黑龙江省双鸭山市第一中学2023-2024学年高三数学上学期开学考试（8月）（PDF版附解析）.pdf

1、第 1 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司双鸭山市第一中学 2023-2024 学年度（上）高三数学开学考试题一、单选题1.若全集U R，集合2|4Mx x，3|01xNx x，则()UMN 等于 A.|2x x B.|2x x 或3x C.|3x x D.|23xx【答案】B【解析】【分析】求解集合,M N，按照补集的运算求出 U N，计算交集即可.【详解】解：2Mx 或2x，|13Nxx，()U N|1x x 或3x，则()UMN|2x x 或3x.故选：B2.若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案

2、】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0,0a b 时，2abab，则当4ab时，有 24abab，解得4ab，充分性成立；当=1,=4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.函数4()lnf xxx的零点位

3、于区间（）第 2 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】D【解析】【分析】根据连续函数()f x 满足(3)0f，(4)0f，由此可得函数()f x 的零点所在的区间.【详解】解：函数4()lnf xxx是连续单调增函数，454.5e，3327，所以343e，可得43301e，4343(3)ln3ln03fe，(4)ln 4 10f，(3)(4)0ff.故函数()f x 的零点位于区间(3,4)内，故选：D.4.为了得到cos 26yx的图象，可以将函数cosyx的图象（）A.每个点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再

4、向左平移 6个单位长度B.每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 6个单位长度C.每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 12个单位长度D.每个点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再向左平移 12个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式判断图象平移过程即可.【详解】将cosyx每个点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变得cos2yx，第 3 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司再向左平移 12个单位长度得cos2()cos(2)126yxx.故选：D5.已知点8,m 在幂函数()3af xmx的图象上，则函数2()log5ag

5、 xxmx的单调减区间为（）A.()1,2-B.,2C.2,5D.2,【答案】A【解析】【分析】由幂函数的性质求得m，把点的坐标代入幂函数解析式求得 a，再由复合函数的单调性求解.【详解】因为()3af xmx是幂函数，所以31m，则4m，又点8,m 在幂函数()3af xmx的图象上，所以 48a，得8log 4(0,1)a，函数2()log5ag xxmx化为2()log45ag xxx.令245txx，由0t，得 15x，因为外函数logayt为定义域内的减函数，而内函数245txx 的对称轴为2x，且在()1,2-上为增函数，所以函数2()log5ag xxmx的单调减区间为()1,2

6、-.故选：A.6.已知定义在 R 上的奇函数()f x 满足2()f xf x，当0,1x时，()21xf x，则（）A.11672fff B.11(6)(7)2fffC.11(7)(6)2fffD.11(6)(7)2fff【答案】B【解析】【分析】由题干条件可知，函数()f x 表示以 4 为周期的周期函数，又因为()f x 为奇函数，所以()fxf x，根据周期性和对称性将所求 11672fff、转到0,1x内求值，即可比较大第 4 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司小.【详解】由题意得，因为2()f xf x，则4()f xf x，所以函数()f x 表示以 4 为周期的周期函数

7、，又因为()f x 为奇函数，所以()fxf x，所以(6)(42)(2)(0)0ffff，(7)(8 1)(1)1fff ，11331142122222fffff，所以11(6)(7)2fff.故选：B.7.将函数()2sin(2)02f xx的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数()yg x的图象，若函数()yg x为偶函数，则A.函数()f x 的最小正周期为2B.函数()f x 的图象关于点03,对称C.函数()f x 的图象关于直线12x对称D.函数()f x 在3 6,上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据题意结合平移变换得2sin(2)(3xg x ，又函数()yg x为偶函

8、数得()2sin(2)6f xx，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】解：由题意得()2sin(2)02f xx的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数()2sin(2()2sin()62)63gf xxxx 若函数()yg x为偶函数，则()(3)26kkZkkZ因为02，所以6，所以()2sin(2)6f xx第 5 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司对于 A，最小正周期22T，错误；对于 B，()2sin(3362)0f，错误；对于 C，()2sin(21212)16f ，错误；对于 D，令 222()262kxkkZ得()36kxkkZ，所以函数()f x 在3 6

