指对同构（朗博同构） （解析版）.pdf

1、指对同构(朗博同构)1.高考真题回顾2020 新高考 I 卷第 21 题2022 新高考 I 卷第 22 题2022 全国甲卷(理)21 题2022 全国乙卷(理)16 题2023 新高考 I 卷第 19 题2.同构类型一元同构二元同构局部同构同构+切线放缩【常见同构形式】(1)乘积模型：aea blnb aea lnb elnbealnea blnb lna+a lnb+ln(lnb)f(x)=xexf(x)=xlnxf(x)=x+lnx(2)商式模型：eaa blnb ealnea blnb eaa elnblnb a-lna lnb-ln(lnb)f(x)=xlnxf(x)=exxf(x

2、)=x-lnx(3)和差模型：eaa b lnb ealnea b lnb f(x)=x lnxealnea 0，所以 h(m)在 R 上单调递增由 elna+x-1+lna+x-1 elnx+lnx，可知 h(lna+x-1)h(lnx)，所以 lna+x-1 lnx，所以 lna(lnx-x+1)max令 F(x)=lnx-x+1，则 F(x)=1x-1=1-xx所以当 x (0,1)时，F(x)0,F(x)单调递增；2当 x (1,+)时，F(x)0,x 0，令 aex-1=t，所以 lna+x-1=lnt，所以 lna=lnt-x+1于是 f(x)=aex-1-lnx+lna=t-ln

3、x+lnt-x+1由于 f(x)1,t-lnx+lnt-x+1 1 t+lnt x+lnx，而 y=x+lnx 在 x (0,+)时为增函数，故t x，即 aex-1 x，分离参数后有 a xex-1 令 g(x)=xex-1，所以 g(x)=ex-1-xex-1e2x-2=ex-1(1-x)e2x-2当 0 x 0,g(x)单调递增；当 x 1 时，g(x)0.设 g(x)=f(x),则 g(x)=aex-1+1x2 0,g(x)在(0,+)上单调递增，即 f(x)在(0,+)上单调递增，当 a=1 时，f(1)=0,f xmin=f 1=1,f x 1 成立.当 a 1 时，1a 1，e1

4、a-1 1，f1af(1)=a e1a-1-1(a-1)0，使得 f(x0)=aex0-1-1x0=0，且当 x (0,x0)时 f(x)0，aex0-1=1x0，lna+x0-1=-lnx0，因此 f(x)min=f(x0)=aex0-1-lnx0+lna=1x0+lna+x0-1+lna 2lna-1+21x0 x0=2lna+1 1,f x 1,f x 1 恒成立；当 0 a 1 时，f(1)=a+lna a 1,f(1)0，所以 S(a)在区间(0,+)内单调递增因为 S(1)=1，所以 a 1 时，有 S(a)S(1)，即 a+lna 1下面证明当 a 1 时，f(x)1 恒成立令

5、T(a)=aex-1-lnx+lna，只需证当 a 1 时，T(a)1 恒成立因为 T(a)=ex-1+1a 0，所以 T(a)在区间 1,+)内单调递增，则 T(a)min=T(1)=ex-1-lnx因此要证明 a 1 时，T(a)1 恒成立，只需证明 T(a)min=ex-1-lnx 1 即可由 ex x+1,lnx x-1，得 ex-1 x,-lnx 1-x上面两个不等式两边相加可得 ex-1-lnx 1，故 a 1 时，f(x)1 恒成立当 0 a 1 时，因为 f(1)=a+lna 1，显然不满足 f(x)1 恒成立3所以 a 的取值范围为 a 1【整体点评】(2)方法一：利用同构思

6、想将原不等式化成 elna+x-1+lna+x-1 elnx+lnx，再根据函数 h(m)=em+m 的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令 aex-1=t，再同构，可将原不等式化成 t+lnt x+lnx，再根据函数 y=x+lnx 的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数 f x的单调性，求出其最小值，由 fmin 0 即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用 f(1)1 可得 a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022 新高考 1 卷第 22 题2 已知函数 f(x)=ex-x 和 g(x)=x-ln

7、x，证明：存在直线 y=b，其与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解答】易得 f(x)在 0,+，-,0；g(x)在 0,1，1,+只有 y=b 过 f(x)与 g(x)交点时，恰有 3 个不同交点则有 f(x1)=f(x2)=g(x2)=g(x3)=b，即 ex1-x1=ex2-x2=x2-lnx2=x3-lnx3=b ex1-x1=ex1-lnex1=x2-lnx2，且 ex1 1,x2 0,x2 0，lnx3=x2 x3=ex2 由可得：x1+x3=ex2+lnx2=b+x2+x2-b=2x2，证毕2022 全国甲卷(理)

8、21 题3 已知函数 f x=exx-lnx+x-a(1)若 f x 0，求 a 的取值范围；(2)证明：若 f x有两个零点 x1,x2，则 x1x2 0故 g t=et+t 在区间 1,+上是增函数4故 g tmin=g 1=e+1，即 a e+1所以 a 的取值范围为(-,e+1方法二：常规求导f(x)的定义域为(0,+)，则f(x)=1x-1x2ex-1x+1=1x 1-1xex+1-1x=x-1xexx+1令 f x=0,得 x=1当 x (0,1),f(x)0,f(x)单调递增 f(x)f(1)=e+1-a，若 f(x)0,则 e+1-a 0,即 a e+1所以 a 的取值范围为(

9、-,e+1(2)法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,f x一个零点小于 1,一个零点大于 1，不妨设 x1 1 x2，要证 x1x2 1,即证 x1 f1x2，又因为 f x1=f x2,故只需证 f x2 f1x2，即证 exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x 0,x (1,+)同构，原不等式变形为：ex-lnx+x-lnx e1x+lnx+1x+lnx令 g(x)=ex+x，则有 g(x-lnx)g 1x+lnx即证：x-lnx 1x+lnx,x (1,+)即证 h(x)=2lnx+1x-x 0,x (1,+)h(x)=2x-1x2-1=-x-12x2 1，即 h(x)递减，故 h(

