（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学5月联考试题（甲卷）理（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 5 月联考试题（甲卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|lg(x2)0，0，

2、|0)的焦点为 F(2，0)，过点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，OAB的重心为点 G，则点 G 到直线 3x3y10 的距离的最小值为 A.2 B.2 C.22 D.2 2 12.已知函数 f(x)满足 f(1x)f(1x)，且 x1，e2时，f(x)lnx，若 x2e2，e2时，方程 f(x)k(x2)有三个不同的根，则 k 的取值范围为 A.(22e，1e B.(，1e)C.(1e，22e D.(1e，)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若变量 x，y 满足约束条件2xy3xy0 xy4 ，则 zx2y5 的最小值为 。14.已知双曲线 E：2222

3、1xyab(a0，b0)，M(1，8)，过点 M 的直线交 E 于 A，B 两点，M 为AB 的中点，且直线 AB 与 E 的一条渐近线垂直，则 E 的离心率为 。15.已知锐角ABC 中，AB3，AC4，A 3，延长 AB 到点 D，使 sinBCD3926，则 SBCD 。16.如图所示的三棱锥 PABC，PA平面 ABC，ABC 2，若 PAa，ABc，PB10，BC2 7，当 ac 取最大值时，点 A 到平面 PBC 的距离为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作

4、答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1，a3，a210 成等差数列，S3a210。(I)求 an与 Sn；(II)设 bnlog2(Sn2)an，数列bn的前 n 项和记为 Tn，求 Tn。18.(12 分)已知如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，ABPA2，PA平面 ABCD，E 为 PC上一点，且 PE2EC。(I)求证：PC平面 BDE；(II)求二面角 ABEP 的平面角的余弦值。19.(12 分)核酸检测也就是病毒 DNA 和 RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状

5、乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测。通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染。某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴性，从标本中随机取出 n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取一部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测。以此类推，直到确定所有样本的结果。若每次检测费用为 a 元，记检测的总费用为 X 元。(I)当 n3 时，求 X 的分布列和数学期望；(II)(i)比较 n3 与 n4 两种方案哪一个更好，说明理由；

6、(ii)试猜想 100 份标本中有 2 份阳性，98 份阴性时，n5 和 n10 两种方案哪一个更好(只需给出结论不必证明)。20.(12 分)已知椭圆 E：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，若1 2AF FS 3，sinAF1F2 12。(I)求 E 的标准方程；(II)若直线 l 交 E 于 P，Q 两点，设 PQ 中点为 M，O 为坐标原点，|PQ|2|OM|，作 ONPQ，求证：|ON|为定值。21.(12 分)已知函数 f(x)12x2ax2a2lnx，aR。(I)当 a1 时，求 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线；(II)求函数 f(

7、x)的单调区间；(III)判断函数 f(x)在区间(0，12a23a8lna)上的单调性。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x1 ty1t (t 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2(3sin2)12。(I)求直线 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；(II)若直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，P 为曲线 C 上的动点，若PAB 的面积最大值为 S，求S 的值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)3|x2|xm|(xR)，不等式 f(x)3 的解集为(1，n)。(I)求 m，n 的值；(II)若三个实数 a，b，c，满足 abcm。证明：(bc)2(a2bc)2(ab2c)2 4m3。