9、,上单调递增，正确；故选：D.【点睛】求三角函数单调区间的 2 种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.8.已知函数1yf x的图像关于直线1x 对称，且当,0 x，0f xxfx成立，若1.51.522af，ln3ln3bf，112211loglog44cf，则（）A.abcB.bacC.cabD.bca【答案】D【解析】【分析】先得到

10、 yf x为偶函数，再构造函数 g xxf x，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.【详解】函数1yf x的图像关于直线1x 对称，可知函数 yf x的图像关于直线0 x 对称，即 yf x为偶函数，构造 g xxf x，当,0 x，0gxf xxfx，故 yg x在,0上单调递减，且易知 g x 为奇函数，故 yg x在0,上单调递减，由1.512122logln304，所以 1.51212logln34ggg.故选：D.二、多选题9.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）第 6 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司A.若 AB，则sinsin

11、ABB.若30A ，4b，3a，则 ABC有两解C.若 ABC为钝角三角形，则222abcD.若22()6cab，3C，则 ABC的面积是 3【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理可以判断 A 正确；由正弦定理与三角形大角对大边的性质，可判断 B 正确；由余弦定理，可得 C 错误；由余弦定理和三角形面积公式可得 D 错误.【详解】A.因为 AB，由大角对大边得 ab，所以由正弦定理可得sinsinAB，故 A 正确.B.由正弦定理得34sinsin 6B，42sinsin363B，又ba，A 是锐角，sinsin 6B，所以 B 角可以是锐角或者钝角，所以 ABC有两解，故 B 正确.C.若

12、 ABC为钝角三角形，若 A 为钝角，C 为锐角，则由余弦定理222cos02abcCab，此时222abc，故 C 错误.D.由余弦定理2222coscababC且3C，得222cabab；又2222()626cababab，所以6ab；又113sin63222ABCSabC；故 D 错误.故选：AB.10.下列结论正确的是（）A.当1x 时，12xxB.当54x 时，14245xx的最小值是 5C.当0 x 时，1xx的最小值是 2第 7 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司D.设0 x，0y，且2xy，则 14xy的最小值是 92【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式研究最值即

13、可做出判定，对于 BC 要注意正负转化，对于 D 要注意常数的代换.【详解】A 选项：当1x 时，1x ，12xx，当且仅当1x 时等号成立，A 选项正确；B 选项：当54x 时，450 x，则11425432314554xxxx ，当且仅当15454xx即1x 时等号成立，B 选项错误；C 选项：当0 x 时，1xx的最小值是 2；当0 x 时，1xx的最大值是 2，C 选项错误；D 选项：当0 x，0y，141412xyxyxy14191452 4222yxxy，当且仅当24,33xy时等号成立,D 选项正确.故选：AD【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.注意“一正二定三相等的要

14、求和灵活转化后利用基本不等式研究最值.11.已知函数 sin0,0,2f xAxA的部分图像如图所示，下列结论正确的是（）的.第 8 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司A.f x 的周期为 B.f x 的图像关于点,03对称C.将函数2sin 26yx的图像向左平移 12个单位长度可以得到函数 f x 的图像D.方程 3f x 在0,2 上有 3 个不相等的实数根【答案】ACD【解析】【分析】根据图象，通过最值、最小正周期、代点，求得函数解析式，利用周期的定义、正弦函数的对称性、图象变换、三角函数运算，解得整体思想，可得答案.【详解】由图象可知，max2f x，且0A，则2A，4312

15、T，由2T，且0，解得2，将,212代入 2sin 2f xx，可得2sin 2212，解得2 Z3kk，由2，则3，可得 2sin 23f xx，对于 A，函数 f x 的最小正周期为 ，故 A 正确；对于 B，令3x ，2sin 230333f ，故 B 错误；对于 C，由题意，平移后的函数解析式为 2sin 22sin 21263yxxf x，故 C 正确；对于 D，由方程 3f x，2sin 233x，3sin 232x，则1122 Z33xkk或22222Z33xkk，化简可得11Zxkk或22Z6xkk，第 9 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司由0,2x，则6x 或 或