10、x)1，则 f t=t+lnt-a，f t=1+1t 0所以 g t=t+lnt-a 在 1,+上单调递增，故 g t=0 只有 1 个解又因为 f x=exx+ln exx-a 有两个零点 x1,x2，故 t=ex1x1=ex2x2两边取对数得：x1-lnx1=x2-lnx2，即x1-x2lnx1-lnx2=1又因为x1x2 x1-x2lnx1-lnx2*，故x1x2 1，即 x1x2 1下证x1x2 x1-x2lnx1-lnx2*因为x1x2 x1-x2lnx1-lnx2 lnx1-lnx2 x1-x2x1x2 ln x1x2 1，则只需证 2lnt 1，则 h t=2t-1-1t2=-1

11、-1t2 05故 h t=2lnt-t+1t 在 1,+上单调递减故 h t h 1=0，即 2lnt 0 时，f(x)2lna+32.解：即证：当 a 0 时，aex+a2-x 2lna+32第一步，指数化，同构变形：elna+x+a2-x 2lna+32 elna+x-lna+x lna-a2+32第二步，换元：令 t=lna+x，t R，有 et-t lna-a2+32第三步，放缩：et-t 1(证明略)，即证 1 lna-a2+32第四步，构造函数：令 g(a)=lna-a2+32，g(a)=1a-2a，故 g(a)在 0，22，22,+g(a)g22=ln22-12+32=ln22+

12、1 0 且 a 1)的极小值点和极大值点若 x1x2，则 a 的取值范围是【答案】1e,1【详解】方法一：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为 f x=2lna ax-2ex，所以方程 2lna ax-2ex=0 的两个根为 x1,x2，即方程 lna ax=ex 的两个根为 x1,x2，即函数 y=lna ax与函数 y=ex 的图象有两个不同的交点，因为 x1,x2分别是函数 f x=2ax-ex2的极小值点和极大值点，所以函数 f x在-,x1和 x2,+上递减，在 x1,x2上递增，所以当时-,x1x2,+，f x 0，即 y=ex 图象在 y=lna ax下方a 1，图象显然不符

13、合题意，所以 0 a 1令 g x=lna ax，则 g x=ln2a ax,0 a 1，设过原点且与函数 y=g x的图象相切的直线的切点为 x0,lna ax0，则切线的斜率为 g x0=ln2a ax0，故切线方程为 y-lna ax0=ln2a ax0 x-x0，则有-lna ax0=-x0ln2a ax0，解得 x0=1lna，则切线的斜率为 ln2a a1lna=eln2a，因为函数 y=lna ax与函数 y=ex 的图象有两个不同的交点，6所以 eln2a e，解得 1e a e，又 0 a 1，所以 1e a 1，则 g x在 R 上单调递增，此时若 g x0=0，则 f x

14、在-,x0上单调递减，在 x0,+上单调递增，此时若有 x=x1和 x=x2分别是函数f x=2ax-ex2(a 0 且 a 1)的极小值点和极大值点，则 x1 x2，不符合题意；若 0 a 0 且 a 1)的极小值点和极大值点，且 x1 0，f x0=2 ax0lna-ex0=2elna-ex00，即 x0 1 故 lnax0=x0lna=lnelna2 1，所以 1e a 1.方法三：同构+放缩(简证)先得出 0 a 0)放缩：ex ex exx eelna2 e lna2 1-1 lna 0 1e a 0 对 x 0,1恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.-,1eB.1e,+C.1e

15、,1D.0,1e【答案】B【分析】由题意可知 a 0，且 lnaexaex lnxx对 x 0,1恒成立，设 g x=lnxx，则问题转化为 g aexg x在 0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分 aex 1 和 0 aex 0，lnex+lnaex alnxx，即 lnaexaex lnxx对 x 0,1恒成立设 g x=lnxx，则问题转化为 g aex g x在 0,1上恒成立，因为 g x=1-lnxx2，所以当 0 x 0，当 x e 时，g x 0，所以 g x在 0,e上单调递增，在 e,+上单调递减，又 g 1=0，所以当 x 0,1时，g x 0在 x 0,1上，

16、若 aex 1 恒成立，即 a 1，g aex 0 g x；在 x 0,1上，若 0 aex x 恒成立，即 xex a 0，所以 h x在 0,1上单调递增，所以 h x h 1=1e，所以 1e a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】实数 a 的取值范围为2e,+2f(x)a(eax+1)-4x 2 x+1xlnx-4x a(eax+1)-4x，整理，同乘 x 得：2 x+1xlnx a(eax+1)x2+1lnx2 ax(eax+1)，比较一下 2 种构造方式，方式 1：令 g(x)=xex+x，g(x)=x+1ex+1，易错：由洛必达可知(选填时用)-这里用不了错了！8limx

17、-x+1ex=x+1e-x=-+=limx-1-e-x=1-=-0，故 g(x)=x+1ex+1 0 g(x)g(x)=x+1ex+1=x+1e-x+1=x+1+e-xe-x，令 h(x)=ex-x+1，易知 h(x)2 恒成立，故 x+1+e-x=e-x-x+1+=h(-x)0 g(x)0 g(x)由 x2+1lnx2 ax(eax+1)lnx2elnx2+lnx2 axeax+ax，则有 g(lnx2)g(ax)，由单调性可知 lnx2 ax a lnx2xmin=2e参考 y=lnxx图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程.方式 2：g(x)=xlnx+x总结：(1)求导通分看

18、极值点即可，注意 2 个增区间之间用“，”而不是“”(2)先同构再判断单调性.江苏盐城 2023 届高三 5 月三模224 已知函数 f(x)=ex-ea(a+lnx).(1)当 a=1 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围【答案】(1)1,+(2)(-,1(1)解：当 a=1 时，f x=ex-e 1+lnx，f x=ex-ex，又 f x=ex+ex2 0，f x单调递增，2 分又 f 1=0，当 x 0,1时 f x 0，f x的单调递增区间为 1,+.4 分(2)若 f x 0 恒成立，即 ex-ea a+lnx 0 恒成立.方法 1：f x=e

19、x-ealnx-eaa,f x=ex-eax=xex-eax,令 g x=xex-ea，则 g x=ex+xex 0，g x=xex-ea在 0,+上单调递增，又 g 0=-ea 0，当 x+时 g(x)+，故存在唯一正实数 x0使得 x0ex0=ea，6 分当 x x0时，f x x0时，f x 0，f x单调递增，f xmin=f x0=ex0-ealnx0-eaa，由 f x 0 恒成立，得 f xmin 0，由 x0ex0=ea得 x0+lnx0=a，f xmin=f x0=ex0-x0ex0(x0+2lnx0)0，8 分 1-x0(x0+2lnx0)0，x0(x0+2lnx0)-1

