浙江省余姚中学2022-2023学年高二数学上学期10月月考试题（PDF版有答案）.pdf

1、余姚中学 2022 学年 10 月质量检测高二数学学科试卷命题：徐夙莹 审题：何彩芽 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若直线过两点(1,0)，(4,3 3)，则此直线的倾斜角是()A.30B.60C.120D.1502.已知a，b，c，d是四个非零向量，下列说法正确的是()A.a bab B.222a bab C.如果 ab，cd，那么 a cb d D.如果0a b，那么ab3.已知一个样本，样本容量为 10，平均数为 15，方差为 3，现从样本中去掉一个数据 15，此时样本的平均数为 x，方差为2s，则()A

2、.15x，23s B.15x，23s C.15x，23s D.15x，23s 4.在一次试验中，随机事件 A，B 满足 P(A)=P(B)=23，则()A.事件 A，B 一定互斥B.事件 A，B 一定不互斥C.事件 A，B 一定互相独立D.事件 A，B 一定不互相独立5.已知点 A(2，3)，B(3，2)，直线 l 经过定点(1，1)且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为()A.3,4,4 B.13,44 C.34,4D.3,446.已知ABC 的顶点 B(2，1)，C(6，3)，其垂心为 H(3，2)，则其顶点 A 的坐标为()A.(19，62)B.(19，62)C.(1

3、9，62)D.(19，62)7.在二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若 AB=1，AC=2，BD=3，CD=2 2，则这个二面角的大小为()A.30B.45C.60D.908.如图，已知电路中有 5 个开关，开关5S 闭合的概率为 13，其他开关闭合的概率都是 12，且每个开关的闭合相互独立，则灯亮的概率为()A.78B.1516C.2324D.45二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知2,1,3ax

4、x，2,3by，若/ab，则 xy的值可能为()A.2 B.1 C.1D.210.已知甲袋中有 5 个大小、质地相同的球，其中有 4 个红球，1 个黑球；乙袋中有 6 个大小、质地相同的球，其中有 4 个红球，2 个黑球.下列说法中正确的是()A.从甲袋中随机摸出 1 个球是红球的概率为 45B.从乙袋中随机摸出 1 个球是黑球的概率为 23C.从甲袋中随机摸出 2 个球，则 2 个球都是红球的概率为 35D.从甲、乙袋中各随机摸出 1 个球，则这 2 个球是 1 红 1 黑的概率为 2511.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别为棱 BC，CC1，BB1 的

5、中点，则下列结论正确的是()A.直线 EF 到平面 A1ADD1 的距离为 2B.点 A1 到平面 AEF 的距离为 43C.点 A1 到直线 AF 的距离为 4 23D.点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等12.如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABC平面 BCD，ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，且BAC=BCD=90，BC=2，P 是线段 AB 上的动点（不包括端点），若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ与 AC 成 30的角，则线段 PA 的长度可能为()A.33B.22C.63D.32三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知三点

6、A(2，3)，B(4，3)，C(，k)三点共线，则实数 k 的值为_.14.若事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=23，P(B)=14，则 P(AB)=_.15.若(1,1,1)a 与(,2,2)bx的夹角为锐角，则实数 x 的取值范围是_.16.已知圆柱 OO1 中，点 A 在圆 O 上，AO=1，OO1=2，点 P，Q 在圆 O1 上，且满足 PQ=2 33，则直线 AO1 与平面 OPQ 所成角的正弦值的最大值为_.CDBAPQ四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b

7、cos A+a cos B=2c cos A.(1)求角 A 的大小；(2)若 a=2，求 b+c 的最大值.18.如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题.(1)80 90 这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数；(3)从成绩是 80 分以上（包括 80 分）的学生中选 2 人，求他们在同一分数段的概率.19.已知数列 na的前 n 项和为nS，13a，且*11(2,)1nnSSnnNnn.(1)求数列 na的通项公式；(2)若13nnnaSbn，求数列 nb的前 n 项

