【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-5星题（含解析）全国通用版【唯一店：教师学科网资料】.docx

1、几何-直线型几何-燕尾模型-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形状2.熟悉燕尾模型的关系式3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂的几何问题少考知识提要燕尾模型 燕尾模型 结论一（1）S1S2=AECE（2）S2S3=BFAF（3）S3S1=CDBD 结论二 S2+S3S1=COOF 精选例题燕尾模型 1. 如下图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC 的面积是 1，则三角形 ABE 的面积为 ，三角形 AGE 的面积为 ，三角形 GHI 的面积为 【答案】25，895，119【分析】连接 AH、BI、CG由于 CE

2、:AE=3:2，所以 AE=25AC，故SABE=25SABC=25;根据燕尾模型，SACG:SABG=CD:BD=2:3,SBCG:SABG=CE:EA=3:2,所以SACG:SABG:SBCG=4:6:9,则SACG=419,SBCG=919;那么SAGE=25SAGC=25419=895;同样分析可得 SACH=919，则EG:EH=SACG:SACH=4:9,EG:EB=SACG:SACB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4.所以SBIE=510SBAE=51025=15,SGHI=519SBIE=51915=119. 2. 如图，

3、四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 AE=13AB，CF=14BC，AF 与 CE 相交于 G，若矩形 ABCD 的面积为 120，则 AEG 与 CGF 的面积之和为 【答案】15【分析】方法1：如图，连接 AC、BG根据燕尾模型，SABG:SACG=BF:CF=3:1，SBCG:SACG=BE:AE=2:1，而 SABC=12SABCD=60，所以 SABG=33+2+1SABC=1260=30，SBCG=23+2+1SABC=1360=20，则 SAEG=13SABG=10，SCFG=14SBCG=5，所以两个三角形的面积之和为 15方法2：如图，过 F 做

4、 CE 的平行线交 AB 于 H，则 EH:HB=CF:FB=1:3，所以 AE=12EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即 AG=2GF，所以 SAEG=122323SABF=293412SABCD=10且 EG=23HF=2334EC=12EC，故 CG=GE，则 SCGF=112SAEG=5所以两三角形面积之和为 10+5=15 3. 如图，ABC 中 BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍 【答案】7【分析】如图，连接 AI根据燕尾定理，SBCI:SACI=BD:AD=2:1，SBCI:SABI=CF:AF=1:2，所以，SACI:S

5、BCI:SABI=1:2:4，那么，SBCI=21+2+4SABC=27SABC同理可知 ACG 和 ABH 的面积也都等于 ABC 面积的 27，所以阴影三角形的面积等于 ABC 面积的 1-273=17，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍 4. 正六边形 A1,A2,A3,A4,A5,A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接 A1A3,A1G,A6A3，过 B6 做 A6A3 的平行线 B6E，交 A1A3 于 E因为空白的面积等于 A2A

6、3G 面积的 6 倍，所以关键求 A2A3G 的面积，在 A1A2A3 中用燕尾模型时，需要知道 A1D,A3D 的长度比，根据沙漏模型得 A1D=DE，再根据金字塔模型得 A1E=A3E，因此 A1D:A3D=1:3，在 A1A2A3 中，设 SA1A2G=1 份，则 SA2A3G=3 份，SA3A1G=3 份，所以 SA2A3G=37SA1A2A3=371312S正六边形=114S正六边形，因此 S阴影=1-1146S正六边形=472009=1148(平方厘米)方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，

7、其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为 8142009=1148(平方厘米) 5. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F则四边形 DFEC 的面积等于 【答案】512【分析】方法一：如图所示，根据燕尾模型，SABFSACF=BDDC=12，SABFSCBF=AEEC=1设 SBDF=1 份，则 SDCF=2 份，SABF=3 份，SAEF=SEFC=3 份，如图所标所以 SDCEF=512SABC=512方法二：如图所示，连接 DE，由题目条件可得到 SABD=13SABC=13，SADE=12SAD