20、0，x0+2lnx0-1x0 0，设 h(x)=x+2lnx-1x，则 h(x)9=1+2x+1x2 0 恒成立，故 h(x)在(0,+)上递增，而 h(1)=0，0 0)，则 g x g ln(tx)，8 分 g x=x+1ex 0，g x=xex(x 0)在 0,+上单调递增，当 ln tx 0 时，g x g ln(tx)显然成立；当 ln tx 0 时，x ln tx=lnt+lnx 恒成立，即 lnt x-lnx 恒成立，可证 x-lnx 1(过程略)，lnt 1，t e，即 ea e，a 1，综上，a 的取值范围为(-,1.12 分方法 4：f(x)0 恒成立，f(1)0，即 e

21、eaa，同法 3 考查函数 g x=xex(x 0)可得 a 1，7 分反之，当 a 1 时，x-a+1 a+x-1，又可证 lnx x-1,ex-a x-a+1(过程略)，ex-a a+lnx，ex ea a+lnx恒成立，故 a 的取值范围为(-,1.12 分补充：同构和型+放缩ex-ea(a+lnx)0 ex ea(a+lnx)ex-a a+lnx ex-a+x-a x+lnx=elnx+lnx令 g(x)=ex+x，则有 g(x-a)g(lnx)x-a lnx a x-lnxmin=1总结：(1)两次求导+取点(2)法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单湖南九

22、校联盟第二次联考165 已知不等式 ex aln a(x-1)e(a 0)恒成立,则实数 a 的最大值为【答案】e2ex aln a(x-1)e ex a lna(x-1)-1 ex-lna lna+ln(x-1)-1 ex-lna+x-lna ln(x-1)+x-1令 g(x)=ex+x，则有g(x-lna)g ln(x-1)x-lna ln(x-1)x-ln(x-1)lna 2 lna e2 a 可放缩补充：构造函数求导令 g(x)=x-ln(x-1)，g(x)=1-1x-1=x-2x-1故 g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，+)上单调递增，因此 g(x)min=g(2)=2.因为不

23、等式 ex aln a(x-1)e(a 0)恒成立，所以 Ina 2，即 a e2.总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出.10补充：对右边的式子配凑也可以湖南省 2023 届高三下 3 月考试166 已知 e 是自然对数的底数若 x 0，+，memx lnx 成立，则实数 m 的最小值是【答案】1e解析：由 memx lnx mxemx xlnx=elnx lnx令 f x=xex，则 f x在 0，+上单调递增，且 f mx f lnx，所以 mx lnx，即 m lnxx对 x 0，+恒成立令 g x=lnxx，则 g x=1-lnxx2，所以当 x 0，e时，g x 0；当

24、x e，+时，g x 0，则 lna+x lnx，即 lna lnx-xmax令 y=lnx-x，则 y=1-xx，故 ymax=-1，则 lna-1 a 1e.对于 lna+x lnx 还可以直接分类参数：lna+x lnx lna lnx-lnex=lnxex a xexmax=1e总结：需要同加 x 才能补全结构【法二】：整体求导、取点设 f(x)=aex-lnx+lna，则 x 0，a 0，f(x)=aex-1x，易知 f(x)在(0,+)上为增函数，存在 x0(0,+)，使得 f(x0)=aex0-1x0=0，即 aex0=1x0，两边取对数，可得 lna+x0=-lnx0，当 0

25、x x0时，f(x)x0时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，f(x)min=f(x0)=aex0-lnx0+lna=1x0+x0+2lna，不等式 aex-lnx+lna 0 恒成立，11 1x0+x0+2lna 0 恒成立，1x0+x0-2lna 恒成立，1x0+x0 2x0 1x0=2，当且仅当 x0=1 时取等号，-2lna 2，即 a 1e，故 a 的取值范围是1e，+湖北鄂东南联考88 已知函数 f(x)=lnx-x-xe-x-k 恒有零点，则实数 k 的取值范围是()A.-,-1B.-,-1-1eC.-1-1e,-1D.-1-1e,0方法 1：同构要使 f(x)=lnx-x-x

26、e-x-k 恒有零点，只需 k=lnx-x-xe-x=lnx-x-elnxe-x设 lnx-x=t，求导可知 t -,-1而 k=t-et，求导可知函数 k=t-et在-,-1上单调递增，故 k -,1-1e方法 2：分参求导k=lnx-x-xe-x，令 g(x)=lnx-x-xe-x，则 g(x)=1x-1-e-x+xe-x=1-x1x-1ex 1x-1ex 0故 g(x)=lnx-x-xe-x在 0,1递增，1,+递减，故 g(x)max=g(1)=-1-1e，故选 B.注：由常见不等式 ex x+1 得到，即 ex-x 0 1x-1ex 0；或者令 h(x)=1x-1ex=ex-xxex

27、，h(x)=ex-1x2e2x，因为 x 0,故 h(x)0方法 3：直接求导(可以消掉 k)f(x)=1x-1+xex-1ex=-xex+ex+x2-xxex=x-1x-exxex，不难得出 x-ex在 0,+上恒小于 0，故 f(x)在 0,1上单调递增，在 1,+上递减，故 f(x)max=f(1)=-1-1e-k，当 x 0 时，f(x)-，故 f(x)的值域为-,-1-1e-k，则-1-1e-k 0 k-1-1e.福建龙岩九校联考169 已知函数 f(x)=mln(x+1)mx，若不等式 f(x)x+1 ex在 0,+上恒成立，则实数 m 的取值范围是.【答案】-,1f(x)x+1

28、ex在 0,+上恒成立等价于 mln(x+1)-mx x+1-ex第一步，错位同构：mln(x+1)-x+1 mx-ex，第二步，构造对应函数：令 g(x)=mx-ex，则有 g ln(x+1)g(x)第三步，分析单调性，定义域：易知 0 ln(x+1)0 m exmin=1总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德 3 月模拟10 已知不等式 ln(x+a)ex-a 对 x 1,+)恒成立，则 a 的取值范围为【答案】-1-1即：ln(x+a)+eln(x+a)x+ex，构造函数 g x=x+ex，g ln x+a g x易知 g x在 x 1,+)为增函数；x ln x+a，令 h

