(3)t atb，又因为,a b是两个不共线的非零向量，所以23030tt，解得

18、92 故选：A8（全国高一课时练习）已知向量(2,3)a，(1,2)b，若2m an bab ，则 mn 等于（）A2B2C 12D 12微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538【答案】C【详解】因为(2,3)(1,2)(2,32)m an bmnmnmn,又2(2,3)2(1,2)(4,1)ab，因为/2m a n bab，所以 1470mn，整理得：12mn .故选：C.9（山东）已知向量(3,4),(1,3)ab，若 32ab 与3mab 共线，则 m 的值为（）A92B2C 12D 4【答案】A【详解】易知,a b 不共线，可以作为基底，所以由 32ab与3mab 共线，得323m，解得92m .故选：A10（全国高三专题练习）设1e，2e是两个不共线的向量，若向量12 meke(kR)与向量212nee 共线，则（）Ak0Bk1Ck2Dk 12【答案】D【详解】由共线向量定理可知存在实数，使mn，即12212122ekeeeee，又1e与2e是不共线向量，12k ，解得1,21.2k 故选：D