8、C=1223SABC=13，所以 BFFE=SABDSADE=11，SDEF=12SDEB=1213SBEC=121312SABC=112，而 SCDE=2312SABC=13所以则四边形 DFEC 的面积等于 512 6. 如图，在 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 【答案】730【分析】由于点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求出 BN、NM、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积连接 CM、CN根据燕尾模

9、型，SABM:SACM=BF:CF=2:1,SACM=2SADM,SABM=2SACM=4SADM,那么 BM=4DM，即BM=45BD.那么SBMF=BMBDBFBCSBCD=452312=415,S四边形CDMF=12-15=730.另解：得出 SABM=2SACM=4SADM 后，可得SADM=15SABD=1512=110,则S四边形CDMF=SACF-SADM=13-110=730. 7. 如图，ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是 AC 边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？ 【答案】970【分析】连接 CK、CI、CJ根据燕尾定理，

10、SACK:SABK=CD:BD=1:2，SABK:SCBK=AG:CG=1:2，所以 SACK:SABK:SCBK=1:2:4，那么 SACK=11+2+4=17，SAGK=13SACK=121类似分析可得 SAGI=215又 SABJ:SCBJ=AF:CF=2:1，SABJ:SACJ=BD:CD=2:1，可得 SACJ=14那么，SCGKJ=14-121=1784根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 1784，那么四边形 JKIH 周围的图形的面积之和为 SCGKJ2+SAGI+SABE=17842+215+13=6170，所以四边形 JKIH 的面积为 1-6170=970 8.

11、在 ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE=？【答案】8:1【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC连接 OC因为 BD:DC=2:1，根据燕尾定理，SAOB:SAOC=BD:BC=2:1，即 SAOB=2SAOC；又 AE:EC=1:3，所以 SAOC=4SAOE则 SAOB=2SAOC=24SAOE=8SAOE，所以 OB:OE=SAOB:SAOE=

12、8:1 9. 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，求阴影部分面积（如果结果是分数，将结果化成最简分数）【答案】1370【分析】令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM，BN，CP求四边形 ADMI 的面积：在 ABC 中，根据燕尾模型，SABM:SCBM=AI:CI=1:2,SACM:SCBM=AD:BD=1:2,所以SABM=14SABC,SADM=13SABM=112SABC,SAIM=112SABC,因而四边形 ADMI 的面积为

13、112SABC+112SABC=16SABC,同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 ABC 的 16求五边形 DNPQE 的面积：在 ABC 中，根据燕尾模型，SABN:SACN=BF:CF=1:2,所以SADN=13SABN=121SABC,同理可得SBEQ=121SABC.在 ABC 中，根据燕尾模型，SABP:SACP=BF:CF=1:2,SABP:SCBP=AI:CI=1:2,所以SABP=15SABC,因此五边形 DNPQE 的面积为15SABC-121SABC-121SABC=11105SABC,同理另外两个五边形的面积也是11105SABC.所以阴影部分的面积为SABC-316S

14、ABC-311105SABC=1370SABC=1370.10. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，求平行四边形 BODC 的面积【答案】24【分析】连接 AO,BD，根据燕尾定理 SABO:SBDO=AF:FD=1:2，SAOD:SBOD=AE:BE=2:1，设 SBEO=1，则其他图形面积，如图所标，所以 SBODC=2SAEOF=212=2411. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，求中心六边形面积【答案】110【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、

15、P、S、M、Q，连接 CR在 ABC 中根据燕尾定理，SABR:SACR=BG:CG.=2:1，SABR:SCBR=AI:CI=1:2所以 SABR=27SABC，同理 SACS=27SABC，SCQB=27SABC所以 SRQS=1-27-27-27=17同理 SMNP=17根据容斥原理，和上题结果 S六边形=17+17-1370=11012. 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积【答案】3.125【分析】令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN在 ABC 中，根据燕尾定