29、x=x-ln x+a，h x=1-1x+a=x+a-1x+a，当 a 0 时，h x 0，h x在 x 1,+)为增函数，h x h 1 0，0 a e-1；当-1 a 1；x 1,1-a)，h x 0；x 1-a，+时，h x 0；h xmin=h 1-a=1-a 0，-1 a 1，综上：-1 0，不等式 2ae2x-lnx+lna 0 恒成立,则实数 a 的最小值为()A.2eB.22 eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022 湖北四地七校高二下期中712 已知实数 a 0，不等式 ex-aln ax 0 恒成立，则 a 的取值范围是()A.1e a eB.0 a 1

30、C.0 a e【解答】解：令 f(x)=ex-aln(ax)，a 0，x (0，+)，f(x)=ex-ax 在 x (0，+)上单调递增，x 0 时，f(x)-；x+时，f(x)+存在唯一 x0 0，使得 ex0-ax0=0，即 ex0=ax0，x0=lna-lnx0，x=x0时，函数 f(x)取得极小值即最小值，f(x0)=ax0+ax0-2alna 0，2-2lna 0，解得 0 a 0，都有 f x 0，则实数 m 的取值范围为【答案】1e,+【分析】将条件转化为 emx+mx x+lnx，然后设 g x=x+lnx x 0，则问题转化为 g emx g x，进而根据函数 g x为增函数

31、得到 emx x 0，最后通过分离参数求得答案.【详解】由题意，f x=emx+mx-x+lnx 0 emx+mx x+lnx，设 g x=x+lnx x 0，则问题可转化为 g emx g x.因为 g x=x+lnx 是 0,+上增函数(增+增)，所以 emx x 0 m lnxxx 0恒成立.设 h x=lnxxx 0，则 h x=1-lnxx2，x 0,e时 h x 0，h x单调递增，x e,+时 h x 1，则 f tx f ln x-1恒成立，利用 f x的单调性可得 tx ln x-1在 x 2e+1 时恒成立，即 t ln x-1xx 2e+1恒成立，构造函数 g x=ln

32、x-1xx 2e+1，由其单调性得 g x g 2e+1=ln2+12e+1，即可得出答案.【详解】因为 x 2e+1，tetx-1-1xln x-1 0 恒成立，即 txetx x-1ln x-1=eln x-1 ln x-1恒成立令 f x=xex(x 0)，则 f tx f ln x-1恒成立因为 f x=x+1ex 0 恒成立，故 f x单调递增，所以 tx ln x-1在 x 2e+1 时恒成立，t ln x-1xx 2e+1恒成立令 g x=ln x-1xx 2e+1，g x=xx-1-ln x-1x2=x-x-1ln x-1x2 x-1令 h x=x-x-1ln x-1x 2e+

33、1，则 h x=-ln x-1 014 h x单调递减 h x h 2e+1=2e+1-2e+1-1 ln 2e+1-1=1-2eln2=1-eln4 0，即 g x 0，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.(0,eB.(0,e2C.1,e2D.(1,e2)【答案】B解：由题意可知：ex aln ax-a-a exa-lna ln x-1-1 ex-lna+x-lna x-1+ln x-1，即构成同构式 ex-lna+x-lna eln x-1+ln x-1，只需 x-lna ln x-1构造函数：x-lna ln x-1 x-ln x-1 lna exx

34、-1max=e2 a放缩：x-lna ln x-1 x-ln x-1 2 lna，a 0)恒成立，即 a 1+lnxx对 x 0,+恒成立令 g x=lnxx，则 g x=1-lnxx2，所以当 x 0，e时，g x 0；当 x e，+时，g x 0，故 g x在 1，+上的最大值是 1e，所以 a 1+1e 故答案为：1+1e，+总结：参变分开即可2022 衡阳市八中高二期末1617 已知函数 f(x)=x+alnx+1ex-xa(a 0)，若 f(x)0 在 x 2，+)上恒成立，则实数 a 的取值范围为【答案】-e,0)【解答】解：由 f(x)0 在 x 2，+)上恒成立，得：lnxa-

35、xa lne-x-e-x在 x 2，+)上恒成立，易知当 x 2，+)，a 0 时，0 xa 1，0 e-x 1，令函数 g(t)=lnt-t(0 t 0，g(t)单调递增，故有 xa e-x，则 a logxe-x=-xlnx 在 x 2，+)上恒成立，令 F(x)=-xlnx(x 2)，则 F(x)=1-lnx(lnx)2，15易得 F(x)在 2，e)上单调递增，在 e，+)上单调递减，故 F(x)max=F(e)=-e，故 a-e，即实数 a 的取值范围是-e,0)总结：结构上的变形处理会麻烦一些，要由定义域所决定的函数单调性也可以这样构造：e-x-x xa-alnx=elnxa-al

36、nx=ealnx-alnx令 g(x)=ex-x x 0，若对任意的 x 1e2，+，不等式 emx-lnxm 1m-emxmx 恒成立，则实数 m 的取值范围为【答案】1e，+解析：由已知 emx-lnxm 1m-emxmx (mx+1)emx+1 ln(ex)eln(ex)，令 f(x)=xex，则 f(mx+1)f(ln(ex)，显然 f(x)在 0，+上单调递增，所以 mx+1 ln(ex)=1+lnx m lnxx对 x 1e2，+恒成立令 g x=lnxx，则 g x=1-lnxx2，所以当 x 1e2，e时，g x 0；当 x e，+时，g x 0，不等式 2ae2x-lnx+l

37、na 0 恒成立，则 a取值范围是.【答案】12e,+【解析】【分析】不等式 2ae2x-lnx+lna 0 恒成立等价于即 2x+ln2x ln xa+ln ln xax a，由于 f x=x+lnx 为增函数，由 f 2x f ln xa得 2x ln xa，即 a xe2x 恒成立，令 g x=xe2x，此题转化为求 g xmax.【详解】不等式 2ae2x-lnx+lna 0 恒成立等价于 2ae2x ln xa 即 2xe2x xa ln xa x 0，第一种：2xe2x xa ln xa x 0 e2xlne2x xa ln xa，令 h(x)=xlnx x 1e，故 h e2x

