【新结构19题模式】2024届贵阳一模数学试题 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司贵阳市 2024 年高三年级适应性考试（一）数学 2024.2 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分.考试时间为 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷答题卡一并收回.第 I 卷（选择题共 58 分）一选择题：本题共 8 小题，每小题

2、 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合1,3,5,6,2,3,5,8AB=，则 AB=（）A.1,2,3,5,6,8 B.3,5 C.1,3 D.2,8 2.已知 z 是复数，若()1 i2z+=，则 z=（）A.1 i B.1 i+C.2i D.22i 3.设等差数列 na的前n 项和为nS，已知281514,27aaa+=，则12S=（）A.150 B.140 C.130 D.120 4.向量()6,2a=在向量()2,1b=上的投影向量为（）A.()2,1 B.11,2 C.()4,2 D.()3,1 5.已知圆22:(1)(2)9Cxy+

3、=，直线():10,l m xyyxm+=R，则下列说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,1 B.直线l 与圆C 一定相交 C.若直线l 平分圆C 的周长，则4m=D.直线l 被圆C 截得的最短弦的长度为 3 6.2023 年 8 月至 10 月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8 月学科网（北京）股份有限公司26 日）共报名了贵州贵阳烤肉队等 3 支省内和辽宁东港草莓队等 3 支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8 月 26 日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A.6 种 B.9 种 C.18 种

4、 D.36 种 7.将函数()sinf xx=的图像先向右平移 3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 1(0)倍，得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在,02上单调递增，则 的取值范围是（）A.10,6 B.10,3 C.10,2 D.(0,1 8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()exfx+也是偶函数，若()()21f afa，则实数a 的取值范围是（）A.(),1 B.()1,+C.1,13 D.()1,1,3+二多项选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6

5、 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m 的平均数为 x，中位数为0 x，方差为2s，则（）A.若6x=，则7m=B.若2024m=，则06x=C.若7m=，则211s=D.若12m=，则样本数据的80%分位数为 11 10.已知0,0ab，且2ab+=，则（）A.222 2ab+B.112ab+C.22loglog1ab+D.22 2ab+11.在三棱锥 PABC中，PC 平面,3ABC PCAB=，平面 ABC 内动点 D 的轨迹是集合|2MD DADB=.已知,iC DM且iD 在棱 AB 所在直线上，1,2i=，则（）A.动点 D 的轨迹

6、是圆 B.平面1PCD 平面2PCD学科网（北京）股份有限公司C.三棱锥 PABC体积的最大值为 3 D.三棱锥12PD D C外接球的半径不是定值 第 II 卷（非选择题共 92 分）三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知 tan2=，则1sin2=_.13.已知一个圆台的上下底面半径分别为 1 和 3，高为2 3.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为_.（球的厚度可忽略不计）14.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，直线1BF 与椭圆C的另一个交点为 A.若220AFBF=，则椭圆C 的离心率为_

7、.四解答题：共 5 个小题，满分 77 分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分 13 分）记 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 sin3 cosaCcA=.（1）求角 A；（2）若2a=，求 ABC面积的最大值.16.（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，22PAADAB=.（1）证明：平面 PCD 平面 PAD；（2）求平面 PBC 与平面 PCD 的夹角的余弦值.17.（本题满分 15 分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统

8、民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为 23，乙同学猜对每个灯谜的概率为 12.假设甲乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：（1）甲乙任选 1 个独立竞猜，求甲乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选 2 个进行有奖竞猜，都猜对则可以在 A 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖学科网（北京）股份有限公司概率是 23；没有都猜对则在 B 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是 14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）甲乙各任选 2 个独立竞猜，设甲乙猜对灯谜的个数之和为 X，求 X 的分布列与数学期望.18.（

9、本题满分 17 分）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)xyabab=，虚轴长为 2，点()4,1A 在C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）过原点O 的直线与C 交于,S T 两点，已知直线 AS 和直线 AT 的斜率存在，证明：直线 AS 和直线 AT的斜率之积为定值；（3）过点()0,1 的直线交双曲线C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与 x 轴的交点分别为,M N，求证：MN 的中点为定点.19.（本题满分 17 分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23e12!3!nxxxxxn=+其中!1 2 3 4,enn=为自然对数的底数，e2.71828=.以上公式称为泰勒公式.设

10、()()eeee,22xxxxf xg x+=，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：e1xx+；（2）设()0,x+，证明：()()f xg xx；（3）设()()212xF xg xa=+，若0 x=是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.学科网（北京）股份有限公司贵阳市 2024 年高三年级适应性考试（一）参考答案与评分建议 2024.2 一选择题（每小题 5 分，共 40 分）题号12345678答案BADCBDBD二多项选择题（每小题 6 分，共 18 分）题号91011答案ABDABCDABC三填空题（每小题 5 分，共 15 分）12.54 1