16、76，故 D 正确.故选：ACD.12.对于函数2()lnxf xx，下列说法正确的是（）A.f x 在(0,e)上单调递减，在(e,)上单调递增B.若方程(|)2fxm有 4 个不等的实根，则em C.当1201xx，所以 f x 在(e,)上单调递增且 0f x，所以当ex时，函数 f x 的极小值为 e2ef若方程(|)2fxm有 4 个不等实根，由偶函数的对称性可得，当0 x 时 2f xm有两个不等实数根，即 yf x与2ym有两不同交点，22em，即em，故 B 正确C.由 B 知，当1201xx 时，121222lnlnxxxx，又12lnln0 xx，所以1212121222l

17、nlnlnlnlnlnxxxxxxxx，即1221lnlnxxxx，故 C 错误.D.2()2g xxa，当 xR 时，2g x 的值域为R|2Gyya，当1,x 时，由 B 知 f x 的值域为R|2eFyy若对1xR，2(1,)x，使得 122g xf x成立，则GF，所以22ea，即ea，故 D 正确.故选：BD.三、填空题13.已知扇形的面积为24cm，该扇形圆心角的弧度数是 2，则扇形的弧长为_cm.【答案】4【解析】【分析】根据面积公式以及弧长公式即可求解.【详解】设扇形的弧长为l，半径为 R，由已知可得，圆心角2，面积4S，所以有2,1,2lRSR即22,4,lRR解得24Rl.

18、故答案为：4.的第 11 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司14.曲线2lnyaxx在点1,a 处的切线与直线2yx平行，则a_.【答案】12#0.5【解析】【分析】由题意可得 12f，从而可求出 a 的值.【详解】由2lnyaxx，得12yaxx，因为曲线2lnyaxx在点1,a 处的切线与直线2yx平行，所以212a ，得12a，故答案为：1215.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30 的方向上，行驶800m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 45，则此山的高度CD _ m【答案】400 2【解析】【分析

19、】根据已知，利用正弦定理以及直角三角形的性质计算求解.【详解】如图，在 ABC中，30BAC，105CBA，所以45ACB，又800AB，由正弦定理有：sinsinABBCBCACAB，即8001222BC，第 12 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司解得400 2BC，又BCD是直角三角形，且45CBD，所以400 2CDBC，所以此山的高度400 2CD m.故答案为：400 2.16.已知函数()f x，()g x 的定义域均为 R，()f x 为奇函数，(1)g x 为偶函数，(1)2f，(2)()1g xf x，则20231()ig i_.【答案】2023【解析】【分析】根据

20、题意分析可得 2f xf x，进而可得函数()f x 是以 4 为周期的周期函数，且 1230f xf xf xf x，进而可得结果.【详解】因为(1)g x 为偶函数，则(1)(1)g xgx，又因(2)()1g xf x，则(1)(1)1g xf x，(1)(1)1gxfx ，即(1)1(1)1f xfx ，可得(1)(1)f xfx，因为()f x 为奇函数，则()f xf x，且(0)0f，可得(1)1f xf x，即11f xf x，则 2f xf x，可得 42f xf xf xf x ，所以函数()f x 是以 4 为周期的周期函数，由 2f xf x，可得 20f xf x，3

21、10f xf x，则 110ff，即 1230f xf xf xf x，所以 202320232023111()(2)1(2)202310120232023iiig if if ifff.故答案为：2023.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题四、解答题为第 13 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司17.（1）已知,0,2，1cos7，11cos()14，求sin 的值；（2）已知0，1sincos3，求sin 24的值【答案】（1）32；

22、（2）8 23418【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.（2）先求得sin 2,cos2，然后利用两角差的正弦公式求得正确答案.【详解】（1）依题意，,0,0,2，所以224 35 3sin1cos,sin1cos714，所以sinsin5 31114 331471472.（2）由1sincos3两边平方得1812sin cos,2sin cos099，所以02，所以2817sincossincos12sin cos193，由17sincos31sincos3解得171sin6171cos6，则228sin22sin cos,cos2cossin9