38、h xa第二种：2xe2x ln xa eln xa x 0 e2xlne2x xa ln xa，h(x)=xex x 0 故 h 2x h ln xa2xe2x xa ln xa x 02x+ln2x ln xa+ln ln xax a，还取啥对数呀由于 f x=x+lnx 为增函数，16所以由 f 2x f ln xa，得 2x ln xa，即 a xe2x 恒成立，令 g x=xe2x，则 g x=1-2xe2x，当 0 x 0，g x单调递增，当 x 12 时，g x 0，g x单调递减易得 g xmax=g 12=12e，所以 a 12e，所以 a 的取值范围是12e,+.补充：2a

39、e2x-lnx+lna 0 2elna+2x+lna+2x 2x+lnx=2elnx+lnx令 g(x)=2ex+x，则有 g(lna+2x)g(lnx)lna+2x lnx a xe2xmax=12e总结：构造比较麻烦，需要多尝试2023广东惠州一模 T22(2)20 已知函数 f(x)=2x-alnx，若函数 f(x)(a+2)x-xex恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】a 0,ef(x)(a+2)x-xex恒成立，等价于 xex-a(x+lnx)0 xex=elnx+xelnx+x a(x+lnx)，令 t=x+lnx，t R，则有 et at 等价于 y1=ex的图像恒在 y2=a

40、x 的上方 首先，y2=ax 在一，三象限，即 a 0，过原点作 y1=ex的切线，切线方程方程为 y=ex，故 a e.总结：部分同构+过某点的切线斜率思考 1：分参是否可行？答：不行，要讨论正负elnx+x a(x+lnx)a elnx+xx+lnx补充：这样分参可行elnx+x a(x+lnx)a 0 时1a x+lnxelnx+xmax=1e 0 0，且当 x 0,+时，不等式eaxx2a lnxax 恒成立，求实数 a 的取值范围.【解析】(1)函数 f x=x eax，x 0，求导得：f(x)=12 x eax+a x eax=2ax+12 x eax，当 a 0 时，f(x)0，

41、函数 f x在 0,+上单调递增，当 a 0 得 0 x-12a，由 f(x)-12a，则 f x在 0,-12a上递增，在-12a,+上递减，17所以当 a 0 时，函数 f x的递增区间是 0,+；当 a 0，且当 x 0,+时，不等式eaxx2a lnxax 恒成立，当 0 0，eaxx2a 0 lnxax 恒成立，因此 a 0，得出 a 0当 x 1 时，eaxx2a lnxax 2alneax-2alnx ln(lnx)-ln(ax)2alneax+ln(lneax)2alnx+ln(lnx)，令 g(x)=2ax+lnx，原不等式等价于 g(lneax)g(lnx)恒成立，而 g(

42、x)=2a+1x 0，即函数 g(x)在(1,+)上单调递增，因此 x 1,lneax lnx，即 x 1,ax lnx a lnxx，令 h(x)=lnxx,x 1，h(x)=1-lnxx2，当 1 x 0，当 x e 时，h(x)0，结合 g(x)=xex图像可知(常见函数求导分析过程略)，2a2x lnx2a 2a2x 2alnx ax lnx a lnxxmax=1e总结：去分母，补全结构即可同构2023广东汕头一模 T2222 已知函数 f(x)=aex-ln(x+2)+lna-2(1)若函数 f x在 x=2023 处取得极值，求 a 的值及函数的单调区间；(2)若函数 f x有两

43、个零点，求 a 的取值范围【解析】(1)函数 f(x)=aex-ln(x+2)+lna-2 定义域为 x -2,+，f x=aex-1x+2，f x在 x=2023 处取得极值，则 f 2023=ae2023-12025=0，所以 a=12025e2023，此时 f x=12025e2023 ex-1x+2，令 g x=f x=12025e2023 ex-1x+2，x -2,+，则 g x=12025e2023 ex+1x+22 0，所以 g x在-2,+上单调递增，所以 f x在-2,+上单调递增，且 f 2023=0，所以当 x -2,2023时，f x 0，f x单调递增.故 f x的单

44、调递减区间为-2,2023，单调递增区间为 2023,+.18(2)依题意即 aex-ln x+2+lna-2=0 在-2,+上有两个根，整理为 ex+lna+x+lna=ln x+2+x+2，即 ex+lna+x+lna=ln x+2+eln x+2，设函数 h x=ex+x，则上式为 h x+lna=h ln x+2，因为 h x=ex+1 0 恒成立，所以 h x=ex+x 单调递增，所以 x+lna=ln x+2，所以只需 lna=ln x+2-x 在-2,+上有两个根，令 x=ln x+2-x，x -2,+，则 x=1x+2-1=-x+1x+2，当 x -2,-1时，x 0，当 x

45、-1,+时，x 0，故 x=ln x+2-x 在 x=-1 处取得极大值即最大值，xmax=-1=1，且当 x+时 x-，当 x-2 时 x-，要想 lna=ln x+2-x 在-2,+上有两个根，只需 lna 1，解得 0 a 0)，则 g(x)=(x+1)ex 0，所以 g(x)在 x 0 时单调递增，故 x=ln(xy)，即 xy=ex，所以 xy-2x=ex-2x，令 f(x)=ex-2x，(x 0)，则 f(x)=ex-2，当 x ln2 时，f(x)=ex-2 0，f(x)单调递增，当 x ln2 时，f(x)=ex-2 0，f(x)单调递减，故当 x=ln2 时，f(x)取得最小

46、值 f(ln2)=2-2ln2，所以 xy-2x 的最小值为 2-2ln2总结：合并再补全结构即可24 实数 x，y 满足 ex=ylnx+ylny，则 exx-2lny 的最小值为【答案】2-2ln219ex=ylnx+ylny ex=ylnxy xex=xylnxy exlnex=xylnxy 令 f(x)=xlnx由洛必达法则可知limx0+xlnx=0，由此可得 ex=xy，exx-2lny=y-2lny，令 g(x)=x-2lnx，g(x)=1-2x，故 g(x)在 0,2，2,+，故 y-2lny 2-2ln2总结：常规指对同构，需要结合洛必达法则作出函数 f(x)=xlnx 图像