16、理，SABM:SBCM=AE:CE=1:1，SACM:SBCM=AD:BD=1:1，所以 SABM=SACM=SBCN=13SABC由于 SAEM=12SAMC=12SABM S，所以 BM:ME=2:1在 EBC 中，根据燕尾定理，SBEN:SCEN=BF:CF=1:1 SCEN:SCBN=ME:MB=1:2设 SCEN=1(份)，则 SBEN=1(份)，SBCN=2(份)，SBCE=4(份)，所以 SBCN=12SBCE=14SABC，SBNE=14SBCE=18SABC，因为 BM:ME=2:1，F 为 BC 中点，所以 SBMN=23SBNE=2318SABC=112SABC，SBFN

17、=12SBNC=1214=18SABC，所以 S阴影=112+18SABC=524SABC=52415=3.125(平方厘米)13. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点，求阴影部分面积【答案】1370【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM、BN、CP（1）求 S四边形ADMI：在 ABC 中，根据燕尾定理，SABM:SCBM=AI:CI=1:2 SACM:SCBM=

18、AD:BD=1:2设 SABM=1(份)，则 SCBM=2(份)，SACM=1(份)，SABC=4(份)，所以 SABM=SACM=14SABC，所以 SADM=13SABM=112SABC，SAIM=112SABC，所以 S四边形ADMI=(112+112)SABC=16SABC，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC 面积的 16（2）求 S五边形DNPQE：在 ABC 中，根据燕尾定理 SABN:SACN=BF:CF=1:2 SACN:SBCN=AD:BD=1:2，所以 SADN=13SABN=1317SABC=121SABC，同理 SBEQ=121SABC在 ABC 中，根据

19、燕尾定理 SABP:SACP=BF:CF=1:2，SABP:SCBP=AI:CI=1:2所以 SABP=15SABC所以 S五边形DNPQE=SABP-SADN-SBEP=15-121-121SABC=11105SABC同理另外两个五边形面积是 ABC 面积的 11105所以 S阴影=1-163-111053=137014. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1，D、E、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？【答案】17【分析】给中间三角形的 3 个顶点标上字母，如图 1 所示由于 D、E、F 分别是 3 条边上的三等分点，而 ABC 的面积为 1，所以 ABE、BCF、CAD

20、的面积都是 13，这 3 个三角形的面积之和就等于大 ABC 的面积，它们的重叠部分是 3 个小三角形：AME、BNF、CPD因此阴影 MNP 的面积就等于这 3 个小三角形的面积之和假设 SCPD=“1”，由于 D 是 BC 上的三等分点，可知 SBPD=“2”（如图 2 所示）由燕尾模型可得 SAPCSBPC=AFFB=2，所以 SAPC=“6”；而 SABPSACP=BDDC=2，所以 SABP=“12”（如图 3 所示）因此，整个 ABC 的面积是 “12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则 “1”=121，即 SCPD=121类似地，小 BNF 和小 AME 的面积都是 121，

21、那么阴影部分的面积就是 1213=1715. 如右图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI 的面积是 1，求三角形 ABC 的面积【答案】19【分析】连接 BGSAGC=6 份根据燕尾模型，SAGC:SBGC=AF:FB=3:2=6:4,SABG:SAGC=BD:DC=3:2=9:6.得SBGC=4(份),SABG=9(份),则 SABC=19（份），因此SAGCSABC=619.同理连接 AI、CH得SABHSABC=619,SBICSABC=619,所以SGHISABC=19-6-6-619=119.三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 AB

22、C 的面积是 1916. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求 AF:FB【答案】10:9【分析】方法1：根据燕尾模型得 SAOB:SAOC=BD:CD=3:4=15:20 SAOB:SBOC=AE:CE=5:6=15:18（都有 AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 SAOC:SBOC=20:18=10:9=AF:FB方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 BDDCCEEA=3465=910由赛瓦定理：BDDCCEEAAFFB=1，则 AFFB=1910=10917. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE

23、、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的面积是 【答案】36【分析】方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，得S1=25,S2=35,再由蝴蝶模型，SBDE=SADE，所以SBDM=2+25=125,同理 SCDM=185，而MD:DA=25:2=1:5,所以 SABD=5SBDM，同理 SACD=5SCDM，所以SABC=6SBDC=6125+185=36.方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF2，而SAEF=1+2+3=6,所以等腰直角 ABC 的高为622=6,所以 ABC 的面积是6622=36.