23、17117cossincossin339 .所以228178 234sin 2sin2cos2422918.第 14 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司18.已知函数 23sin 22cos0f xxx，若函数()f x 图象相邻两条对称轴间的距离是 2（1）求 及()f x 单调递减区间.（2）若方程()f xm在,4 4上有解，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）1，单调递减区间为2,(Z)63kkk；（2）(13,3m.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()2sin(2)16f xx，然后利用题意得到周期T，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；（2）结合（

24、1）的结论，求出函数()f x 在,4 4上的值域即可求解.【小问 1 详解】因为 23sin 22cos3sin 2cos212sin(2)16f xxxxxx ，又 f x 图象相邻两条对称轴间的距离是 2，所以函数()f x 的周期为T，所以 22，则1，所以()2sin(2)16f xx，令32 22,Z262kxkk，解得2,Z63kxkk，所以函数 f x 单调递减区间为2,(Z)63kkk.【小问 2 详解】由（1）知：()2sin(2)16f xx，因为,4 4x，所以 22(,)633x ，则2sin(2)(3,26x ，所以()(13,3f x，要使 f xm在,4 4上有

25、解，则(13,3m.19.设函数 1xxf xaka（0a 且1a）是定义域为 R 的奇函数（1）求实数k 的值（2）若 10f，判断函数 f x 的单调性，并证明第 15 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司（3）在（2）的条件下，若对任意的1,2x，存在1,2t 使得不等式 220f xtxfxm成立，求实数m 的取值范围【答案】（1）2k；（2）f x 是 R 上单调增函数，证明见解析；（3）(,10).【解析】【分析】（1）由函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，得到 00f，即可求解；（2）由（1）知函数 xxf xaa，根据 10f，得到1a，利用函数单调性的定义，即可求解

26、；（3）由 220f xtxfxm，结合函数的性质，得的22xtxxm，转化为22mxt x 对任意的1,2x都成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数 1xxf xaka是定义域为 R 的奇函数，可得 00f，即 020fk，解得2k，此时函数 xxf xaa，经检验是奇函数，所以2k.（2）由（1）知函数 xxf xaa，因为 10f，即 110faa，可得1a，任意12,x xR，且12xx，则 112212121211xxxxxxxxf xf xaaaaaaa a因为12xx，且1xyaa在 R 上单调增函数，所以120 xxaa又因为12110 xxa a，所以

27、120f xf x，即12f xf x，所以 xxf xaa是 R 上单调增函数.（3）由 220f xtxfxm，可得 22f xtxfxm，因为函数 f x 为 R 上奇函数，所以 22f xtxfxm，又因为 f x 是 R 上单调增函数，所以22xtxxm，即22mxt x 对任意的1,2x都成立，第 16 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司只需2min2mxt x 设函数 22xt xg x，可得对称轴232,22tx ，所以 min82g xt ，所以82mt ，因为存在1,2t，使得82mt ，只需max82mt ，所以10m ，即实数m取值范围(,10)20.已知函数2

28、()(2)lnf xaxaxx（0a）（1）若1x 是函数()f x 的极值点，求()f x 在区间 1,22上的最值；（2）求函数()f x 的单调增区间【答案】（1）最小值为 2，最大值为 2ln 2（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 10f，即可求出参数 a 的值，从而求出函数的单调区间，再计算区间端点函数值，即可求出函数的最值；（2）求出函数的导函数，分2a、2a、02a三种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间.【小问 1 详解】解：因为2()(2)lnf xaxaxx，所以1()2(2)fxaxax，因为已知1x 是函数()f x 的极值点所以1是方程

29、12(2)0()axafxx的根，所以10a ，故1a，经检验符合题意，所以2()3lnf xxxx，则(21)(1)()xxfxx，所以当 112x 时()0fx，当12x时()0fx，所以函数()f x 在 1(,1)2上单调递减，在(1,2上单调递增；又15()ln 224f，(1)2f ，(2)2ln2f ，且13()(2)2ln 2024ff，的第 17 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以()f x 在区间 1,22上的最小值为(1)2f ，最大值为(2)2ln2f ；【小问 2 详解】解：1()2(2)fxaxax，所以22()2)1axxxaxf(21)(1)xaxx