47、2022 届 T8 第一次联考825 设 a，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若 aea+1+b eB.b ea+1C.ab eD.b ea+1【答案】B【解答】解：由已知 aea+1 b(lnb-1)=bln be，则 ealnea be ln be，设 f(x)=xlnx，则 f(ea)0，则 ea 1，又 b(lnb-1)0，b 0，则 lnb 1，即 b e，从而 be 1，当 x 1 时，f(x)=lnx+1 0，则 f(x)在(1,+)内单调递增，ea ea+1.总结：同除补全结构2023 茂名市高三一模1226(多选)e 是自然对数的底数，m,n R，已知 mem+lnn n

48、lnn+m，则下列结论一定正确的是()A.若 m 0，则 m-n 0B.若 m 0，则 em-n 0C.若 m 0，则 m+lnn 0D.若 m 2【答案】BC【解析】原式变形为 mem-m nlnn-lnn，构造函数 f x=xex-x，则 f m f lnn，20 f x=ex x+1-1，当 x 0 时，ex 1,x+1 1，则 ex x+1 1，即 f x=ex x+1-1 0；当 x 0 时，0 ex 1,x+1 1，则 ex x+1 1，即 f x=ex x+1-1 f lnn，取 m=1,n=2，则 lnn f lnn，满足题意，但 m-n 0，则有：当 lnn 0，即 n 1

49、时，则 em 1 n，即 em-n 0；当 lnn 0，即 n 1 时，由 f x在 0,+时单调递增，且 f m f lnn，故 m lnn，则 em-n 0；综上所述：em-n 0，B 正确；对于 C：若 m 0，则有：当 lnn 0，即 n 1 时，m+lnn 0，即 n 1 时，令 h x=f x-f-x=x ex+e-x-2，ex+e-x-2 2 ex e-x-2=0，当且仅当 ex=e-x，即 x=0 时等号成立，当 x 0 时，所以 h x 0，即 f x f-x，验证极值点左边图像变化更快，考试时可以跳过由 m 0 可得 f m f-m，即 f lnn 0,-m 0，lnn-m

50、，即 lnn+m 0；综上所述：lnn+m 0，C 正确；对于 D：取 m=-2，n=1e，则 lnn=-1 f lnn，故 m=-2，n=1e 满足题意，但 em+n=1e2+1e 2，D 错误.补充：对于 BD 都是取特值代入检验，C 是比较极值点左右图像增长快慢.河北省衡水中学 2023 届高三下学期第三次综合素养评价162127 若正实数 a，b 满足 a lnb-lna+a bea-1，则 1ab 的最小值为【答案】e4解析：由 a lnb-lna+a bea-1 ln ba+a eln ba+a-1，令 ln ba+a=t t et-1因为 et t+1，当且仅当 t=0 取到等号

51、，所以 ea-1+lnb-lna lnb-lna+a，故 lnb-lna+a-1=0，所以 ln(ab)=lna+lnb=1-a-2lna，令 h(x)=1-x-2lnx，则 h(x)=2-xx，易得 h(x)在(0，2)上递增，在(2，+)递减，即 h(x)max=h(2)=ln 4e，所以 ab 4e 1ab e4 故答案为：e4 总结：局部构造+放缩不等式28 设 a=1011 e111,b=11ln1.1，则()A.1 ab aB.1 ab bC.a ab 1D.b ab 1【答案】B【分析】利用常用不等放缩可得：0 a 1,ab 1,令 x=111，即证：1-xxex ln11-x

52、1，即 exx 11-xln11-x=eln11-xln11-x，构造函数 g(x)=exx,x (0,1)，即证 g(x)g ln11-x，由 g(x)=ex(x-1)x2 0，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，则 x ln11-x，即证 x+ln(1-x)0,x (0,1)，令 t(x)=x+ln(1-x)0,x (0,1)，t(x)=1+-11-x=xx-1 0,x (0,1)，即 t(x)在(0,1)上单调递减，故 t(x)t(0)=0，即 x+ln(1-x)1 成立，所以 a 1 ab 0，若关于 x 的方程 ex-1x-x+ln x=0 存在正零点，则实数 的值可能为A.1eB

53、.12C.eD.2【答案】CD22ex-1x-x+ln x=0 ex-1x=x-ln x=lnex-ln x=ln exx，没完全同结构令 exx=t，则有 1e t=lnt 1e=lntt lnee=lntt，令 g(x)=lnxx，则 g(x)max=g(e)=g(t)e=t则有 exx=e =ex-1xx 0，求导可知函数 y=ex-1xx 0在 0,1，在 1,+，即 =ex-1x 1.总结：先除 再进行局部同构，比较有挑战性30 已知函数 f(x)=aex lnx 1，若 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是【答案】a 1e解：由题意得：aex lnex aexex exln

54、ex ae xex elnexlnex 恒成立，则需要满足 ae 1x lnex=lnx+1，显然 x-1 lnx 恒成立，故只需 ae 1，即 a 1e.总结：该题属于局部同构(类似华大五月新高考 T12)，再结合常见不等式进行放缩.2023广东海珠区高三 2 月联考2231 已知函数 f x=axex-12 a 0(1)讨论函数 f x的单调性；(2)已知函数 g x=f x-lnxx有两个零点，求实数 a 的取值范围【解析】(1)因为函数 f x=lnx-ax-2(a R,x 0)，所以 f x=1x-a，当 a 0 时，f x=1x-a 0，所以函数 f x在 0,单调递增，当 a 0

55、 时，另 f x=1x-a=0，得 x=1a，当 x 0,1a时，f x=1x-a 0，所以函数 f x单调递增，当 x 1a,+时，f x=1x-a 0 时，函数 f x在 x 0,1a上单调递增，函数 f x在 x 1a,+上单调递减；(2)若不等式 f(x)g(x)恒成立，则有 f(x)-g(x)0，即 lnx-ax-2-xex+x+a(x+1)0，法一：分参处理+隐零点化简得 a xex-lnx-x+2，设函数 h x=xex-lnx-x+2，x 0，h x=ex+xex-1x-1=x+1ex-1x，令 h x=0 得 ex-1x=0，即 ex=1x，23所以存在 x0 0,+，使得