8、和nT.20.如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA 底面 ABCD，底面 ABCD 是矩形，且 AB=2，PA=AD=3，点 E 为棱 PD 的中点.(1)证明：PD 平面 ABE；(2)求 BE 与平面 AEC 所成角的正弦值.21.如图，在ABC 中，AB=1，BC=2 2，B=4，将ABC 绕边 AB 旋转至ABP，使平面 ABP平面 ABC，D 是 BC 的中点.(1)求平面 ABC 与平面 PBC 的夹角的余弦值；(2)设点 Q 是线段 PA 上的动点，当直线 PC 与直线 DQ 所成角最小时，求线段 AQ 的长度.22.已知2()22 21xxf xaa ，xR.(1)若0a

9、，解关于 x 的方程()(1)4xf xa；(2)设()()2xf xh x，若当12a 时，对任意1x，21,1x 总有121()()2ah xh x，求实数 a 的取值范围.ECADBPDABCPQ余姚中学 2022 学年 10 月质量检测高二数学学科答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678BDCBAACA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9101112BDACDABCAB三、填

10、空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.614.3415.(4,2)(2,)16.366四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解：(1)b cos A+a cos B=2c cos A，sin B cos A+sin A cos B=2 sin C cos A=sin C，又 sin C 0，2cos A=1，A=3.(2)由余弦定理 a2=b2+c2 2bc cos A 可得，4=b2+c2 bc=(b+c)2 bc (b+c)2 22bc=24bc，b+c 4，当且仅当 b=c 时取得等号，(b+c)max=4.18.解：

11、(1)80 90 这一组的频数、频率分别是 0.1，4；(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数分别是 68.5，75；(3)从成绩是 80 分以上（包括 80 分）的学生中选 2 人，他们在同一分数段的概率为 715.19.解：(1)21nan；(2)72744 3nnnT.20.解：以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,3,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，E3 30,2 2.(1)0,3,3PD，2,0,0AB，3 30,2 2AE，记平面 ABE 的一个法向量为1n，则1100nABnAE 1

12、0,1,1n，113/PDnPDnPD 平面 ABE.(2)3 32,2 2BE，2,3,0AC，3 30,2 2AE，记平面 ACE 的一个法向量为2n，则2200nABnAE 23,2,2n26 2cos,17BE n，BE 与平面 AEC 所成角的正弦值为 6 217.21.解：过 C 作 COAB 于 O，连接 PO，则由题意可知 POAB，平面 ABP平面 ABC，平面 ABP 平面 ABC=AB，POAB，PO 平面 ABP，POAB 平面 ABC，以 OB，OC，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(

13、1,1,0)，P(0,0,2).(1)平面 ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n，2,0,2PB，0,2,2PC，记平面 PBC 的一个法向量为2n，则2200nPBnPC 21,1,1n123cos,3n n，平面 ABC 与平面 PBC 的夹角的余弦值为33.(2)设(,0,2)AQAP，0,1，则(,1,2)DQ，(0,2,2)PC，记直线 PC 与直线 DQ 所成角为，则2221 21 21coscos,512251PC DQ，令 t=2+11,3，则222111cos55955922424424ttttt，当159t 即25 时，cos 取得最大，即最小，此时24,0,55AQ，

14、2 55AQ.xyzzyxO22.解：(1)由题意知222 21(1)4xxxaaa ，整理得222 210 xxa ，令20,xt ，则2210tta，40a，1ta，当01a 时，210log1taxa，当1a 时，1221,10log1ta taxa .(2)由题意得()1()2222xxxf xah xa，令12,22xt，则1()()2ah xg ta tt，当1a 时，函数()g t 在区间 1,22上单调递增，由题意得maxmin131()()(2)3222ag tg tgga，解得45a，与1a 矛盾，舍去；当 112a 时，函数min1()ag tga，(i)当 415a 时，112aa，则函数()g t 在区间 1,22上单调递增，由题意得maxmin131()()(2)3222ag tg tgga，解得45a，所以45a；(ii)当 1425a时，1112aa，则函数()g t 在区间 11,2aa上单调递减，在区间1,2aa上单调递增，且13(2)3022gga，即1(2)2gg，所以2maxmin131()()(2)12222aag tg tggaaaa，解得 1425a；综上所述，数 a 的取值范围为 1 4,2 5.