数学●全国Ⅰ卷丨2025年普通高等学校招生全国统一考试试卷（原卷版）.pdf

1、2025 普通高等学校招生全国统一考试 1 卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.(1+5i)i 的虚部为()A.-1B.0C.1D.62.设全集 U=x|x 为小于 9 的正整数，A=1,3,5，则 UA 中的元素个数为()A.0B.3C.5D.83.双曲线虚轴长是实轴长的7 倍，求离心率为()A.2B.2C.7D.2 24.已知点(a,0)(a 0)是函数 y=2tan x-3的图像的一个对称中心，则 a 的最小值为()A.6B.3C.2D.435.已知 f(x)是定义在

2、R 上且周期为 2 的偶函数，当 2 x 3 时，f(x)=5-2x，则 f-34=()6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图 1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位 m/s)，则真风为()图 1图 2A.轻风B.微风C.和风D.劲风7.已知圆 x2+(y+2)2=r2(r 0)上到直线 y=3x+2 的距离

3、为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+)D.(0,+)8.已知 2+2log x=3+3log y=5+5log z，则 x,y,z 的大小关系不可能为()A.x y zB.x z yC.y x zD.y z x二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 为 BC 中点，则()A.AD A1CB.B1C 平面 AA1DC.CC1 平面 AA1DD.AD A1B110.设抛物线

4、C:y2=6x 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A、B，过 F 且垂直于 AB 的直线交 l:y=-32 x 于 E，过 A 作 x=-32 的垂线，垂足为 D，则()A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|6D.|AE|BE|1811.cos2A+cos2B+2sinC=2，SABC=14，cosAcosBsinC=14，以下正确的是()A.sinC=2sin A+2sin BB.AC2+BC2=3C.AB=2D.sinA+sinB=62三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.直线 y=2x+5 是曲线 y=e x+x+a 的切线，则 a=.

5、_13.若一个等比数列的前 4 项和为 4，前 8 项和为 68，则该等比数列的公比为._14.一个箱子里有 5 个球，分别以 1-5 标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数 X，则 E(X)=._四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13 分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000人，得到如下列联表：（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 p，求 p 的估计值；（2）根据小概率值 =0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附：2=n(ad-bc)2(a+b)

6、(c+d)(a+c)(b+d)，16.(15 分)已知数列 an 中，a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1).（1）证明：数列 nan 是等差数列；（2）给定正整数 m，设函数 f(x)=a1x+a2x2+amxm，求 f(-2).17.(15 分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD.BC AD，AB AD.（1）证明：平面 PAB 平面 PAD；（2）若 PA=AB=2，AD=3+1，BC=2，P,B,C,D 在同一个球面上，设该球面的球心为 O.（i）证明：O 在平面 ABCD 上；（ii）求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.18.(17 分)已知椭

7、圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 2 23，下顶点为 A，右顶点为 B，|AB|=10.（1）求 C 的方程；（2）已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足|AP|AR|=3.（i）设 P(m,n)，求 R 的坐标（用 m,n 表示）；（ii）设 O 为坐标原点，Q 是 C 上的动点，直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍，求|PQ|的最大值.19.(17 分)设函数 f(x)=5cosx-cos5x.（1）求 f(x)在 0,4 的最大值；（2）给定 (0,)，设 a 为实数，证明：存在 y a-,a+，使得 cosy cos；（3）若存在 t 使得对任意 x，都有 5cosx-cos(5x+t)b，求 b 的最小值.