56、h x0=0 成立，所以 ex0=1x0，且 x0=ln 1x0=-lnx0，即 lnx0=-x0，当 x 0,x0时，h x 0，h x单调递增，所以 h xmin=h x0=x0ex0-lnx0-x0+2，代入，可得 h xmin=x0 1x0+x0-x0+2=3，要使得 a h x恒成立，则 a h xmin即可，所以 a 3.法二：部分同构 去分母，同乘 2x解：函数 g x=f x-lnxx的定义域为 0,+，因为函数 g x=f x-lnxx在 0,+上有两个零点，即 axex-12=lnxx有两个不同的正实数根，即 2ax2ex-x+2lnx=0 有两个不同的正实数解，即 2ae

57、x+2lnx-x+2lnx=0 有两个不同的正实数解，令 t=x+2lnx，则 2aet-t=0，可得 2a=tet，令 h x=x+2lnx，其中 x 0,+，则 h x=1+2x 0，所以，函数 h x在 0,+上单调递增，作出函数 h x的图象如下图所示：由图可知，函数 h x的值域为 R，所以，t=x+2lnx R，令 p t=tet，其中 t R，则 p t=1-tet，当 t 0，此时函数 p t单调递增，当 t 1 时，p t 0，此时函数 p t单调递减，且当 t 0 时，p t=tet 0 时，p t=tet 0，因为函数 g x有两个不同的零点，则直线 y=2a 与函数 p

58、 t=tet 的图象有两个交点，如下图所示：24由图可知，当 0 2a 1e 时，即当 0 a x lnx+1 0，f(x)在 x 0,1上递增，则有 f(x)f(lnx+1)f(0)=0，故f(x)f(lnx+1)max=1 k下面是详细步骤 x 1,+，lnx+1elnx+1 0，k xexlnx+1elnx+1，由(1)可知 f(x)=xex 在 1,+上单调递减，下证：x lnx+1，即证：x-lnx 1 在 x 1,+恒成立，令 g x=x-lnx，则 g(x)=1-1x=x-1x 0，g x在 1,+上单调递增，又 x 1，g x g 1=1-ln1=1.x lnx+1 1，f x

59、在 x 1,+上单调递减，f(x)f(lnx+1)，即 xex lnx+1elnx+1，xexlnx+1elnx+1 1.k 1.252023广东深圳中学 5 月适应性测试 T22(1)部分同构33 已知函数 f x=ax-alnx-exx，若不等式 f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.【答案】a e法一：部分同构+转换为相切临界问题函数 f x的定义域为 0,+，即 a x-lnx exx 在 0,+上恒成立即 a x-lnx ex-lnx，令 t=x-lnx，易证 t 1，+(略)则有 at et，即 y=at 图像在 y=et图像下方，过原点作 y=et切线，切线方程为 y=ex

60、，切点为(1,e)故 a e法二：部分同构+分参a x-lnx ex-lnx，令 t=x-lnx，易证 t 1，+(略)，at et a ettmin=e法二：由 f x 0 分离常数 a，利用构造函数法，结合导数来求得 a 的取值范围.函数 f x的定义域为 0,+，不等式 f x 0 恒成立，即 a x-lnx exx 在 0,+上恒成立，记 u x=x-lnx，则 u x=1-1x=x-1x，得到 u x在区间 0,1上 u x 0,u x单调递增，则 u xmin=u 1=1，即 u x 1 在区间 0,+上恒成立，分离变量知：a exx2-xlnx=g x在 0,+上恒成立，则 a

61、1 恒成立，即 x-1-lnx 0，所以 g x在区间 0,1上 g x 0,g x单调递增，所以 g xmin=g 1=e，所以 a e题型四同构+切线放缩2023 佛山一模 T1134(多选)若正实数 x，y 满足 xex-1=y 1+lny，则下列不等式中可能成立的是()A.1 x yB.1 y xC.x y 1D.y x 0，所以 xex-1 0，则 1+lny 0，26令 f x=xex-1，x 0,+，则 f x=x+1ex-1 0，所以 f x=xex-1在 0,+上单调递增，由 f x=f 1+lny，可得 x=1+lny，令 g x=lnx+1-x，则 g x=1x-1=1-

62、xx，所以当 0 x 0，当 x 1 时 g x 0，所以 g x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减，所以 g xmax=g 1=0，则 g x=lnx+1-x 0，即 lnx+1 x 当且仅当 x=1 时取等号，即 1+lny y 当且仅当 y=1 时取等号，又 x=1+lny，所以 x y，当且仅当 x=y=1 时取等号，当 y 1 时 1 x y 或 x y 1，结合 y=lnx+1 与 y=x 的图象也可得到所以 1 x y 或 x y 0，ex=ey ex-1=elny x-1=lny y-1 x y(x=y=1 时取等号)总结：同构+洛必达+放缩补充：xex=eyln ey

63、 xex=ln eyeln ey x=ln ey=1+lny 0，ex-xcosx+cosxlncosx+ax2 1 恒成立，即excosx-x+lncosx+ax2cosx 1cosx，即excosx-lnexcosx 1-ax2cosx第二步，换元，求导得出参数范围：令 t=excosx t 1，+，则有 t-lnt 1-ax2cosx第三步，放缩：lnt 1 t 1，故 t-lnt 1 1-ax2cosx，即 cosx 1-ax2第四步，分离参数求出范围：cosx 1-ax2 ax2 1-cosx a 1-cosxx2令 g x=1-cosxx2,x 0,2,g x=x xsinx+2c

64、osx-2x4，令 y=xsinx+2cosx-2y=sinx+xcosx-2sinx=xcosx-sinx，因为 xcosx tanxcosx=sinx，故 y 0 y 0 g(x)12也可以取特殊值：令 a=12 h x=cosx-1+x22,x 0,2,h x=sinx+x 0,h x h 0=0，又易知 cosx 1-x22x 0,2，据此可以判断 a 12 满足不等式成立，故最小整数为 1补充：把 x=0 代入，刚好取等，余弦放缩：cosx 1-x22令 g x=lnx-x+1,g x=1x-1=1-xx,x 0,+,x 0,1,g x 0,g x单调递增；x 1,+,g x 0，且

65、excosx 0，所以 lnexcosx excosx-1，所以 1-ax2cosx 1，即 1-ax2 cosx2837(2023广东珠海高三联考模拟考试)已知函数 f x=lnx-ax-2 a R,g x=xex-x-a x+1.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围.【解析】(1)因为函数 f x=lnx-ax-2(a R,x 0)，所以 f x=1x-a，当 a 0 时，f x=1x-a 0，所以函数 f x在 0,单调递增，当 a 0 时，另 f x=1x-a=0，得 x=1a，当 x 0,1a时，f x=1x-a 0，所以函