11、3.4 3 14.55四解答题（共 5 小题，共 77 分）15.解：（1）由正弦定理，得sin sin3sin cosACCA=，又()0,sin0CC，所以sin3cosAA=，即 tan3A=.又()0,A，所以3A=.（2）由余弦定理，得2221cos22bcaAbc+=，所以224bcbc+=.由基本不等式知22 2bcbc+，于是224 244bcbcbcbc=+.当且仅当2bc=时等号成立.所以 ABC的面积133sin43244SbcAbc=，当且仅当2bc=时，面积 S 取得最大值 3.学科网（北京）股份有限公司16.（1）证明：因为 PA 底面,ABCD CD 底面 ABC

12、D，所以 PACD.因为底面 ABCD 是矩形，所以 ADCD.又 PAADA=，所以CD 平面 PAD.又因为CD 平面 PCD，所以平面 PCD 平面 PAD.（2）解 以 A 为原点，,AB AD AP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴，建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2ABCDP.所以()()()1,2,2,0,2,0,1,0,0PCBCCD=.设平面 PBC 的法向量为()111,nx y z=，则 1111220,0,20.0 xyzn PCyn BC+=取12x=，得()2,0,1n=.设平面 P

13、CD 的法向量为()222,mxyz=，则 1111220,0,0.0 xyzm PCxm CD+=取21y=，得()0,1,1m=.设平面 PBC 与平面 PCD 的夹角为，则|110cos|cos,|1052n mn mn m=所以平面 PBC 与平面 PCD 的夹角的余弦值为 1010.17.解：设 A=“甲猜对一个灯谜”，B=“乙消对一个灯谜”，则()()21,.32P AP B=（1）因为甲乙恰有一人猜对的事件为 ABAB+，所以 学科网（北京）股份有限公司()()()P ABABP ABP AB+=+()()()()P A P BP A P B=+21111.32322=+=所以，

14、甲乙恰有一人猜对的概率为 12.（2）设C=“甲猜对两道题”，D=“甲中奖”，则()()()()()P DP C P D CP C P D C=+22222113334=+85472736108=+=所以，甲同学抽中新春大礼包的概率 47108.（3）由（1）知()()21,32P AP B=.易知甲乙猜对灯谜的个数之和 X 的可能取值为0,1,2,3,4.则()221110,3236P X=()2211222111111111,3322239186P XCC=+=+=()2222112221112111132,3232332236P XCC=+=()22112221111213,332223

15、3P XCC=+=()222114.329P x=所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P1361613361319因此，X 的数学期望 学科网（北京）股份有限公司()11131184701234.3663639363E X=+=18.解：（1）因为虚轴长22b=，所以1b=.又因为点()4,1A 在双曲线上，所以221611ab=，解得28a=.故双曲线C 的方程为2218xy=.（2）证明：设()00,S xy，则()00,Txy 所以 200020001114416ASATyyykkxxx+=+因为()00,S xy在双曲线C 上，所以 2222000011288xxyy=于是2

16、0202200211816168ASATxykkxx=，所以直线 AS 和直线 AT 的斜率之积为定值，定值是 18.（3）证明：设()()1122,P x yQ xy，直线 PQ 的方程为1ykx=+.()22221,1 81616088ykxkxkxxy=+=则()()222(16)4 1 816642560,kkk=所以()()()121212221121 8yykxkxk xxk+=+=+=()()()2121212121111y ykxkxk x xk xx=+=+=直线 AP 的方程为()111414yyxx+=+，令0y=，得点 M 的横坐标为 学科网（北京）股份有限公司1144

17、1Mxxy+=+同理可得点 N 的横坐标为 22441Nxxy+=+所以121244811MNxxxxyy+=+()()()122112121248811x yx yxxyyyy+=+()()()122112121212114881x kxxkxxxyyy yyy+=+()()121212121222488.1kx xxxyyy yyy+=+将式代入上式，并化简得到()()2288 1 88484,22 1 8MNkxxk+=+所以 MN 的中点的横坐标为22MNxxx+=，故 MN 的中点是定点()2,0.19.证明：（1）设()e1xh xx=，则()e1xh x=.当0 x 时，()0h

18、 x：当0 x 时，()0h x.所以()h x 在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增.因此，()()00h xh=，即e1xx+.（2）由泰勒公式知2345e12!3!4!5!nxxxxxxxn=+，于是2345e1(1)2!3!4!5!nxnxxxxxxn=+，由得()()3521ee,23!5!21!xxnxxxf xxn=+学科网（北京）股份有限公司()()2422ee1,22!4!22!xxnxxxg xn+=+所以()()242213!5!21!nf xxxxxn=+()242212!4!22!nxxxn+().g x=即()()f xg xx时，()0Fx；当0 x 时，()0Fx时，0 x=不是()F x 的极小值点.当1a 时，()lnlnee111 1ln0222aaFaaaaaaa+=+=时，学科网（北京）股份有限公司所以当()ln,lnxaa 时，()0Fx.因此，()Fx在()ln,lnaa上单调递减.又因为()Fx是奇函数，且()00F=，所以当 ln0ax；当0lnxa时，()0Fx.所以()F x 在()ln,0a上单调递增，在()0,lna 上单调递减.因此，0 x=是()F x 的极大值点，不是()F x 的极小值点.综上，实数a 的取值范围是(,1.