30、，因为0 x，0a，当2a 时，令()0fx，解得10 xa或12x，所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)a，1(,)2 ，当2a 时，(21)(21)0()fxxxx恒成立，所以函数()f x 的单调增区间为(0,)，当02a时，令()0fx，解得102x或1xa，所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)2，1(,)a ，综上可得，当2a 时单调增区间为1(0,)a，1(,)2 ；当2a 时单调增区间为(0,)；当02a时单调增区间为1(0,)2，1(,)a .21.在2coscosbcAaC，sin3 cosaBbA，cos3 sinaCcAbc，这三个条件中任选一个，补充在下

31、面问题中，并完成解答.问题：锐角 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知_.（1）求 A；（2）若4a，求bc的取值范围.【答案】（1）3A（2）4 3,8【解析】【分析】（1）中任选一个均先利用正弦定理边角互换，再利用三角恒等变换化简即可求解.第 18 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司(2)由正弦定理，将bc表示为8 3 sinsin3BC，由三角形的内角和为 和辅助角公式将原式整理为8sin6C，找出C 角的范围，从而得解.【小问 1 详解】若选，(2)coscos2sincossincossincosbcAaCBACAAC2sincossincoscossin

32、sinsinBAACACACB，10,sin0cos223ABCBAA、，；若选，sin3 cossinsin3sincosaBbAABBA，0,sin0sin3 costan323ABCBAAAA、，；若选 cos3 sinsincos3sinsinsinsinaCcAbcACCABCsincos3sinsinsinsin3sinsinsincos1ACCAACCCACA0,sin03sincos12sin26ABCCAAA、，而,66 3663AAA.【小问 2 详解】因为4a，所以由正弦定理得：48 3sinsinsin3sin 3bcaBCA，8 38 3sinsinsinsin333

33、bcBCCC8 331cossinsin8sin3226CCCC，ABC是锐角三角形，022032CC ,第 19 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司 62C,2,633C3sin,162C4 3,8bc .22.已知函数 2 ln2f xxx，2g(3)2 1()xxa xaaR.（1）求函数 f x 的极值；（2）若不等式 g()f xx在(2,)x 上恒成立，求 a 的取值范围；（3）证明不等式：1*32311111+1+1+1+e()4444nnN.【答案】（1）极小值为1e，无极大值 （2）,0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对 f x 求导，借助 fx的正负判断 f

34、x 的单调性，进而求出 f x 的极值；（2）不等式 g()f xx(2,)x 上恒成立，等价转化为ln21xxa，然后分离参数得1 ln(2)axx，设()1 ln(2),(2,)h xxxx ，求min()h x即可.（3）由（2）知+1ln2xx在1,上恒成立，令411nx ，则有11ln 144nn，然后借助不等式同向可加性及等比数列前 n 项和公式求证.【小问 1 详解】由()0fx可得(,)12ex，此时 f x 单调递增；由()0fx可得(,12)ex，此时 f x 单调递减；所以当2e1x 时，()f x 有极小值，极小值为1e，无极大值【小问 2 详解】由不等式 g()f x

35、x(2,)x 上恒成立，得22 ln2(3)2 1xxxa xa，因为(2,)x ，ln21xxa，第 20 页/共 20 页学科网（北京）股份有限公司所以1 ln(2)axx 在(2,)x 上恒成立 设()1 ln(2),(2,)h xxxx ，则 1=2xh xx，由1()=02xxhx得=1x 所以()h x 在(21)，上递减，在(1)，上递增，所以min()(1)0h xh即0a，所以,0a【小问 3 详解】证明：由（2）得+1ln2xx在1,上恒成立，令411nx ，则有11ln 144nn，2211111111ln 1+ln 1+ln 1+=)44443444nnn(1-211111ln 111)43444nn(1-*2N44411111111)ln 11143433nnn(1-，132311111+1+1+1+e4444n.【点睛】关键点点睛：本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题：本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即+1ln2xx在1,上恒成立，然后令411nx ，则有11ln 144nn，然后借助不等式同向可加性及等比数列前 n 项和公式求证.