66、数 f x单调递增，当 x 1a,+时，f x=1x-a 0 时，函数 f x在 x 0,1a上单调递增，函数 f x在 x 1a,+上单调递减；(2)若不等式 f(x)g(x)恒成立，则有 f(x)-g(x)0，第一步，整理：lnx-ax-2-xex+x+a(x+1)0，第二步，变成 a et-t 的形式：a xex-lnx-x+2 elnx+x-lnx+x+2，第三步，换元，放缩：令 lnx+x=t R，则有 a et-t+2min=3综上，a 3.总结：局部同构+分参补充：不同构-隐零点硬算(2)若不等式 f(x)g(x)恒成立，则有 f(x)-g(x)0，即 lnx-ax-2-xex+

67、x+a(x+1)0，化简得 a xex-lnx-x+2，设函数 h x=xex-lnx-x+2，x 0，h x=ex+xex-1x-1=x+1ex-1x，令 h x=0 得 ex-1x=0，即 ex=1x，所以存在 x0 0,+，使得 h x0=0 成立，所以 ex0=1x0，且 x0=ln 1x0=-lnx0，即 lnx0=-x0，当 x 0,x0时，h x 0，h x单调递增，所以 h xmin=h x0=x0ex0-lnx0-x0+2，代入，可得 h xmin=x0 1x0+x0-x0+2=3，要使得 a h x恒成立，则 a h xmin即可，38(2023广东统考一模)已知函数 f

68、x=xex+1.(1)求 f x的极值；(2)当 x 0 时，f x a+1x+lnx+2，求实数 a 的取值范围.29【答案】(1)f x有极小值 f-1=-1，无极大值；(2)a 0【解析】(1)求导得 f x=x+1ex+1，所以当 f x 0 时，x-1；当 f x 0 时，x-1，所以 f x在-,-1上单调递减，在-1,+上单调递增，所以 f x有极小值 f-1=-1，无极大值.(2)由题知不等式 xex+1 a+1x+lnx+2 在 x 0,+上恒成立，原问题等价于不等式 elnx+x+1-lnx+x+1-1 ax 在 x 0,+上恒成立，即 elnx+x+1-lnx+x+1-1

69、 ax 在 x 0,+上恒成立.可以令 t=lnx+x+1，t R，则有 et-t+1 ax，故 ax et-t+1min=0 a 0常规方法记 g x=ex-x-1，则 g x=ex-1，当 x -,0,g x 0,g x单调递增，g x g 0=0因为 lnx+x+1 R,g lnx+x+1 0 即 elnx+x+1-lnx+x+1-1 0，xex+1-lnx-x-2 0当 a 0 时，因为 xex+1-lnx-x-2 0,ax 0，所以不等式恒成立，所以 a 0；当 a 0 时，令 h x=lnx+x+1，显然 h x单调递增，且 h1e2=1e2-1 0故存在 x01e2,1，使得 h

70、 x0=0，即 xex+1-lnx-x-2=0，而 ax0 0，此时不满足 xex+1-lnx-x-2 ax，所以 a 无解.综上所述，a 0.补充练习杭州一模(高三上期末)T16-同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1 已知不等式 axlna aln x-1(a 0,a 1)对 x (1,+)恒成立，a 的取值范围是.【答案】e1e,+第一步，同除 a，ax-1=ex-1lna转化：ax-1lna ln x-1 ex-1lna lna ln x-1，第二步，同乘 x-1：x-1lna ex-1lna x-1ln x-1=ln x-1eln x-1第三步，构造对应函数，求单调性：令 f(x)=x

71、 ex，求导可知 f(x)=x ex在(-,-1)，(-1,+).第四步，求函数不等式：则有 fx-1lna f ln x-1第五步，分类讨论：+lna 0 a 1 时，x-1lna 0，故 x-1lna ln x-1 lna ln x-1x-1 1e则有 lna lne1e a e1e当 0 a 1 时，x-1lna 0 fx-1lna 0，故不能恒成立.潍坊一模21(2)2 已知函数 f x=ex-1lnx，g x=x2-x，证明：当 x 0,2时，f x g x.30解：原不等式为 ex-1lnx x2-x=x x-1，即 lnxx x-1ex-1，即证 lnxelnx x-1ex-1

72、在 x 0,2上恒成立，设 l x=xex，则 l x=ex-xexex2=1-xex，所以，当 x 0，l x单调递增；当 x 1 时，l x 0，l x单调递减，所以 l x l 1=1e，令 t x=lnx-x+1,t x=1x-1=1-xx，当 0 x 0，t x单调递增；当 x 1 时，t x 0，t x单调递减，所以 t(x)max=t 1=0，所以 lnx x-1，且在 x 0,2上有 lnx 1x-1 b 1，若 ea+bea=aeb+1+a，则A.ln(a+b)1B.ln(a-b)0C.3a+3-b 2 3D.3a-1 b+1eb+1+1=aea，故 g(b+1)g(a)b+

73、1 aln ax-2a(a 0)恒成立，则实数 a 的取值范围为.【答案】(0,e2)第一步，同除 a：ex-1a+1 lna+ln x-2 ex-1-lna+1 lna+ln x-2第二步，移项，同加 x-2：ex-1-lna+x-1-lna x-2+ln x-2第三步，指对转化：ex-1-lna+x-1-lna eln x-2+ln x-2第四步，构造函数求出范围：令 f(x)=ex+x，则有 f x-1-lna f ln x-2 x-1-lna ln x-2第五步，切线放缩或者构造函数求出最值：由 t-lnt 1 x-1-ln x-2 2x-1-ln x-2 lna lna x-1-ln x-2min=2 a 0，恒有 a eax+1 2 x+1xlnx，则实数 a 的最小值为.【答案】同乘 x：ax eax+1 x2+1lnx2 ax eax+1 elnx2+1lnx2构造函数：令 f(x)=x ex+1，则有 f(ax)f(lnx2)研究单调性：f(x)=ex+1+xex 0 x 0，故 ax lnx2 a 2lnxxmax=2e(参考 y=lnxx图像)32